基于稀疏子孔径的大口径准直波前评价

万 鑫，田爱玲，王大森，刘丙才，朱学亮，王红军

（1.西安工业大学 光电工程学院 陕西省薄膜技术与光学检测重点实验室，陕西 西安 710021；2.内蒙古金属材料研究所，浙江 宁波 315103）

引言

波长调谐干涉仪通过改变光源波长实现移相，相对于传统的机械式移相方式简化了机械结构，对大口径光学元件的检测有很好的适用性。在波长调谐干涉仪的系统结构中，准直光路的准直波前质量好坏影响着仪器的检测结果。针对300 mm口径的波长调谐干涉仪，为了保证系统的检测精度，必须对干涉仪的准直波前质量进行评价。

准直波前的评价方法主要有剪切干涉法[1-4]、夏克-哈特曼法[5-6]、五棱镜扫描法[7-8]、子孔径拼接法[9]等。剪切干涉法和夏克-哈特曼法需要有效口径与全口径波前相当的高精度检具，波前口径的增大会导致检具成本增加和制造困难，不适于评价大口径波前。五棱镜扫描法通过拟合采样波前斜率重构波前，一次只能得到波前一条截面法线方向的信息。子孔径拼接法以延长测试周期为代价保证波前细节信息的获取，测试效率随波前口径的增大而下降，测试周期过长增加了随机噪声对重构精度的影响。由于大口径干涉仪的准直波前评价主要关注低频信息，且波前像差在空间分布上是光滑且连续的，为提高大口径准直波前的测试效率，采用稀疏子孔径是有效的解决手段。稀疏子孔径初始应用在光学成像领域，研究较为成熟[10-12]。稀疏子孔径在光学检测方面的研究始于19 世纪80年代[13-14]，近年国内的相关研究主要取得以下进展：2011年闫锋涛等[15]分析了稀疏子孔径采样评价大口径抛光光学器件的可行性，结果表明合理的子孔径分布可以得到反映实际面形的评价结果；2015年王棪等[16]分析了数目为3 和4 的两种稀疏子孔径模型，结果表明稀疏子孔径的数目、口径大小、排列方式会影响重构精度；2016年Xu 等[17]采用在对角线方向排布的单链子孔径排布方式完成了大口径环形抛光光学元件的面形评价，评价结果与直接测试的均方根的差为0.012 λ；2018年罗倩等[18]采用7 个彼此相切的稀疏子孔径排布评价波前面形，评价结果与直接测试的均方根的差为0.007 4 λ。目前在光学检测中稀疏子孔径的应用集中在光学元件或系统的面形检测上，证明了通过有限的稀疏子孔径数据可以得到反映全口径特征的结果。

针对300 mm 口径波长调谐干涉仪准直波前的评价需求，本文提出一种基于稀疏子孔径的波前评价方法。该方法利用稀疏孔径的波前数据，构建均匀、等间隔的稀疏子孔径排布模型，根据排布模型对大口径波前进行扫描采样，运用拟合算法重构全孔径波前，实现对准直波前的评价。

1 稀疏子孔径波前评价原理

1.1 基本原理

稀疏子孔径评价准直波前示意图如图1（a）所示。本文采用哈特曼波前传感器作为评价子波前的仪器，根据子孔径排布移动传感器，依次采样得到各个子孔径的波前数据，每一个采样子波前都反映了该区域的全口径波前，将扫描得到的所有采样点数据和对应位置信息通过拟合算法得到重构波前，实现波前评价。采样的扫描路径如图1（b）所示。由于稀疏子孔径的采样数据有限，不同的稀疏子孔径分布对重构精度的影响不同，为避免重构全口径波前时造成波前分布函数各项之间的严重耦合，采用均匀、等间隔分布于全口径波面的稀疏子孔径排布模型。

图1 稀疏子孔径评价准直波前示意图Fig.1 Schematic diagram of sparse subaperture evaluation of collimated wavefront

由Zernike 多项式表征的全口径波前像差分布函数W(x,y)由下式表示：

式中：L为用来拟合全口径波前的项数；Zs(x,y)为第s项Zernike 多项式；ks是第s项Zernike 多项式的系数。

根据最小二乘定理可得：

式中：M为总的采样点数；D(xj,yj)为位置(xj,yj)处实际测得的第j个采样相位值。为得到无限接近真实波前的像差分布函数，即满足(2)式最小所得到的像差分布函数，对（2）式进行如下处理：

整理得到：

（4）式是同步拟合算法方程，t是通项。根据不同t值对应的不同方程，可得到L个方程组成的超定方程组：

实际测得的连续分布波前是离散相位值，将（5）式写成以下矩阵形式：

式中：A是由L个Zernike 系数组成的向量。通过矩阵求解出全口径波前系数A，可得到重构的波前像差 分布。

1.2 稀疏子孔径波前评价

为验证稀疏子孔径评价准直波前方法的可行性，需要进行数值计算。以Matlab 随机生成的36个数据作为Zernike 多项式系数来模拟300 mm 口径准直波前像差分布，初始生成的全口径波前如图2（a）所示，其中PV 为0.252 4 λ，RMS 为0.031 8 λ。将一组随机噪声叠加到各子孔径中模拟实际测试，噪声量级为波前像差分布均方根值的0.1 倍，采用均匀、等间隔的稀疏子孔径排布方式。每一列中各相邻子孔径中心间距和各相邻列的距离皆为采样子孔径半径的4 倍，子孔径口径为全口径波前尺寸的0.005 倍。具有随机噪声的采样子孔径波前分布如图2（b）所示；根据同步拟合算法重构的波前如图2（c）所示；模拟波前与重构波前的残差分布如图2（d）所示，其中PV 为0.002 2 ，RMS为1.787 3e−4 λ。图2 说明该方法能够评价准直波前质量。

图2 稀疏子孔径波前重构结果Fig.2 Wavefront reconstruction results for sparse subaperture

2 稀疏子孔径排布对波面重构的影响

为提高稀疏子孔径评价波前的可靠性，分析该方法中稀疏子孔径排布方式对波前重构精度的影响。根据本文采用的均匀、等间隔稀疏子孔径排布模型，在采样区域内，采样子孔径的间隔和大小决定着子孔径的排布与采样信息，是决定稀疏子孔径排布方式的主要因素。图3 是稀疏子孔径的排布示意图。定义子孔径的间隔相对量为ε，用相邻两子孔径的孔径中心间距l与子孔径半径r的比值来描述；定义孔径相对量为κ，用子孔径直径d与评价波前直径D的比值来描述。对子孔径间隔和子孔径大小对波面重构精度的影响进行分析，确定能够有效评价全口径波前的优化稀疏子孔径排布模型。

图3 稀疏子孔径排布示意图Fig.3 Schematic of sparse subaperture arrangement

2.1 子孔径间隔

在采样子孔径尺寸为定量时，采样间隔与采样覆盖率呈负相关，采样间隔增大会提高测试效率，但同时却影响重构精度，需要分析子孔径由相切到间隔逐渐增大的分布变化对重构精度的影响。将光学系统准直波前的拟合Zernike 多项式系数导入Matlab软件作为仿真对象，叠加随机噪声到各子孔径中模拟实际测试，采用均匀、等间隔的稀疏子孔径排布，以间隔相对量ε为变量，分别在ε值取2～6，间隔为0.1，按照每一个ε值对应的稀疏子孔径分布重构波前，记录重构精度随不同子孔径分布的变化规律。

图4（a）和4（b）分别为间隔相对量ε与残差PV和残差RMS 的变化关系。由图4 可以看出，整体上随着相对间隔ε的增大，残差增大，精度降低，符合采集信息是否完备影响重构结果的准确性，局部范围的变化为上下波动，且震荡幅度随着ε的增大逐渐增大。以残差的RMS 为主要判断依据，结合残差的PV 值进行定量分析，以间隔相对量ε取4.3和5.3 作为端点，将间隔分为3 个区间，同一区间内精度变化处在同一水平范围。ε不大于4.3 时，随着间隔增大残差的RMS 值稳步增大，残差的PV 值始终在0.009 5 λ内小范围波动，该区间内重构精度较高且结果稳定；ε大于4.3 小于5.3 时，随着间隔增大残差的RMS 开始出现几处峰值，残差的PV波动范围变大，结果开始变得不稳定；ε大于5.3 后，随着ε增大重构精度出现多处峰值，震荡幅度超过前2 个区间，结果已不可靠。因此在测试过程中间隔相对量根据评价精度要求合理取值，尽量选取小于5.3 倍的子孔径半径，小于4.3 倍的半径最佳。

图4 不同间隔相对量ε的重构精度结果Fig.4 Reconstruction accuracy results for different interval relative quantitiy ε

2.2 子孔径大小

在确定子孔径排布参数时，子孔径大小的选取主要受限于检测仪器自身的口径尺寸。对于哈特曼波前传感器，传感器的常用口径小于12 mm，考虑到仪器口径范围，将孔径相对量 κ取值范围设定在0.015～0.039，以κ为变量改变采样子孔径的口径大小。在数值仿真中采用与上述相同的Zernike 多项式系数拟合全口径波前，叠加相同的一组随机噪声到采样子孔径。根据上述分析结果选取采样子孔径的间隔相对量ε为3.8，设定孔径相对量κ的取值间隔为0.003，对每一个孔径相对量κ对应的稀疏子孔径分布进行波前重构，记录重构精度，如图5所示。

图5 不同孔径相对量κ的重构精度结果Fig.5 Reconstruction accuracy results for different aperture relative quantityκ

由图5 可知，在确定孔径间隔后，仿真选定的子孔径大小均能以较高精度评价全口径波前，其中残差的PV 值都小于0.002 5 λ，残差的RMS 值都小于0.000 3 λ。由于重构算法直接作用于相位数据，采样数据越多，重构结果越可靠，因此在子孔径排布的选择上也要考虑采样数据量。在测试过程中，确定子孔径间隔值后，建议选择孔径相对量 κ为0.027、0.030 和0.036，以300 mm 为评价对象，对应的子孔径口径为8.1 mm、9 mm 和10.8 mm。

3 评价方法优化重构分析

根据分析，采用间隔相对量ε为3.8，孔径相对量κ为0.036 的优化稀疏子孔径排布模型评价300 mm口径的准直波前。使用最大口径为 φ11.26 mm 的哈特曼波前传感器，根据优化的稀疏子孔径排布模型，采样口径为 φ10.8 mm，采样间隔为9.72 mm。图6（a）是初始生成的全口径波前，PV 为0.252 4 λ，RMS 为0.031 8 λ；根据同步拟合算法得到的重构波前如图6（b）所示；图6（c）为重构全口径波前与模拟波前的残差分布，PV 为0.001 6 λ，RMS 为1.689 3e−4 λ。图6 说明通过稀疏子孔径的波前数据可准确评价大口径准直波前。

图6 稀疏子孔径波前重构结果Fig.6 Wavefront reconstruction results for sparse subaperture

4 结论

本文提出的稀疏子孔径评价大口径准直波前的方法无需大口径高精度的检测器具和重叠子孔径采样，缩短了测试周期，平衡了测试效率与重构精度，可以实现对整个准直波前的评价。通过分析子孔径间隔和子孔径大小对重构精度的影响，确定孔径相对量为0.036、间隔相对量为3.8 的优化子孔径排布方式，对300 mm 口径的准直波前进行数值仿真，得到的重构波前残差PV 值和残差RMS 值分别为0.001 6 λ和1.689 3e−4 λ，验证了本文方法准确评价大口径准直波前的可行性。