例谈线型伴随轨迹问题

苏国东

(广东省广州市真光中学 510380)

伴随轨迹问题，指的是一个伴随点(也叫从动点)遵循某种关系伴随着一个主动点的运动而形成轨迹的动态问题，是初中数学的重难点问题之一，要求学生具备良好的图形建模能力、动态思维能力和逻辑推理能力．伴随轨迹问题类型较多，在初中数学压轴题中常见的有线型和圆型两类．

本文研究其中的线型伴随轨迹问题，即主动点在给定的直线上运动，此时伴随点的轨迹一般也为直线．与圆型问题的情况不同，线型问题中缺乏圆心这样的控制点，所以需要在线型轨迹中找出特殊点作为代替．解题的关键在于找出特殊伴随点的位置(即已知主动点、伴随点和特殊主动点，求特殊伴随点)，两点即可确定出伴随轨迹直线，方法是让特殊主动点作与主动点相同的操作．

下面通过引例及两道具体例题进行阐述．

引例如图1，动点P在直线l上运动，点M是平面内的一个定点，MO⊥l于点O，以PM为边向右侧作等边△PMQ，求点Q的轨迹．

解析依题意，点P为主动点，点Q为伴随点，点P在直线l上运动，不妨取l上的点O作为特殊主动点．点P实际上是绕定点M逆时针旋转了60°得到点Q，所以只要将点O作与主动点P相同的操作即可确定出特殊伴随点．

图1 图2

如图2，将OM绕点M逆时针旋转60°得到O1M，连接OO1，得等边△OMO1，与等边△PMQ构成“手拉手”全等模型．连接O1Q，易证△OMP≌△O1MQ，所以O1Q=OP，∠MO1Q=∠MOP=90°．又∠OMO1=60°，由四边形MOHO1内角和为360°算得∠PHQ=120°，所以直线O1Q与l的夹角为60°(也可根据“手拉手”模型的结论得知其夹角度数等于∠OMO1的度数)．

因此随着点P在直线l上运动，点Q也会在与l成60°角的定直线O1Q上运动，其轨迹长度与点P相同．

变式如图3，动点P在直线l上运动，点M是平面内的一个定点，MO⊥l于点O，以PM为边向右侧作等腰直角△PMQ，其中∠MPQ=90°，求点Q的轨迹．

图3 图4

例1 如图5，已知点A(0，2)，点P是x轴上的一个动点，将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ．当点P从点(-3，0)运动到点(1，0)时，点Q运动的路径长为____.

解析依题意，点P为主动点，点Q为伴随点，取l上的点O为特殊主动点．因为AP绕定点A逆时针旋转了90°得到AQ，所以将AO绕点A逆时针旋转90°即可得到AO1，如图6所示．

图5 图6 图7

连接O1Q，易证△AO1Q≌△AOP，所以O1Q=OP，∠AO1Q=∠AOP=90°．因此点Q在垂直于x轴的直线O1Q上运动，其轨迹长度与点P相同．因为点P的运动路径长为1-(-3)=4，所以点Q运动的路径长也为4．

有兴趣的读者可再探究如下变式，此处不再赘述．

变式如图7，已知点A(0，2)，点P是x轴上的一个动点，以线段AP为一边，在其右侧作等边△APQ．当点P从点(-3，0)运动到点(1，0)时，点Q运动的路径长为____.

例2 如图8，已知点A(0，-1)，点E(3，0)，点C是x轴上的一个动点，△AOB和△BCD(B、C、D按逆时针顺序排列)都是等腰直角三角形，∠OAB=∠BDC=90°．当点C从原点O出发，沿x轴正方向运动到点E处时，求点D运动的路径长．