行为m- NA阵列的完全收敛性

程书红

(闽南理工学院 信息管理学院， 福建 泉州 362700)

0 引言

1983年， Joag等[1]提出了如下NA(Negatively Associated)定义：

定义1称随机变量X1,X2,…,Xn(n≥2)是NA的,若对任意两个非空不交子集A1,A2⊂{1,2,…,n}均有Cov(f1(xi;i∈A1),f2(xj;j∈A2))≤0， 其中fi(i=1,2)是使上式有意义且对各变元是不降的函数.称随机变量列{Xn;n≥1}是NA列，若对任意的n≥2,X1,X2,…,Xn是NA的.

由于NA序列在可靠性理论、渗透理论和多元统计分析理论等方面有着广泛应用，因此许多学者对其进行了研究[2].2007年， Hu等[3]提出了如下m-NA随机变量的定义：

定义2设m≥1是一个给定的整数，如果对任意的n≥2和满足|ik-ij|≥m(1≤k≠j≤n)的任意i1,…,in,Xi1,…,Xin均为NA序列，则称{Xn,n≥1}是m-NA(m-Negatively Associated)序列.固定n, 并假设每一行内的随机变量序列{Xni}是m-NA的, 则称随机阵列{Xni;1≤i≤n,n∈N}是行为m-NA阵列.

1 主要结果及其证明

引理1[6]设{Xn;n∈N}为m-NA随机变量序列.若{fn;n∈N}皆是单调非降(或者单调非增)连续函数,则{fn(xn);n∈N}仍然是m-NA序列.

引理3[8]设l(x)>0为x→∞的慢变化函数，则有：

证明取xn=nα(2 -p)/4.由于{Xnk;1≤k≤n,n∈N}是行为m-NA阵列,l(x)是慢变化函数,则当n→∞时，xn→∞.对Xnk截尾，并记：

(1)

又因为xn=nα(2 -p)/4， 所以∃N>0， 且使得当n≥N时有xn>M.于是由上述可得：

定理1证毕.

定理1表明，m-NA阵列不仅具有更一般的完全收敛性，而且扩大了权函数的范围和推广了文献[9]的研究结果(m-NA随机变量序列弱于NA随机变量序列).因此，m-NA阵列在多元统计分析、可靠性理论等方面更具有实际应用价值.若取消定理1中n∈N这一限制条件，可得如下推论1：