数学文化在教学中的实践与思考——以正余弦定理为例

陶 雪 梅

(牡丹江市第一高级中学，黑龙江 牡丹江 157000)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学学科的思想体系，数学的美学价值及数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，使其逐步形成正确的数学观。理解数学文化，让数学文化更好地融入课堂教学，值得深思与实践。

数学文化的价值主要有以下四个方面：

一、 科学价值

法国数学家高斯曾说：“数学是科学的皇后。”意在表明数学较高的地位及其对科学发展的重要性。高中数学的科学价值主要体现为抽象性和逻辑严谨性。

案例1:正弦定理的证明(这些证明都是综合历届学生的证明得来)

(一)几何法

证法1：

(1)当三角形为锐角三角形时，如图，作AD⊥BC交BC于D点

(2)当三角形为直角三角形时，不妨设角A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),为直角， 如图，

则BC=a，

即a2=b2+c2-2bccosA,又AD⊥BC所以BD=ccosB,AD=csinB,DC=BC-BD=a-ccosB成立

(3)当三角形为钝角三角形时，不妨设角ΔADC为钝角，

作b2=(csinB)2+(a-ccosB)2=c2+a2-2accosB交cosB=0延长线于b2=c2+a2-2accosB点，

则b2=c2+a2-2accosB， 即R=c

所以CD=c-a,CE=a+c,AC=b,AG=2RcosA。

作∴CG=2RcosA-b交|CD||CE|=|AC||GC|,于点(c-a)(c+a)=b(2RcosA-b)，可得a2=b2+c2-2bccosA

即ΔABC成立

综上有ABDC

证法2： 利用三角形面积证明

(1)当三角形为锐角三角形时，如图，作AD=BC=a,BD=AC=b交CE⊥AB,DF⊥AB于AB点

E,F

(2)当三角形为直角三角形时，不妨设角AE=BF=bcosA,∴CD=c-2bcosA为直角时，

AD·BC=AB·CD+AC·BD

(3)当三角形为钝角三角形时，不妨设角a·a=c(c-2bcosA)+b·b为钝角，

作a2=b2+c2-2bccosA交a=bcosC+ccosB延长线于b=acosC+ccosA点，

c=bcosA+acosB

同理(2)×b+(3)×c-(1)×a

则a2=b2+c2-2bccosA

证法3：利用和角正弦证明

(1)当三角形为锐角三角形时，如图，作2bccosA=2AD2-2BD·CD=AD2+AD2-2BD·CD交=b2-CD2+c2-BD2-2BD·CD=b2+c2-(BD+CD)2于a2=b2+c2-2bccosA点

所以a2=b2+c2-2bccosA

所以bccos∠BAC+accos∠CBA=2(SΔACQ+SΔPBC)=c2，同理accos∠CBA+abcos∠ACB=a2即abcos∠ACB+cbcos∠BAC=b2成立

(2)当三角形为直角三角形时，同证法1的2)

(3)当三角形为钝角三角形时，不妨设角a2=b2+c2-2bccosA为钝角，

则a(sinAcosB+cosAsinB)=csinA

asinAcosB+bsinAcosA=csinA

说明：利用=2cosAsinCsinB同上证明也可以。

证法4：

(1)当三角形为锐角三角形时，如图，作a2=b2+c2-2bccosA交a=2RsinA于a2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C)=4R2(sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)点

=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2[sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2[sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)]

所以=4R2[sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA]=(2RsinB)2+(2RsinC)2-2(2RsinB)(2RsinC)cosA

同理可得a2=b2+c2-2bccosA

即ΔABC,成立

(2)当三角形为直角三角形时，见证法1的2)

c=a(cosB+isinB)+b(cosA-isinA)=acosB+bcosA+i(asinB-bsinA)

c2=(acosB+bcosA)2+(asinB-bsinA)2=a2+b2+2abcos(A+B)

证法5：利用外接圆证明

(1)当三角形为锐角或钝角三角形时，作三角形的外接圆圆O，

连AO并延长与圆交于点D，连接BD，

则三角形ABD为直角三角形，

(2)当三角形为直角三角形时，见证法1的(2)

证法6：利用外接圆证明

(1)当三角形为锐角三角形时，作OD⊥BC交BC于D，

(2)当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，

作OD⊥BC交BC于D，

作OF⊥AC交AC于F，连接AO,CO，如图

(3)当三角形为直角三角形时，见证法1的(2)

二、应用价值

数学不只是存在于纸上的符号，更重要的是在现实社会中的应用意义，而数学的发展作为数学文化中的重要一环，受到学生数学应用能力的影响。

三、人文价值

数学的历史是一部充满创新的著作，经历了大量的里程碑式的定义与定理：从有理数到无理数，从实数到复数，从笛卡尔的解析几何到牛顿、莱布尼兹的微积分的理论等等，所以，数学被称为“创造性的艺术”。在教学中，教师要充分挖掘数学文化中所蕴含的创新价值，鼓励学生敢于质疑、勇于创新，进而创造性地解决各种问题。

案例2:以下是历史上的数学家对于正弦定理证明

1.13世纪，纳绥尔丁分别以B和C为圆心，以长度R为半径作圆弧，交BA和CA的延长线于E和G。过E和G作BC的垂线，垂足为F和H，则有EF=RsinB，GH=RsinC，

于是AB:AD=1:sinB，AD:AC=sinC:1，故得AB:AC=sinC:sinB。

2.15世纪，雷吉奥蒙塔努斯

延长BA到E，使得BE=AC。作AD⊥BC，EF⊥BC，垂足为D和F，则sinB：sinC=EF:AD=EB:AB=AC:AB。

3.16世纪，韦达过ΔABC的外心O作三边的垂线，垂足分别为D,E和F，则|

sin∠BAC=sin∠BOD

sin∠ABC=sin∠AOE

故得定理结论。

4.17世纪，梅文鼎

在AC上取点E，使得CE=AB。分别过A和E作BC的垂线，垂足为D和F。则sinB：sinC=AD:EF=AC:EC=AC:AB。

5.18世纪，赖特以B为圆心，BA为半径作圆弧，过点B作AC的平行线，交圆弧于点E。分别过A和E作BC的垂线，垂足为D和F，

则由RtΔADC相似RtΔEFB可得：

sin∠ABC：sinC=AD:EF=AC:BE=AC:AB。

6.18世纪，麦格雷戈作BD⊥AC,CE⊥AB，垂足分别为D和E，

则由RtΔACE相似RtΔABD

可得sin∠ABC：sin∠ACB=CE:BD=AC:AB。

7.19世纪，伍德豪斯AD为BC边上的高，则有AD=csinB=bsinC，类似可得其他等式。

故得

四、美学价值

数学从逻辑性、抽象性、对称性和简洁性等方面体现了数学之美。正因为如此，很多数学家都认为数学是美学，著名数学家巴拿赫说：“数学是最美的，也是最有力的人类创造”。数学的理性是数学文化的精髓，这种理性最主要是理科的证明，数学之美也体现在证明之中。

由某一主题的数学展开就是数学美展示的一个过程，将中学数学不同知识点串联起来，并应用于教学，学生能够在高度关联的情境中学习新知、应用知识解决问题，建立不同知识之间的纵向联系，加深对知识的理解；同时，数学课堂也因此散发文化的芬芳，正如克莱因所说“数学并不是建立在客观现实基础上的一座钢筋结构，而是人在思想领域中进行特别探索时，与人的玄想连在一起的蜘蛛网”，这种网既有统一美、逻辑美，又有抽象美。如余弦定理的证明。

案例3:余弦定理的证明

1.向量证法：

即a2=b2+c2-2bccosA

2.建系解析法：

证法2：以A为原点建立平面直角坐标系，如图，点B落在x轴正半轴上， 则三点坐标为

A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),

化简为a2=b2+c2-2bccosA

3.几何法：

证法3：勾股定理法

(I)当B为锐角时，过A作AD⊥BC，垂足为D,如图

则BD=ccosB,AD=csinB,DC=BC-BD=a-ccosB

在直角ΔADC中，根据勾股定理可得：

b2=(csinB)2+(a-ccosB)2=c2+a2-2accosB

(II)当B为直角时，cosB=0，所以b2=c2+a2-2accosB

(III)当B为钝角时，证明略。

综上有：b2=c2+a2-2accosB成立。

证法4：以B为圆心，BA长为半径作圆，如图添加辅助线，则R=c

CD=c-a,CE=a+c,AC=b,AG=2RcosA

∴CG=2RcosA-b

由相交弦定理：|CD||CE|=|AC||GC|,

即(c-a)(c+a)=b(2RcosA-b)

所以a2=b2+c2-2bccosA

证法5：托勒密定理证法

作ΔABC的外接圆，过C作CD//AB交圆于D，

则四边形ABDC为等腰梯形，所以AD=BC=a,BD=AC=b

作CE⊥AB,DF⊥AB交AB于E,F两点

则AE=BF=bcosA,∴CD=c-2bcosA

由托勒密定理AD·BC=AB·CD+AC·BD

所以a·a=c(c-2bcosA)+b·b

即a2=b2+c2-2bccosA

证法6：射影定理法：

因为a=bcosC+ccosB

(1)

b=acosC+ccosA

(2)

c=bcosA+acosB

(3)

(2)×b+(3)×c-(1)×a有a2=b2+c2-2bccosA

证法7：

(I)当B为锐角时，记 ∠BAD=α,∠CAD=β,∴cos∠BAC=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

所以2bccosA=2AD2-2BD·CD=AD2+AD2-2BD·CD

=b2-CD2+c2-BD2-2BD·CD=b2+c2-(BD+CD)2

即a2=b2+c2-2bccosA

(II)当B为直角略

(III)当B为钝角时，证明略。

综上，有a2=b2+c2-2bccosA成立。

证法8：面积等值法：

从而bccos∠BAC+accos∠CBA=2(SΔACQ+SΔPBC)=c2

同理得accos∠CBA+abcos∠ACB=a2

abcos∠ACB+cbcos∠BAC=b2

联立三个方程，得a2=b2+c2-2bccosA

证法9：由图可知c2=(bsinθ)2+

(a-bcosθ)2=a2+b2-2abcosθ

4.正弦定理推余弦定理法：

所以asinB=bsinA

(1)

a(sinAcosB+cosAsinB)=csinA

(2)

(1)代入(2)asinAcosB+bsinAcosA=csinA

因为sinA≠0,所以bcosA+acosB=c,即c-acosB=bcosA

(3)

(1)2+(3)2有 (asinB)2+(c-acosB)2=b2

即b2=c2+a2-2accosB

由正弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA

证法12：因为a=2RsinA，平方得

a2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C)=4R2(sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)

=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2[sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2[sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)]

=4R2[sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA]=(2RsinB)2+(2RsinC)2-2(2RsinB)(2RsinC)cosA所以a2=b2+c2-2bccosA

5.复数建模法：

证法13：如图，在复平面内作ΔABC,

这里D是平行四边形ACBD的顶点，

根据复数加法的几何意义可知，

c=a(cosB+isinB)+b(cosA-isinA)=acosB+bcosA+i(asinB-bsinA)

(1)

对(1)式两边取模，平方得c2=(acosB+bcosA)2+(asinB-bsinA)2=a2+b2+2abcos(A+B)

即c2=a2+b2-2abcosC

在实际教学中，这些素材不能直接呈现给学生，而应该体现教师的引导作用。下面以正弦定理的引导为例展示一下如何引导学生研究正弦定理。

正弦定理的教学过程：

环节一：提出问题，引发思考。

(1)三角形三边之间有什么关系？

(2)三角形三角之间有什么关系？

(3)三角形边角之间有什么关系？

这样设计的主要目的是让学生对已有的三角形边角关系进行梳理，为学习新课做好铺垫，同时提出这节课将继续研究三角形的边角关系，明确研究的主题。

环节二：由特殊到一般，得到正弦定理。

在ΔABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠A=∠B=∠C=60°,引导学生观察、发现三角形的边与角的正弦值之间的a:b:c=sinA:sinB:sinC关系式是否成立？

接着再举出以下两个特例：若∠A=45°,∠B=45°,∠C=90°,上述关系式是否成立？

∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°呢？由于学生已学习过特殊角的三角函数值，因此对于此问题，难度不大，学生容易得出正确的结论。在学生做出正确的判断后，教师接着设疑：

考虑到学生的知识水平有限，让学生直接探索正弦定理比较困难，因此，在设计中采用由特殊到一般，由具体到抽象的方法，让学生归纳猜想出定理。同时，先让学生得出关系式a:b:c=sinA:sinB:sinC,符合学生的认知规律。

环节三：利用几何画板，验证正弦定理。

利用几何画板可以对正弦定理加以验证，并且可发现其比值恰好等于所给定的三角形的外接圆的半径。

这样的设计是由于定理的出现使用的是不完全归纳法，因此可采用计算机辅助教学，让学生通过实验，验证猜想出的结论，形成对正弦定理的初步认识。

环节四：引入文化，丰富内容。

通过文化背景介绍，学生明确了三角学的发展阶段，并从历史的角度明确正弦定理的来源和应用，为对定理的深刻认识做好铺垫。同时这样教学，激发了学生的学习兴趣，让学生体会到数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，提高了学生的文化素养，把数学文化的理念扎扎实实落实到课堂教学中。

日本数学教育家米山国藏说：“不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地产生作用，使人们终身受益。”数学教育不仅仅是知识的传授、能力的培养，更是一种文化、一种精神的传播。因此，数学文化必须走进课堂，渗透到课堂教学的各个环节中。作为教师，要不断提高自身文化修养，深挖课内教材，结合课外素材，将数学文化与数学学科知识有机地融合，潜移默化地影响学生，从而提高学生的综合素质。利用立体几何讲好数学故事、开展数学教学，能够提升学生的品德修养、空间想象能力、逻辑推理能力和解决实际问题的能力，为进一步学习数学和其他科学知识奠定坚实的数学基础。