折纸超结构准静态压缩力学性能分析与优化设计

叶红玲， 王振祺， 王秀华

(北京工业大学材料与制造学部， 北京 100124)

折纸是一种古老的艺术形式，通过预先设计的折痕可折叠出许多复杂几何形状. 折纸结构具有丰富的空间几何变化，表现出优异的力学性能，使得其在工程领域表现出广泛的应用前景，如空间可展结构[1]、可折叠锂电池[2]、隔音屏障[3]、吸能结构[4]等. 折纸结构通过堆叠或模块组合可形成具有超常物理性质的折纸超结构，因其在薄壁结构吸能方面具有高能量吸收和保持轻量化的显著特征而得到了广泛关注. 其中基于Miura折纸原理的超结构由于其独特的力学性能，国内外学者开展了相关研究.

在力学性能方面，单层的Miura折纸超结构常用作三明治复合结构的夹芯. Heimbs等[5-6]将Miura折纸超结构用作的夹芯层与常规的蜂窝状进行压缩对比，获得其力学性能的优异性. 2009年，Fischer等[7]采用数值模拟方法和实验方法对比研究了不同几何形状和材质的单层Miura折纸超结构面外压缩过程. 2014年，Zhou等[8]采用数值模拟方法探讨了Miura夹芯板在准静态压缩、剪切和弯曲下的力学性能参数影响规律. 2015年，Liu等[9]采用实验方法对单层Miura折纸超结构面外压缩、三点弯曲加载和面内压缩情况进行对比分析，讨论了不同加载下的变形模式. 2018年，Xiang等[10]对具有Miura夹芯层的矩形板进行三点弯曲和均布压力载荷作用，与同质量整体矩形板对比，其力学性能得到提升，理论验证了数值模拟结果. 2019年，Lv等[11]研究了单层Miura折纸超结构面外准静态压缩过程，讨论了几何参数对力学性能和变形的影响. Karagiozova等[12]对双层Miura折纸超结构在不同加载速率的面内压缩问题进行了数值仿真研究，并验证了解析模型结果. Zhang等[13]发现了同相对密度的Miura折纸超结构和正六边形蜂窝准静态压缩时，前者在特定尺寸下能量吸收性能更优异. 2020年，Wickeler等[14]构建了2种不同折痕模型的折纸超结构，研究了折叠角对于压缩和冲击载荷作用下的力学性能影响.

在能量吸收方面，2018年，Ma等[15]通过改变每一层Miura折纸超结构的几何尺寸，提出了一种具有分级刚度的折纸超结构,进行了面外准静态压缩性能研究. 2020年，Xiang等[16]对分级刚度折纸超结构进行了各方向准静态压缩和冲击载荷实验，讨论了最佳能量吸收的结构构型和变形模式. Yuan等[17]对面内梯度折纸超结构进行了平面内和平面外的压缩测试对比，得到了其能量吸收能力的变化规律和可控的力学性能. 马瑞君等[18]提出了基于折纸原理的改进型内凹六边形蜂窝材料,研究对比了现有的六边形和内凹六边形蜂窝材料不同方向准静态压缩过程的力学性能变化.

由于折纸超结构具有良好的能量吸收性能和轻量化的特点，因此，基于折纸原理的超结构构型优化设计具有重要的实际意义和工程应用前景. 2018年，Yang等[19]基于响应面方法，研究了基于折纸原理的正四边形多胞薄壁管满足低初始峰值力、高比能量吸收和小冲击力扰动的多目标优化设计问题. 2019年，Wang等[20]对某高速列车前端的薄壁能量吸收结构进行了减小初始峰值力和提高能量吸收的多目标优化设计.

综上所述，国内外关于折纸超结构的压缩力学性能和结构变形研究相对广泛，但对于折纸超结构的优化设计和构型设计研究还相对较少. 本文以一种基于Miura单元的折纸超结构为研究对象，对其面外压缩过程进行了数值仿真分析；研究几何参数对于压缩性能的影响规律；采用主次影响因素方法确定了关键几何参数；响应面方法拟合设计变量与力学性能响应的显式关系，采用优化算法对多目标优化设计进行求解分析. 研究结果对于提高折纸超结构力学性能和构型参数优化设计具有理论参考意义.

1 折纸超结构模型建立

1.1 Miura单元几何模型

Miura单元是由边长为a和b、两边所夹锐角为α的4个平行四边形所组成的折纸结构. 其空间构型由尺寸参数和其中一个平行四边形与底面的夹角θ所决定. Miura折纸单元的空间几何模型如图1所示，其他各尺寸参数可由4个独立参数a、b、α、θ经过式

图1 几何模型[9]Fig.1 Geometrical model[9]

h=asinαsinθ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

计算得到.

1.2 折纸超结构有限元模型

本文利用有限元软件ABAQUS/Explicit，建立Miura折纸超结构模型并进行求解. 对于由Miura单元组成的超结构，沿x方向排列4个单元，沿y方向排列4个单元，即每个模型均由16个单元组成. 折纸超结构网格模型和边界加载条件如图2所示，采用S4R壳单元模拟压缩过程中的大变形问题. 通过设定不同的单元边长比、单元角度、展开角度、厚度等参数获得不同的构型.

图2 网格及边界加载条件Fig.2 Mesh and loading boundary conditions

取面外压缩方向为z方向,通过在加载方向定义刚性板实现加载过程. 加载中考虑刚性板和折纸超结构单元壁、单元壁自身之间的接触摩擦关系,采用ABAQUS软件定义面面接触与自接触关系，切向摩擦因数取为0.1. 在此过程中，上部刚性板沿z负方向压缩模型，下部刚性板固定，试件随着压缩过程可沿xOy平面展开. 材料选择3003铝合金，其材料参数如表1所示.

表1 折纸超结构材料参数Table 1 Property values of the Meta-structure

2 折纸超结构压缩性能研究

2.1 准静态压缩仿真分析

折纸超结构的面外压缩过程中涉及大变形、屈曲等非线性现象，同时该过程存在复杂的接触问题. 这种情况下会出现一般静态求解器求解不易收敛、数值模拟时间长的问题,因此本文采用动态分析模拟静态问题，称为准静态分析过程.

准静态压缩分析的准确性评判标准是该过程中模型的动能未超过内能的5%，同时载荷与所施加的速度无关. 采用准静态算法对折纸超结构面外压缩过程进行数值仿真分析，选择尺寸参数为a=b=20 mm，α=50°，γ=120°，t=0.1 mm.

折纸超结构准静态压缩过程的力学性能变化曲线如图3所示. 图3(a)中能量变化曲线结果显示折纸超结构的动能远小于内能的5%；图3(b)压缩过程的载荷- 位移曲线显示载荷位移响应与所施加的速度无关，因此该数值仿真分析过程采用准静态算法是可行的.

图3 压缩过程中力学性能的变化曲线Fig.3 Curve of mechanical properties for Meta-structure in the compression

2.2 面外压缩过程变形分析

折纸超结构受载变形过程可分为以下3个阶段(见图4)：压缩载荷初始作用，结构变形处于弹性阶段；载荷进一步作用，单元壁发生塑性凹陷变形，进入塑性屈曲阶段；压缩的最终作用，结构壁面被压实而产生接触，相互之间的作用力使得载荷急剧上升，即密实阶段.

图4 载荷- 位移曲线Fig.4 Curve of load-displacement

1) 弹性阶段

折纸超结构受到初始压缩作用发生弹性变形，单元保持平面，并绕着折痕转动滑移变形，载荷随着位移近似线性增长，在此过程中压缩载荷迅速上升至峰值，约为166.7 N.

2) 塑性屈曲阶段

随着进一步的压缩，折纸超结构发生压缩方向屈曲，进而各个单元壁的平面发生塑性凹陷变形，折痕区域开始产生塑性变形，此时结构压缩载荷呈现下降趋势，此阶段为能量吸收重要阶段.

3) 密实阶段

压缩的最终作用，结构与上下板之间的接触逐渐增大，整个结构逐步进入压缩密实阶段，为抵抗折痕边缘区域发生的变形，导致最后阶段的载荷- 位移曲线迅速上升.

2.3 面外压缩过程性能指标

为了更好地评价面外压缩过程中结构的变形和能量吸收性能，为折纸超结构优化设计提供方向，提出以下指标作为评价标准.

1) 初始峰值力Fmax

在压缩发生时，折纸超结构在初始压缩作用下载荷迅速上升至峰值，此峰值力Fmax是由结构弹塑性屈服强度决定，与折纸超结构的材料、结构都有关系. 初始峰值力表示折纸超结构受载变形的难易程度，过高的初始峰值力使得折纸超结构很难进入吸能阶段而失去作用.

2) 比吸能(specific energy absorption，SEA)

为了更好体现折纸超结构的轻量化设计和良好的能量吸收性能，引入比吸能(SEA)作为评价标准. SEA即单位质量的折纸超结构吸能量，与本身的材料和结构相关，其表达式为

其中：E为总吸能量；m为折纸超结构总质量.

3 折纸超结构参数影响规律分析

本文在选定材料参数的条件下，分析折纸超结构几何参数对面外压缩过程变形能力和能量吸收能力方面的影响，包括边长比、单元角度、展开角度和厚度，几何参数设计如表2所示. 面外压缩速度选择为100 mm/s,比吸能选择0.08 s内的吸能量.

表2 参数设计Table 2 Parameter design

3.1 边长比对折纸超结构力学性能的影响

为研究不同边长比变化对折纸超结构力学性能的影响规律，将边长比设定为1.0～1.6，步长为0.1，研究面外准静态压缩过程. 图5给出了折纸超结构初始峰值力与比吸能随边长比的变化曲线. 从图5中可以看出，当边长比增加时，折纸超结构的初始峰值力与比吸能均减小，变化过程大致相同，减幅均呈现减小趋势.

图5 边长比对力学性能的影响程度Fig.5 Influence degree of side length ratio on mechanical properties for Meta-structure

3.2 单元角度对折纸超结构力学性能的影响

为研究不同单元角度变化对折纸超结构力学性能的影响规律，将单元角度设定为50°～80°，步长为5°，研究面外准静态压缩过程. 图6给出了折纸超结构初始峰值力与比吸能随单元角度的变化曲线. 从图6中可以看出，折纸超结构的初始峰值力随着单元角度的增加而增加，与此同时，增幅呈现显著增长的变化趋势. 比吸能随着单元角度的增加呈现先减小后增加的变化过程，变化点在65°处. 单元角度在75°～80°变化时，初始峰值力与比吸能急剧上升.

图6 单元角度对力学性能的影响程度Fig.6 Influence degree of unit angle on mechanical properties for Meta-structure

3.3 展开角度对折纸超结构力学性能的影响

为研究不同展开角度变化对折纸超结构力学性能的影响规律，将展开角度设定为30°～120°，步长为15°，研究面外准静态压缩过程. 图7给出了折纸超结构初始峰值力与比吸能随展开角度的变化曲线. 从图7中可以看出，当展开角度增加时，折纸超结构的初始峰值力与比吸能均呈现减小趋势, 减幅均先大后小地发生改变，30°～75°存在迅速下降现象.

图7 展开角度对力学性能的影响程度Fig.7 Influence degree of unfolding angle on mechanical properties for Meta-structure

3.4 厚度对折纸超结构力学性能的影响

为研究不同厚度变化对折纸超结构力学性能的影响规律，将厚度设定为0.1～0.7 mm，步长为0.1 mm，研究面外准静态压缩过程. 图8给出了折纸超结构初始峰值力与比吸能随厚度的变化曲线. 从图8中可以看出，当厚度增加时，折纸超结构的初始峰值力与比吸能变化趋势一致，均随着厚度的增加而增加，比吸能变化近似线性.

图8 厚度对力学性能的影响程度Fig.8 Influence degree of thickness on mechanical properties for Meta-structure

4 参数主次影响分析

在参数主次影响分析中，通过建立多元线性回归方程来表示自变量对响应结果的重要影响程度，以获取重要影响几何参数.

线性回归方程：

y=b0+b1x1+…+bm-1xm-1

(6)

偏回归系数反映各自变量对响应的影响，由于受各变量取值和单位的作用，需对b1,b2,…,bm-1进行标准化处理，来更加准确获取主要影响参数. 设偏回归系数bj的标准化系数为Pj(j=1,2,…,m-1)，Pj的计算式为

(7)

基于四因子两水平样本点设计方法，获得4个几何参数改变下的力学性能响应，如表3所示.

表3 参数影响分析样本点设计Table 3 Design of sample points in parameter influence analysis

根据式(7)计算得到4个几何参数对力学性能的标准化系数分布图，如图9所示.

从图9中4个几何参数的标准化系数分布情况可知，初始峰值力受几何参数影响程度由大到小排列顺序分别为厚度、展开角度、单元角度、边长比；4个几何参数对比吸能的影响程度由大到小排列顺序分别为厚度、边长比、展开角度、单元角度. 由于初始峰值力的大小决定结构变形和进入吸能阶段的难易程度，需要在优化设计中着重考虑. 因此，综合各几何参数对力学性能主次影响因素分析结果，选择几何参数中影响程度较大的展开角度和厚度作为优化设计变量.

图9 标准化系数分布柱状图Fig.9 Standardized coefficient distribution histogram

5 折纸超结构参数优化设计

5.1 优化模型建立

根据工程实际需要，初始峰值力较小以确保吸能结构顺利进入吸能阶段而产生作用，比吸能应较大以确保能量吸收. 因此，考虑在尺寸约束下，选择初始峰值力最小和比吸能最大作为优化目标，获得综合折纸超结构变形和吸能的最优几何设计. 建立优化模型如下：

(8)

5.2 基于响应面方法的多项式拟合

响应面分析方法基于试验设计结果，运用多项式来表达系统输入和输出之间的近似性能函数. 其基本思想是在设计区间内选取合适的样本点进行相应的力学性能分析；利用线性回归分析方法获得几何参数和响应结果之间的显式多项式拟合；最后结合优化算法进行参数优化设计.

采用两因子五水平样本点设计，选择展开角度γ的设计区域为60°～120°，厚度t的设计区域为0.1～0.5 mm，获得25个样本点及力学性能响应值如表4所示.

表4 样本点设计及响应Table 4 Sample points design and response

采用MATLAB对初始峰值力进行四次多项式拟合，最终得到初始峰值力的函数表达式和响应面(见图10)如下：

图10 初始峰值力响应面Fig.10 Initial peak force response surface

Fmax(γ,t)=6.19×10-4γ4+7.05×104t4-
0.22γ3t+1.72×103γt3+23.63γ2t2-2.67×
105t3-0.19γ3+56.91γ2t-6.91×103γt2+
5.22×105t2+22.11γ2-4.47×103γt-
1.10×103γ+8.99×104t+2.15×104

(9)

采用同样方法对比吸能进行四次多项式拟合，最终得到的函数表达式和响应面(见图11)如下：

图11 比吸能响应面Fig.11 Specific energy absorption response surface

SEA(γ,t)=1.28×10-7γ4+6.67t4-
2.44×10-5γ3t+0.06γt3+1.22×10-3γ2t2-
14.5t3-4.34×10-5γ3+6.71×10-3γ2t-
0.31γt2+21.87t2+5.35×10-3γ2-0.6γt-
0.29γ+19.2t+5.68

(10)

5.3 响应面拟合检验

(11)

(12)

式中：yi为真实值；i为估计值；为真实平均值；n为样本点个数；k为拟合函数中非常数项个数.

表5 精度检验Table 5 Accuracy check

5.4 多目标优化求解

采用优化算法对多目标优化模型进行求解，获得尺寸约束下力学性能的可行解分布，对其中的最优解进行散点图表示，可以发现最优解排布于一条连续的曲线上，该曲线称为Pareto前沿. 在多目标优化求解过程中，由于各目标之间存在相互作用，可能导致多个目标之间的最优解无法同时满足. 在优化结果选取中，依据各目标重要程度赋予不同权重系数，从Pareto解集中选取相对最优的解.

以展开角度尺寸约束大小为60°≤γ≤120°、厚度尺寸约束大小为0.1 mm≤t≤0.5 mm建立优化模型. 种群规模为100，最大迭代次数为1 000的非支配排序遗传算法进行多目标设计，得到最优解的散点分布如图12所示.

图12 Pareto前沿与最优解Fig.12 Pareto front and optimal solution

Pareto前沿显示在尺寸约束范围内初始峰值力和比吸能成正相关. 其中2种单目标优化设计的最优解是Pareto前沿的端点A、B，所有多目标优化可取的最优解位于Pareto曲线两端之间. 根据对各目标重视程度的不同，采用线性权重法对2个目标分配不同权重系数和比例因子，最终优化结果依据式

(13)

由前文所述压缩过程中，初始峰值力的大小对结构变形起到决定性作用，在多目标优化结果选取中需要重点考虑. 因此多目标优化选择初始峰值力和比吸能的权重系数分别为0.8和0.2，得到对应多目标优化结果中的最优几何参数与力学性能.

从表6中对比可以看出，在当前尺寸约束条件下，将多目标优化结果拆分为2个单目标考虑时，初始峰值力最小可达到34.58 N，即图12中A点；比吸能最大可达到2.05 J/g，即图12中B点. 当取多目标优化权重系数分别为0.8和0.2时，初始峰值力与比吸能分别为2 895.13 N和0.66 J/g，即图12中C点. 多目标优化结果中的初始峰值力较单目标优化增加了3 300.24 N，比吸能较单目标优化减少了1.34 J/g. 为了验证优化算法求解的准确性，依据优化结果中的最优几何参数，利用数值仿真软件对优化设计点进行重建模分析. 优化设计与重建模验证对比如表7所示.

表6 优化设计几何参数与力学性能结果Table 6 Optimal results of geometric parameters and mechanical properties

表7 优化设计结果与有限元重建模仿真误差对比Table 7 Comparison of optimization design results and finite element remodeling simulation error

从表7中验证可以看出，优化设计结果与有限元重建模结果之间误差不超过5%，验证了响应面方法拟合与优化模型求解的准确性. 最终得到了折纸超结构考虑尺寸约束情况下，力学性能最佳的参数优化设计结果为展开角度γ=106.50°，厚度t=0.37 mm.

6 结论

本文采用数值模拟方法研究了Miura折纸超结构面外压缩过程的力学性能，获得了该过程中几何参数对其力学性能的影响规律. 最后响应面方法结合非支配排序遗传算法实施多目标优化设计，并得到以下结论：

1) 获得了Miura折纸超结构不同边长比、单元角度、展开角度、厚度下，其面外压缩时的初始峰值力、比吸能的参数影响规律. 初始峰值力和比吸能均随着边长比与展开角度的增加而递减；随着厚度增加而递增；初始峰值力随着单元角度增加呈现增加趋势，比吸能随着单元角度增加呈现先减小后增加趋势.

2) 利用主次因素影响分析方法以获取几何参数对力学性能响应结果的重要影响程度，基于四因子两水平样本点设计，获得几何参数中展开角度、厚度对力学性能响应影响程度较大，作为后续的优化设计变量.

3) 基于两因子五水平样本点设计，利用响应面方法拟合了四次多项式函数，建立了以折纸超结构初始峰值力、比吸能为多目标的优化模型并求解. 根据重点考虑初始峰值力目标，对最优解集进行选择，得到最优几何参数设计为展开角度γ=106.50°，厚度t=0.37 mm，数值仿真再建模验证了拟合和求解模型的有效性和可行性.

4) 研究结果对于Miura折纸超结构力学性能的提升和几何构型设计的改进提供了可借鉴的思路.