基于压缩感知的电网故障谐波检测技术研究

2022-02-20张鑫牟龙华徐志宇

实验室研究与探索 2022年11期

张鑫，牟龙华，徐志宇

（同济大学电子与信息工程学院，上海嘉定 201804）

0 引言

随着电力系统继电保护技术的高速发展，传统利用工频信息的保护技术已经无法满足电力系统的需求，基于故障暂态谐波的新原理、新技术得到了广泛应用和推广［1-2］。全国各高校电力系统继电保护课程已经将暂态保护原理作为重要的教学内容。

继电保护是一门与实践相结合、具有较强的应用性、综合性的专业课程，相对比较抽象［3-4］。在继电保护教学中，实验教学环节显得尤为重要。为加深学生对于暂态保护原理的理解，在实验教学环节中设置相应的实验科目，拓展学生故障暂态数据分析能力是非常必要的。这一切的基础在于故障暂态谐波电压、电流数据的获取。

国内外许多学者对电网故障谐波采集、数据压缩与重构领域进行了深入地研究，取得了不少的成果，例如快速傅里叶变换［5］、小波包［6］、距离测度［7］、相似性测度［8］等暂态压缩方法。这些研究方法都是建立在传统奈奎斯特采样定理的基础之上，以高采样速率获取原始数据为前提。高速采样不仅会增加模数转换等模块硬件成本，而且会得到海量的实验数据，给后续数据传输和存储带来巨大的压力［9］，势必使得暂态保护实验设备成本大幅上升，不利于在高校实验室的推广。因此，需要一种全新的方法从根本上解决大量数据的采集、压缩、重构等问题，为电力系统暂态信号检测提供新的思路。

压缩感知（Compressed Sensing，CS）是一种全新的信号获取和处理理论［10-11］。在已知信号稀疏基的条件下，压缩感知理论能以较少的采样数据准确提取信号所含的全局信息，打破传统先采样后压缩的处理方式，将数据采样和数据压缩过程合二为一，这样不仅可极大地减少采样装置的成本，还能减轻后续数据传输和存储的压力。国内外研究人员对压缩感知理论进行了研究，在信号的稀疏分解、观测矩阵的设计以及重构算法的改进等方面做出了一定的贡献［12-14］。压缩感知理论在图像压缩、雷达信号和通信等领域受到了高度的关注，在电力系统领域还只是初步应用，压缩感知的主要研究内容集中在电能质量测量方面［15-16］，并未对故障暂态谐波信号采集进行专门研究。故障谐波信号是否满足稀疏性要求？如何建立合适的测量矩阵？故障谐波信号能否实现重构？这些都是亟需解决的问题。

针对信号稀疏性分析、测量矩阵选择、重构算法设计及硬件实现等压缩感知关键问题，提出一种基于压缩感知的电网故障谐波检测方法。通过对故障暂态信号进行傅里叶变换，证明故障谐波信号在频域符合稀疏条件；建立基于Gram矩阵的优化测量矩阵，完整提取出谐波信号的有效信息；设计一种压缩采样匹配追踪算法，在信号稀疏度未知的情况下准确重构故障谐波信号；研制可实现故障数据压缩感知的故障录波仪。实验与仿真分析表明，基于压缩感知的电网故障谐波检测方法能准确提取故障信号的完整信息，具有理想的故障暂态谐波信号检测效果。可用于高校继电保护实验教学，还可向电力行业进行推广，为暂态保护发展应用助力。

1 压缩感知理论

根据压缩感知理论，若原始信号在某个变换域具有稀疏性，那么可用一个与变换基不相关的测量矩阵将高维信号投影到一个低维空间，通过求解优化问题即可高概率重构出原始信号［17］。

假设原始信号x∈RN，根据线性空间理论，该N维信号可用N×1 维基函数｛Ψi｝N i＝0的线性组合表示。若此基函数ψ1，ψ2…ψN相互满足正交条件，则信号x可以表示为［18］：

式中：αi＝〈x，Ψi〉；Ψ ＝［ψ1，ψ2，…ψN］；α为N×1 维矩阵；Ψ为N×N维稀疏基。由此可知，x 是信号的时域表示，而α则是信号在Ψ域的稀疏表示形式。测量时，利用特定的测量矩阵Φ［Φ为M×N维的测量矩阵（M＜＜N）］对原始信号进行观测，得到观测向量

通过测量矩阵Φ可将原始信号x 中的有效信息完整地提取出来，得到观测向量y。

由式（2）可见，从y直接恢复x 是一个病态方程，存在无穷多个解。将式（1）代入式（2）可得：

式中，Θ ＝ΦΨ为恢复矩阵。由于α是稀疏的且具有有限个未知数，则可以通过l0范数优化来重构原始信号：

2 基于压缩感知的谐波检测算法

2.1 谐波信号的稀疏性分析

压缩感知理论指出，当原始信号在某个特定变换域满足稀疏条件时，可用一个与稀疏变换基不相关的测量矩阵对信号进行线性降维观测，以较少的采样数据完整包含信号所蕴含的有效信息，再以信号重构算法提取基波及各次谐波分量。由此可知，信号满足一定的稀疏性是运用压缩感知理论的前提。

稀疏信号可定义为［18］：若原始信号在以Ψ为稀疏基的变换域上可表示为x ＝Ψα，式中α为信号x的稀疏表示形式。当α中只有k个非零或较大的系数，而其他的系数为零或较小值时，则称信号x 在Ψ域上为k-稀疏的。

为证明电网故障暂态谐波信号满足上述的稀疏条件，假设故障信号

式中：A0、f0和φ0分别为基波分量参数；Ah、fh和φh则分别为谐波分量参数。对谐波信号进行傅里叶变换，可得：

将式（5）代入式（6）可得：

对式（7）进行化简，可得谐波信号在频域的表达形式

由式（8）可知，故障信号在频域主要由基波分量和各次谐波分量两部分构成。在双边傅里叶变换下，谐波信号中的每一个频率对应着两条频谱，且这两条谱线相互对称。假设谐波信号中共含有h次谐波分量，则根据上述分析可知h次谐波分量在频域的稀疏度为2h，再计及基波分量在频域的稀疏度2，可知谐波信号在傅氏变换域的稀疏度为2（h+1）。此外，随着谐波次数的增加，对应谐波分量的幅值也逐渐减小。可根据实际情况设置一个阈值，当谐波分量的幅值小于此阈值时，可以将其置为零，保证所及谐波信号在频域符合稀疏条件。

为更清楚地论述谐波信号在频域中的稀疏性，故障信号频谱如图1 所示。

图1 故障信号幅频特性曲线

信号中基波和各次谐波分量在频域有两条相互对称的谱线，为便于叙述只对原始信号进行单边傅里叶变换，在图1 中基波和各次谐波分量分别对应一条谱线，其中f0为基波频率，A0为基准幅值。通过幅频特性曲线可以看出，谐波信号在频域具有稀疏性，符合压缩感知理论应用前提。

2.2 测量矩阵的优化

若要通过较少的采样点来完整获取信号中的信息，并能准确恢复原始信号，需要构造出性能优异的测量矩阵。测量矩阵的设计是压缩感知理论中的核心。根据约束等距准则（Restricted Isometry Principle，RIP）与不相干性原则，测量矩阵Φ 和信号稀疏变换基Ψ必须满足不相干条件。为易于硬件实现，所构造的测量矩阵应有以下性质：测量矩阵与稀疏变换基的相干性很低，以确保信号的重构精度；采样数据要尽可能的少；测量矩阵所需的存储空间较少，元素值较为简单。

测量矩阵主要分为随机性测量矩阵与确定性测量矩阵两大类［19］。随机性测量矩阵，如高斯随机测量矩阵、伯努利随机测量矩阵等，其与大部分的正交变换基都满足不相干的条件，能较为准确地重构原始信号。由于矩阵中的元素是随机生成的，难以微处理器实现。

综合考虑观测性能及工程化需求，对现有确定性测量矩阵进行优化，构造适用于电网故障谐波检测的测量矩阵。根据Grassmannian矩阵［20］与Gram矩阵的特点，提出一种基于Gram 矩阵的优化测量矩阵。为保证测量矩阵与稀疏变换基间的不相干性，定义一个新的矩阵

称矩阵G 为Gram 矩阵。由式（9）可知，Gram 矩阵中的非对角线元素恰好可以表征测量矩阵与稀疏变换基之间的互相干性，在设计感知矩阵时可以借助于Gram矩阵。

假设Gr为M×N（M＜N）维的Grassmannian 矩阵，且此矩阵中的列均经过单位化处理，则矩阵Gr对应的Gram矩阵中的元素满足如下条件：

此外矩阵的维数还需要满足以下条件：

由式（11）可见，矩阵Gr对应的Gram矩阵中的非对角线元素的值均保持在较小的范围内，即测量矩阵与稀疏矩阵的相干系数μ较小。可将Grassmannian矩阵选定为恢复矩阵Θ，可得：

为设计出满足压缩感知理论的测量矩阵Φ，可先构造出符合条件的恢复矩阵Θ，即Grassmannian 矩阵Gr，进而确定稀疏变换基Ψ，根据式（12）可求出测量矩阵Φ ＝GrΨ-1。

当压缩采样的对象为故障谐波信号时，可先根据选定的矩阵维数M与N构造出符合条件的Grassmannian矩阵Gr，然后选取离散傅里叶变换基（Discrete Fourier Transform，DFT）作为谐波信号的稀疏变换基Ψ，最终可推导出测量矩阵Φ。

2.3 重构算法设计

在DFT基下，对满足稀疏性的故障谐波信号可通过重构算法使其恢复。贪婪匹配追踪算法是目前在压缩感知理论研究中比较常用的重构算法，此类算法具有较好的重构效果和较快的重构速度，且算法性能也相对稳定。本文采用稀疏度自适应匹配追踪（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法进行谐波信号重构。SAMP算法采用固定步长逐步逼近信号的稀疏度，可在稀疏度未知的情况下实现信号重构，同时引入回溯思想使得每次迭代过程中的原子选择更加准确。

SAMP算法流程如图2 所示。

图2 SAMP算法流程图

具体步骤如下：

3 实例仿真与分析

3.1 测量矩阵性能分析

为验证本文所提测量矩阵观测效果，分别利用基于Gram矩阵的优化测量矩阵、多项式确定性测量矩阵及高斯随机测量矩阵对故障谐波信号进行仿真。

设故障谐波信号

式中，f0～f7分别为基波～7 次谐波的频率。以采样频率fs＝6.4 kHz对原始故障谐波信号进行采样作为效果分析基准，分别采用3 种测量矩阵对1 024 个传统采样数据进行观测，以获取低维的压缩采样数据，利用SAMP算法对压缩后数据分别进行100 次重构处理，检测成功率平均值仿真结果分别如图3、4 所示。

图3 不同采样点数下3种测量矩阵的检测成功率

由图3 可见，高斯随机测量矩阵的检测效果略优于其他2 种确定性测量矩阵，这是因为随机性测量矩阵与信号稀疏变换基的不相干程度更高；基于Gram矩阵的优化测量矩阵虽比高斯随机测量矩阵检测效果略差，但要明显优于多项式确定性测量矩阵，而且易于在硬件上实现。

由图4 可见，随着压缩采样点数的增加，高斯随机测量矩阵、基于Gram 矩阵的优化测量矩阵以及多项式确定性测量矩阵的重构信噪比均有不同程度地增大；在相同的压缩采样点数下，上述3 种测量矩阵的重构信噪比则依次减小。文中所提优化测量矩阵的重构信噪比虽要略低于高斯随机测量矩阵，但仍能满足准确度要求，且此矩阵中的元素确定，构造相对简单。

图4 不同采样点数下3种测量矩阵的重构信噪比

基于上述分析可知，文中所提基于Gram 矩阵优化测量矩阵可较为准确地观测出谐波信号中的有效信息，能为后续信号重构与谐波分析奠定坚实的基础。

3.2 故障谐波重构效果分析

为分析本文采用的SAMP算法在谐波信号重构及信号稀疏度发生变化时的检测性能，选取两组故障谐波信号进行仿真测试。

（1）设故障谐波信号1

以采样频率fs＝6.4 kHz对原始故障谐波信号进行采样作为分析基准，采用基于Gram矩阵的优化测量矩阵Φ（M×N维）对1 024 个传统采样数据进行观测，获取M维压缩采样数据。在仿真中，谐波信号的压缩采样点数分别为120 与60，分别采用压缩采样匹配追踪（Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP）、SAMP等算法对压缩采样数据进行100 次重构，基波及各次谐波分量的误差平均值仿真分别见图5、6。

图5 信号1中，M ＝120时的仿真结果

由图5 可知，当采样点数M为120时，2 种重构算法的谐波检测误差区别不大，都保持在0.003%以内；而由图6 可看出，当采样点数M逐步减少为60时，SAMP算法的检测误差要明显小于CoSaMP算法，频率和幅值的误差仍然保持在0.02%以内，这是由于SAMP算法引入回溯思想，提高了在迭代过程中支撑集原子选择的准确性。

图6 信号1，M ＝60时的仿真结果

（2）设故障谐波信号2

式中，f0～f11分别表示基波～11 次谐波。

为了验证文中所用SAMP算法在谐波信号稀疏度发生变化时的检测性能，此处的信号2 在信号1 的基础之上增加了7、9 次谐波分量。在仿真分析中，谐波信号的压缩采样点数分别为120 与60，分别采用CoSaMP、SAMP 2 种算法对压缩采样数据进行100 次重构，基波及各次谐波分量的误差平均值仿真结果分别如图7、8 所示。