降线问题的阿贝尔积分方程的求解*

邢家省

(1.北京航空航天大学数学科学学院，北京 100191；2.北京航空航天大学“数学、信息与行为”教育部重点实验室，北京 100191)

等时降线问题[1-4]是历史上著名的问题.1673年，惠更斯利用几何方法证明了等时降线的解为一条倒摆线.1690年，雅各布·伯努利发表了关于等降线的解答，导出了等时降线问题的解是一条倒摆线.拉格朗日和欧拉也运用解析方法解出了等时降线问题.1823年，阿贝尔将降线问题转化为一个积分方程的求解问题，从此引起了人们对积分方程的关注.笔者拟对等时降线的积分方程给出严密的求解方法，对等时降线的微分方程给出自然的解法，以期形成一套完整的方法体系，便于引用和传播.

1 质点沿光滑轨道下降所需时间的公式

建立xOy坐标系，Ox轴正向水平向右，Oy轴正向竖直向上.设A点坐标为(x1,y1)，B点坐标为(x2,y2)，x1

或者为

设曲线L的最低点在Ox轴上，质点在曲线L上从高度为h的点处静止开始下降到最低点处所需时间[1-4]为

(1)

(1)式是由阿贝尔导出的积分方程，由此引起了学者对阿贝尔积分方程求解问题的兴趣[1-9].

2 阿贝尔积分方程的拉普拉斯变换求解

(2)

积分方程问题[1,4]是给定函数T(h),寻找函数φ(y)，使得满足(2)式.

考虑如下积分方程问题：

(3)

其中0<α<1.阿贝尔运用拉普拉斯变换[7-13]给出了(3)式的求解方法.将拉普拉斯变换记为

引理1[7]设常数m>-1，则有

引理2[7]设常数0<α<1，则有

对(3)式两边作拉普拉斯变换，利用拉普拉斯变换的卷积性质可得

L(φ)(s)L(t-α)(s)=L(f)(s).

利用广义积分的计算方法[14-20]可得

于是

利用

由拉普拉斯变换的性质可得

(4)

(4)式即为(3)式的求解公式，将(3)式的解写为(4)式的形式可便于使用.

由余元公式[7-13]可得

(5)

现考虑(2)式的求解问题.当T(h)=T(T为常数)，即等时降线情形时，利用(5)式可得

于是

从而得到等时降线情形时的微分方程

(6)

进一步对微分方程(6)进行求解，可知等时降线是一条倒摆线.这里给出的解法是阿贝尔关于等时降线问题的求解方法[1-9].

3 质点从有限高度下落的降线问题的阿贝尔积分方程

设常数H>0.因为实际降线问题是从有限高度下落的，所以降线问题可归结为如下的积分方程和微分方程问题[1-4]：

(7)

(8)

积分方程问题[1,4]是给定函数T(h),寻找函数φ(y)，使得满足(7)式.

4 有限区间上的积分方程求解

引理3[2,9]设a

证明

证毕.

引理4[2,9]设p(x)∈C1[a,b]，且p(x)在[a,b]上严格单调递增，0<α<1，则有

证明

证毕.

考虑积分方程

(9)

其中0<α<1.

引理5[2,9]设p(x)∈C1[a,b]，且p(x)在[a,b]上严格单调递增，0<α<1，f(x)∈C[a,b],则(9)式的解为

证明利用(9)式及引理4，可得

于是

证毕.

利用引理5可得如下结论：

引理7[2,9]设φ(x)在(0,H]上连续可积，令

则有

5 等时降线的阿贝积分方程求解

现对等时降线的积分方程进行求解，即T(h)为常数T时进行求解.此时积分方程为

(10)

对(8)式利用定理3，可得

于是

(11)

(11)式就是(10)式的解式.

6 等时降线是倒摆线的证明

在等时降线情况下，利用(10)式的解式(11)，得到如下常微分方程：

(12)

令t=2θ，则有

这正是倒摆线的方程形式，由此可知等时降线是倒摆线.Oprea[21]和邢家省等[22]对倒摆线具有等时性给出了计算验证.