利用“先给再取”法分析接地对静电感应的影响

摘 要：本文主要讨论导体接地与否对静电感应结果的影响，给出了一种巧妙的处理方法，即先把导体接地之前的原有电荷（不论是否外显电性）全部传输给大地，然后根据其他带电体对它的影响，向大地中再取回所需的电荷量，笔者将这种方法总结为“先给再取”，这种方法形象生动，对初学者而言很有帮助。由于某些球形问题中计算电荷量需要计算导体的电势，故又给出了一种计算球形带电体在空间中任一位置电势的巧妙方法，经过口算就能够得出结果。本文给出了几个经典的例子，有助于加深对新方法的理解和运用。

关键词：静电感应;静电平衡;接地;电势;高斯定理

1 概述

早在18世纪，富兰克林就提出了正、负电荷的概念，沿用至今，即丝绸摩擦的玻璃棒所带的电荷叫作正电荷，由毛皮摩擦的橡胶棒所带的电荷叫负电荷。目前，义务教育阶段的教学设计，要求教师在课堂中使用丝绸、玻璃棒、毛皮、橡胶棒进行演示实验[1]，给中学生打好“电磁学”的基础。

“静电感应”是“电磁学”这门课程中的一个基本问题，对于初学者来说，导体接地对感应电荷分布的影响，还是有相当的难度。本文按照大学物理电磁学部分对“静电感应”这一节的要求，总结出一种巧妙的方法来解决接地导体感应电荷量的计算问题，具有启发性，有助于本科学生对这一部分和后续内容的学习。

2 静电感应和静电平衡

“异种电荷相互吸引，同种电荷相互排斥”是电荷间相互作用的基本原则，静电感应就是基于这个原则。如图1，当导体A外部有另一带电导体B靠近时，A导体处在了B的电场中，从而导体表面电荷会重新分布，左侧积累感应电荷量q，右侧积累感应电荷量q，感应电荷形成的感应电场与B的电场相互抵消，达到静电平衡状态。静电平衡下，实心導体内部电场强度处处为0，电荷全部集中在导体表面[2]。这两点很容易给出证明：

（1）导体在外电场的作用下达到静电平衡状态，这意味着导体上的电荷不再定向移动，假设内部电场强度不为0，那么电荷仍然要受到库仑力的作用，从而定向移动，这是矛盾的。

（2）在无限接近导体外表面的导体内部取一贴合导体轮廓的高斯面，由高斯定理[2]：

可知导体内部电荷的总和∑qi等于0，因此电荷全部分布在导体外表面，得证。

3 求解电势的方法

3.1 定义式

电势的求法有很多，在电场强度分布已知的情况下，可以直接按照定义积分求得[2]：

一般规定无穷远处为电势零点，则有：

值得注意的是，如果空间电场强度在不同区域有不同的表达形式，则应当综合利用式（3.1）和式（3.2）去计算P点的电势。

3.2 口算法

值得一提的是，对于“球”这一特殊的形状，电势的求法有一个很实用的方法，对于导体球（含有电介质的情况不适用，应当按照定义来计算）在空间任一点的电势是可以口算求得的，详述如下：对于某一点P，它的电势由这些部分组成：①如果在某个界面的外部，就可以将这个界面视为集中在其球心处的一个点电荷，这个点电荷的在P处的电势决定于P到球心的距离r[3];②P点在某个界面上时，可以归为上述①的情况，只不过r等于界面的半径Rα，α是指这一表面;③如果P点在某个界面的内部，可以认为P点与界面等电势，就可以把P点转化在界面上（但并不在界面上，只是为了计算方便），化为第②种情况。

4 几个典型例子

通过几个典型的例子，将“先给再取”的方法运用在“实战”中。

4.1 一般实心导体

不接地的情况，与图1一致。

4.1.1 右侧接地

按照“先给后取”的思想，最终A导体上左侧应带上电荷量q，这是初学者普遍接受的结果。

4.1.2 左侧接地

同样地，先把电荷全部传给大地，然后根据静电感应的需要再取q，剩下的问题就在于这些电荷应分布在表面的何处，很显然，依然是在导体左侧，这是“异种电荷相互吸引”的本质使然。

由此可见，在同一表面上的不同位置接地，对电荷分布的影响效果相同。

4.2 同心导体球和导体球壳

现有一个半径为R1的导体球，带有电荷q，球外面放置一个内半径为R2、外半径为R2的同球心导体球壳，球壳上带有电荷Q，如图2所示。

4.2.1 不接地

静电感应的结果，使得球壳内侧会带上电荷q，根据球壳电荷守恒，球壳外侧会带上电荷Q+q，两个导体最终都处于静电平衡。

继续讨论空间各处的电场强度E。根据高斯定理，式（2.1），可以很容易的得到空间各部分的电场强度：

其中r表示P点到球心的距离。

为了下面讨论接地对电荷分布的影响，需要计算导体的电势。

（1）利用“定义法”。

（2）利用“口算法”。

a.r=R1，P点在界面1上，又在界面2、3内，故有：

b.r=R3，P点在界面3上，又在界面1、2外，故有：

上述两种方法，得到的结果是完全一致的，读者可以选择适合自己的方法在以后的计算中使用。

4.2.2 接地

（1）导体球壳接地。如图3（a），按照“先给”的思想，使得导体球壳所有的电荷全部传输到大地，然后考虑其内部有一个带q电的导体球，由于静电感应，球壳内侧需要带上电荷q，故向大地“再取”电荷q。因为导体球只有一个面（外表面），全部的电荷量q集中在表面，因而可以确定球壳内侧面上的电荷量为q，外侧面不带电荷。这种现象叫作静电屏蔽，导体外壳能够避免内部带电体影响外界，同时保护内部不受外部电场的影响[2]。

（2）导体球接地。如图3（b），把导体球上的所有电荷“先给”大地，再取电荷e，然而导体球壳有两个面，难以判断内、外面各带多少电荷，故确定e的大小需要借助接地后U1=0来确定。

导体球带电e，那么导体球壳内侧带电e，外侧带电Q+e，利用“口算法”可得：

结果是，导体球表面带电e，导体球壳内表面带电e、外表面带电Q+e。

由此可见，静电感应情况下，导体接地后，其表面上的电荷并不一定与另一带电导体所带电荷等量异号，这是大部分初学者的思维误区。

4.3 平板型导体

4.3.1 不接地

如图4，有两个平板型导体A、B，表面电荷面密度分别为σA、σB。二者靠近时，电荷会重新分布，导体A、B各自的两个表面的电荷面密度会改变。在计算电荷分布时，要牢牢抓住静电平衡的特点。

首先把这两个导体看做是四个带电面，在界面2和界面3之间做一个圆柱形高斯面，由高斯定理得：

4.3.2 导体A接地

把A中的电荷“先给”大地，考虑到B的电荷面密度为σB，故要向大地“再取”电荷面密度-σB，这里把板型导体和4.1小节的一般实心导体做了类比。

同样地，按照按照上面的过程，可以得到：

这使得两个板型导体构成了平行板电容器，其间的匀强电场强度为σBε0。

结语

静电感应会引起带电导体电荷的重新分布，达到静电平衡时，导体内各处电场强度处处为0，这既是静电平衡的条件又是结果。

除了上面讨论到的情况外，仍需注意的是，如果把单独存在的带电导体A接地，则其上的电荷会全部传输到大地，这也是“先给”思想的灵感所在。

上述的三个典型例题，准确阐述了导体接地前后感应电荷量的变化，“先给再取”的思想贯穿其中，即先把电荷量移去，再取所需。解题过程如鱼得水，把复杂的问题简单化，同时也能够引发读者思考。

参考文献：

[1]陆挺.浅析初中物理教材中《静电现象》实验的改进[J].物理教学探讨，2011，29（09）：1718.

[2]赵凯华，陈熙谋.电磁学（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[3]马文蔚.物理学（第六版）习题分析与解答[M].北京：高度等教育，2015.

作者簡介：耿乙淇（2000— ），男，汉族，江苏徐州人，本科在读，研究方向：理论物理和中学学科物理。