改进差分进化算法对3-RRRU并联机器人的轨迹跟踪与位置正解研究

蒋兵兵

（湖南铁路科技职业技术学院 湖南 株洲 412006）

0 引言

并联机器人作为一种新型的机器人模型，与串联机器人相比存在很多差异。比如刚度大、承载能力强等相关特点。1965年之后，英国工程师Stewart也随即提出并命名了Stewart平台机构。并联机器人一经问世，就引起了专家们的广泛关注和研究。赵新华教授[1]采用传统算法对3-RRRU并联机器人的运动学正解和反解进行研究。赵磊[2]利用DH法和空间矢量法对3-RRRU并联机器人进行运动学建模，并通过改进遗传算法寻优获得最优的误差补偿数据。

1 3-RRRU并联机器轨迹跟踪系统

图1是一种3-RRRU并联机器轨迹跟踪系统，包括建系模块、定位模块、监测模块和跟踪模块；建系模块用于对机器主体建立总坐标系和对3-RRRU结构建立分坐标系。定位模块用于对机器主体以及3-RRRU结构分别进行定位；监测模块用于对机器主体以及3-RRRU结构的运行进行监测统计；跟踪模块用于根据监测统计的结果来对3-RRRU并联机器的轨迹进行跟踪。

图1 3-RRRU并联机器轨迹跟踪系统

1.1 建系模块

对机器主体建立总坐标系和分坐标系的具体步骤包括：

（1）建立总坐标系。获取移动范围的中点并将其设定为原点，将机器主体上端的中点设定为第一监测点，将机器主体前进的方向设定为x0轴，根据x0轴分别建立y0轴和z0轴，根据预设的第一距离和原点建立总坐标系。

（2）建立分坐标系。将3-RRRU结构分别设定为第一结构、第二结构和第三结构；分别将第一结构、第二结构和第三结构的下端点设定为第二监测点、第三监测点和第四监测点，将机器主体下端的中点设定为第二原点，设定的分坐标轴方向与总坐标系的坐标轴方向相同，根据预设的第二距离和第二原点建立分坐标系。

1.2 定位模块

获取机器主体移动范围的长度和宽度，将机器主体的起始点设定为监测原点，对机器主体的实时位置以及第一结构、第二结构和第三结构的实时位置进行定位，得到机器位置集和机构位置集，将机器位置集中机器主体的实时位置与数据库中机器位置表进行匹配。若机器主体的实时位置与机器位置表进行匹配时存在相同的位置，则判定机器主体的位置没有发生偏移；若机器主体的实时位置在机器位置表进行匹配时存在不相同的位置，则判定机器主体的位置发生偏移，并生成第一调控信号，根据第一调控信号控制机器主体暂停运行。将机构位置集中的不同机构的位置分别与数据库中机构位置表进行匹配；若第一结构、第二结构和第三结构的实时位置与机构位置表进行匹配时存在相同的位置，则判定第一结构、第二结构和第三结构的位置没有发生偏移；若第一结构、第二结构和第三结构的实时位置与机构位置表进行匹配时存在不相同的位置，则判定第一结构、第二结构和第三结构的位置存在偏移的情况，并生成第二调控信号，根据第二调控信号控制第一结构、第二结构和第三结构暂停运行。根据机器位置集和机构位置集分析判断机器主体以及3-RRRU结构的运行位置是否正常。

1.3 监测模块

进行监测统计的具体步骤包括：获取机器主体、第一结构、第二结构和第三结构的实时移动速度、实时转动角度和实时移动距离并设定为FSik、FPik和FGik，i=1,2,3,...,n;k=0,1,2,3；对机器主体以及第一结构、第二结构和第三结构的运行进行分析。获取机器主体、第一结构、第二结构和第三结构预设的移动速度、转动角度和移动距离，将预设的移动速度设定为YYSik；将预设的转动角度设定为YZJik；将预设的移动距离设定为YYGik；对标记的各项数据进行归一化处理并取值，通过公式PY=μ×[a1×FSik/（YYSik+0.11）+a2×FPik/（ZYJik+0.35）+a3×FGik/（YYGik+0.23）] 计算获取偏移度，a1、a2和a3为不同的比例系数且均大于零，μ为补偿因子，取值范围为（0,5）；将偏移度与预设的偏移阈值进行匹配，若偏移度不大于偏移阈值，则判定对应结构的运行正常，并生成第一匹配信号；若偏移度大于偏移阈值，则判定对应结构的运行异常，并生成第二匹配信号，根据第二匹配信号将该结构的运行数据进行标记，运行数据包括运行时间、运行速度和运行位置，根据第二匹配信号计算获取偏移度与偏移阈值之间的比值，根据该比值跟踪对应结构异常的情况。

1.4 跟踪模块

根据上述比值跟踪对应结构异常的情况的具体步骤包括：将第一次出现异常的时间点设为时间基点并进行标记，获取比值的整数部分并分析，若属于,则生成第一异常指令，若整数部分属于（m，+∞），则生成第二异常指令，m为正整数；在监测时间段内统计第一异常指令和第二异常指令出现的次数，根据第一异常指令和第二异常指令出现的次数进行不同程度的预警提示。

不同程度的预警提示的具体步骤包括：统计第一异常指令出现的次数并标记为YC；统计第一异常指令出现并持续的累计时长并标记为YS；统计第二异常指令出现的次数并标记为EC；统计第二异常指令出现并持续的累计时长并标记为ES；对各项数据进行归一化处理并取值，通过公式TS=b1×YC×YS+b2×EC×ES计算获取提示值，b1和b2为不同的比例系数且均大于零；根据提示值进行提示。

根据提示值进行提示的具体步骤包括：将提示值与预设的预警等级范围进行匹配并获取对应的预警级别，根据预警级别生成不同的预警提示；其中，预警等级范围包括（0，n）、[n，2n）、[2n，3n）和[3n，+∞），n为大于零的有理数，对应的预警级别为初级风险、低级风险、中级风险和高级风险。

本研究通过建立总坐标系和分坐标系，可以分别对机器主体和3-RRRU并联机器人对应结构的运行进行监测，通过定位分析判断机器主体以及第一结构、第二结构和第三结构的移动是否正常，避免发生位置偏移时影响3-RRRU并联机器人并联机器整体的运行。受网络以及控制程序的影响，会使得机器主体和3-RRRU对应结构的运行速度、转动角度和移动距离出现偏差，对运行速度、转动角度和移动距离进行联立计算，通过获取的实时偏移度从局部进行监测，判断机器主体和3-RRRU对应结构的运行是否异常，可以提高3-RRRU并联机器运行监测的准确性。

2 3-RRRU并联机器人的运动学模型

图2是3-RRRU并联机器人的组成机构图，它有两个平台分别是静平台和动平台，均呈等边三角形，在两个平台之间由三条支链连接，构成整个并联机器人。三条支链从上面的静平台通过三个驱动副、被动副和虎克铰链（U）与动平台相连。

图2 结构图

利用空间矢量法来构建3-RRRU并联机器人的位置正解模型。以A1这一条链为例，如图3所示，OR和P分别是静动平台的几何中心。其中γ=180°。文中第条支链的第个关节用Aij，θij为第i条支链，第j个关节的关节变量角，杆长为Lij(其中，i=1、2、3，j=1、2、3)。上面层的静平台外接圆半径用字母R表示，下层的动平台则用字母r表示。根第一支链的闭环方程为：

图3 坐标图

式中：сγ是 cosγ，同理sγ-sinγ。P（Px，Py，Pz）表示并联机器人动平台控制终端的坐标值。

式中：cθij-cosθij，同理sθij-sinθij。

由式（1）和式（2）可以得出以下等式；

所以可以得出第一条支链的三个方程：

通过式（4）中的三个公式换算可以得到第一条支链的正解方程：

同理，可以得到第二条支链和第三条支链的正解方程：

其 中，b1=R-r+L21cθ21，b2=L21sθ21；c1=R-r+L31cθ31，c2=L31sθ31。

通过将式（5）、式（6）、式（7）共三条支链的方程进行合并，可以得到一个非线性方程组。此方程组可以等效为一个最优解求解问题，控制终端的位置坐标P（Px，Py，Pz），最优方程的目标函数为：

其中，P′（P′x，P′y，P′z）是通过反解获得的理论值。

3 差分进化算法

3.1 基本差分进化算法

差分计算的思想来源于遗传算法以及模拟算法，它通过将遗传算法中的杂交、复制、变异等操作算子进行重新设计，提出了差分进化算法。相较于遗传算法而言，其相同点都是通过随机获得初始种群。不同之处在于遗传算法是根据适应度值来控制父代杂交，而差分进化算法的父代是通过随机的两个差分向量生成。因此，差分进化算法相对遗传算法效果更加显著，在选择操作中能确保更优的个体信息可得到进一步利用。采用反向的差分进化算法，需要进行反向搜索，能够使种群的多样性得到改善，达到跳出局部最优的目的[3]。差分进化算法是依靠差分操作、交叉操作和选择操作完成最优解的搜索机制。两种常用的差分操作是：

交叉操作的表达式如下：

选择操作是将选择的两个子个体进行比较评价后施行优胜劣汰的原则，留下更优的子个体形成新的种群。

3.2 改进差分进化算法

根据基本差分进化算法在搜索速度和探索空间中容易陷入局部最优，引入自适应因子对变异操作进行改进能够提高算法的搜索速度，减少陷入局部极值的问题[4]。新的改进差分进化算法的算法流程为：

第一步：参数初始化和初始化种群；

第二步：根据适应度评价函数计算适应度值；

第三步：根据差分变异操作，生成新的种群；

第四步：根据杂交操作，产生目标个体；

第五步：计算目标个体的适应度值；

第六步：通过优胜劣汰对适应度值进行比较选择个体；

第七步：判断是否满足终止条件，如果满足，获得最优个体；如果不满足，重复第三步。

3.3 基于改进差分进化算法的3-RRRU并联机器人的位置正解

差分进化算法的优点通过随机初始值经过不停地迭代可以获得最优值。可以将3-RRRU并联机器人位置正解运动学方程的目标函数作为适应度评价函数，也就是适应度值作为目标函数。

将改进差分进化算法应用到3-RRRU并联机器人的位置正解[5]，可以得到求解算法的步骤如下：

第一步：进行种群初始化；设置最优个体的存放位置；

第二步：构建3-RRRU并联机器人的运动学方程，建立数学模型，获得非线性方程组；将非线性问题转换为优化问题，获得目标函数F，将目标函数作为适应度评价函数；

第三步：计算初始种群中的适应度值f_x，并保存最优个体值；

第四步：进行差分进化操作，采用自适应变异算子对产生的目标个体的边界进行上下界的约束；

第五步：采用交叉操作，重新计算适应度值f_v；通过将适应度值f_v与f_x进行一对一的对比，进行选择操作，选择最优个体进行保存；

第六步：以最大进化代数为终止条件进行判断，若满足则进化停止，若不满足则返回STEP5继续差分进化过程，直到满足约束条件。

4 仿真测试

4.1 ADE 算法性能比较分析

将基本DE算法和改进ADE算法进行性能比较分析，将参数设置如下：种群维数D为2，种群数量NP为100，CR=0.8；选用标准测试函数进行测试，测试对比结果如表1所示。

表1 对标准函数的测试结果

改进DEA算法在获得最优解的迭代次数的平均值从245次迭代到102次迭代，收敛速度上有了很大的提升。如图4所示，从适应度值上可以看到，改进算法的适应度平均值为0，精度更高。

图4 目标函数值

4.2 关于3-RRRU并联机器人的位置正解数值

针对3-RRRU并联机器人的目标函数进行寻优，确定选取理论起始坐标和理论到达坐标。通过matlab进行仿真计算可以得到适应度曲线如图5所示。通过图中数据可以看到改进DEA算法可以将求得的位置正解值与理论值几乎接近，说明该算法的求解是有效的。

图5 3-RRRU并联机器人位置正解的适应度值曲线

5 结语

本文提出了一种3-RRRU并联机器轨迹跟踪系统，包括建系模块、定位模块、监测模块、跟踪模块。同时将3-RRRU作为并联机器人的主要研究对象。并对该机构的运动学建模进行了分析，采用差分进化算法对其运动学正解进行了求解，通过仿真对比发现能够获得有效的运动学正解值。