三维趋化系统全局弱解的存在性和渐近稳定性

唐浩怡，彭红云

（广东工业大学 数学与统计学院，广东 广州 510520）

关于抛物−双曲型系统解的适定性(局部和全局)和渐近稳定性的数学研究很多，但这些研究大多集中于连续初值[1-4]。相比连续初值，不连续初值的研究难度更大。本文考虑以下PDE-ODE趋化模型

在不连续初值下全局弱解的适定性和大时间行为。该模型描述了肿瘤血管生成过程中血管内皮细胞生长信号因子VEGF(Vascular Endothelial Growth Factor)和血管内皮细胞之间的相互作用[5]。u(x,t)和c(x,t)分别代表血管内皮细胞的密度和血管内皮细胞生长信号因子的浓度。参数 ξ>0是衡量趋化强度的趋化系数，µ代表生长信号因子的降解率。通过Cole-Hopf变换[6]

系统(1)可变为抛物−双曲型方程

系统(3)满足初始条件和无穷远状态

对于一维的趋化抛物−双曲型系统(3)已经有了大量的研究。首先，一维行波解的存在性和稳定性可参考文献[7]，关于解的整体存在性可参考文献[8-10]，关于有界区间上解的存在性可参考文献[4，11]。对于多维全空间 R2，文献[12]讨论了关于有界区域上平面行波的非线性稳定性。对于高维情形，当初值接近常数平衡态时，关于经典解爆破准则的研究可参考文献[13-14]，在文献[13]中也讨论了当，∈Hs(Rd)(d∈Z+)，很小时，解的大时间行为。在初值正则性高的情况下，当小，解的代数衰减率可以进一步在文献[1]得到。当∈H2(Rd)（d∈Z+）且很小时，文献[2]讨论了在 Rd(d=2,3)上解的整体存在性和时间衰减速率。以上的结论都是基于初值的高正则性和Hs(s∈N，s≥1)模小的情况下，所得到的解都是强解。而关于不连续初值的研究难度更大，成果不多，因为 ∇v的可积性在连续初值的分析[1-2，13]中有关键性地位并且很容易得到。由于初值的正则性低，难以得到 ∇v的可积性，只能期望得到v的Lp可积性。在文献[15-16]中分别讨论了在R 和R2上全局弱解的适定性和渐进稳定性。本文期望在R3空间讨论模型(3)全局弱解的稳定性。其中，本文引入了“有效粘性通量”的工具来处理需要的能量估计和v的正则性。由Navier-Stokes方程组相关研究[17]的启发，式(3)的第一个等式可改写为=∇·F，“有效粘性通量”F可定义为

那么，式(3)的第二个等式可化为vt=−χuv+F。利用有效粘性通量，可以处理初始值正则性较低带来的困难。因为χ 和对本文的分析没有实质影响，以下不妨设，首先引入弱解的定义。

定义1若(u,v)可积且对于任意可测函数，有

那么(u,v)是系统(3)～(5)的弱解，式中：j=1,2,3，ψ0(x)=ψ(x,0)。下面介绍本文的主要结论。

定理1假设40且≤M,存在依赖于M的常数 ε>0，使得当=θ0≤ε时，Cauchy问题(3)～(5)存在一个全局弱解(u,v)(x,t)满足

并且使得式(8)中的渐近行为成立：

式中：2

定理1的初值条件表明(u0,v0)可以是不连续的，这给分析带来了很多困难。为了证明定理1，首先对初值进行磨光，在磨光后的初值下得到全局光滑解(uδ,vδ)，然后当极限δ→0时，得到系统(3)～(5)的弱解。本文证明的关键点在于得到与磨光参数 δ无关的全局先验估计。由于以往处理连续初值的理论框架不能完全解决本文中的问题，所以需要引入“有效粘性通量”F来获得关于δ 的一致估计。相比于二维的研究，有一些非线性项在三维情形下更难处理，这需要一些新的技巧来处理这些非线性项，从而得到关于δ的一致先验估计。

1 预备引理

介绍一些记号：

（1）Hk(R3)表示在R3上的k阶Sobolev空间，范数形式为，L2是L2(R3)的缩写。

（2）θ0=∥u0−1∥2+∥v0∥2，在文中θ0是一个很小的数，不失一般性设θ0<1。

以下介绍Cauchy问题(3)～(5)光滑解的局部存在性和爆破准则。

引理1[13]令。存在使得Cauchy问题(3)～(5)存在唯一的解(u−1,v)∈L∞((0,T∗],Hs(Rd))，d∈Z+。

引理2[14]令。如果(u,v)是引理1在最大有效时间T∗>0上唯一的局部解，那么当

时，解(u,v)可以往T∗>0以外延拓。

在这种变换下，式(6)中定义的“有效粘性通量”F可写为

引理3[16]令是系统(10)的光滑解，则存在一个正常数C，使得

引理4[18]令1≤q,r≤∞，r∈(0,p)，1

2 近似解的先验估计

在这一节中，本文拟在磨光初值下构造近似解来证明定理1。令，其中，=u0−1，jδ是标准磨光核。然后考虑近似系统

通过引理1，可以得到满足初值(16)～(17)的近似系统(15)的解的局部存在性。然后，将在以下引理中证明近似解满足一些与参数δ 无关的全局先验估计。简单起见，仍然用表示近似解。令T>0是给定时间，是系统(15)在R3×(0,T]上的光滑解。设σ=σ(t)=min{1,t}，定义

接下来，将利用先验假设的方法得到系统(15)～(17)光滑解的先验估计。假设对于任意t∈[0,T]，光滑解满足

式中：M和θ0的定义与定理1中的相同，η0定义为

最后，将在式(19)下获得(15)～(17)的整体解，从而封闭先验假设。下面从的L2估计开始。

引理5在定理1的条件下，若系统(15)～(17)的光滑解满足式(19)，则满足不等式

证明对式(15)的第一个方程和第二个方程分别乘以和v，再把所得结果加起来并积分可得

由Hölder，Cauchy-Schwarz不等式和式(14)得

把式(23)代入式(22)可得

对式(24)在[0,t]上积分，利用式(17)～(19)有

引理6在定理1的条件下，若系统(15)～(17)的光滑解满足式(19)，则满足不等式

式中：σ=σ(t)=min{1,t}。

证明第一步：对式(15)的第一个方程乘以，将所得结果在R3×[0,T]上积分得

对于式(26)右边的第二项，利用 Cauchy-Schwarz 不等式、式(14)、式(19)和式(21)可得

式中的常数λ >0将在后面给定。对于式(26)右边的最后一项

由Cauchy-Schwarz不等式和0≤σ≤1得

由系统(15)的第二式可得

因此，有

由Cauchy-Schwarz不等式、Hölder不等式、式(14)、式(18)和式(19)有

再由式(11)和式(14)得

由式(19)、式(33)和0≤σ≤1，可得

由θ0<1，η0>0，式(11)、式(14)、Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得

由式(13)和Hölder不等式有

由式(18)、式(19)、式(35)、式(36)、Young不等式和Cauchy-Schwarz不等式可得

由Young不等式、式(18)和式(19)得

然后，把式(37)和式(38)代入式(34)，取 θ0足够小使得，由式(20)得

由式(32)和式(39)得

对式(31)右边的最后一项，由Cauchy-Schwarz不等式，式(14)，式(19)和插值不等式可得

把式(40)和式(41)代入式(31)，取 θ0足够小使得，有

联合式(29)可得

结合式(29)得

式(42)取θ0足够小使得≤1，

引理7在定理1的条件下，若系统(15)～(17)的光滑解满足式(19)，则满足不等式

而且对于任意t∈(σ(T),T]，有

引理8在定理1的条件下，取，若系统(15)～(17)的光滑解满足式(19)，则满足

证明由式(11)和vt=得

对式(44)乘以|v|2v，再对结果积分有

对式(45)在[σ(T),T]上积分，由式(43)得

由插值不等式和式(19)，对任意2

由Young不等式有

由式(14)得

由式(25)和式(35)得

由式(19)、式(25)、式(36)、Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和式(39)得

把式(52)代入式(48)得

另一方面，当0≤t≤σ(T)时，

因此，

引理9在定理1的条件下，若系统(15)～(17)的光滑解满足式(19)，则满足不等式(54)

3 定理1的证明

参考文献[16]的证明方法，可以得到关于 δ的一致估计：

同时，有

再由Aubin-Lions-Simon 引理[15]，取一个子序列，当δ→0时，可得在C([0,∞),H−1(R3))中，vδ(·,t)强收敛于v，在(u,v)中uδ(·,t)强收敛于u(·,t)，在L2([0,∞),L2(R3))中，∇uδ(·,t)弱收敛于 ∇u(·,t)。

上述结果可知(u,v)是系统(3)～(5)的弱解。参考文献[16]的证明方法，本文可以证明式(8)。定理1证明完毕。