二轴低周疲劳载荷下船体裂纹板累积塑性与断裂性能分析

2022-02-10邓军林裴志勇汤华林涂雯羚

船舶力学 2022年1期

熊康，邓军林，裴志勇，汤华林，涂雯羚

（1.武汉理工大学交通学院，武汉 430063；2.北部湾大学机械与船舶海洋工程学院，广西钦州 535011）

0 引言

船舶在恶劣海况波浪中航行时受载情况不断变化，使船体构件长期处于多轴高应力、低循环交变应力状态。通常这些载荷具有不同的轴向分量和不同的相位，然而大多数船舶结构疲劳强度评估是根据单轴载荷下的理论研究得到的[1]，其结果往往过于保守。目前，金属韧性材料在单轴低周疲劳下的裂纹扩展行为已经得到了普遍研究，并形成了系统的理论知识和研究方法，但是这些研究方法并不能直接应用到多轴低周疲劳领域[2]。另外，研究表明[3]多轴疲劳寿命的大部分消耗在20 μm到1 mm长的裂纹扩展上。因此，对于船体结构在恶劣海况中的多轴低周疲劳破坏，主要关注船体结构多轴低周疲劳裂纹扩展研究[4-5]。

断裂力学法是近年来研究疲劳裂纹扩展特性的重要方法[6]，一般首先求解出表征裂纹扩展的控制参量K、J积分等，然后分析裂纹扩展速率da/dN与裂纹控制参量K、J或G的函数。对于多轴疲劳短裂纹扩展，由于缺乏应力强度因子的精确解，再加上获得多轴疲劳短裂纹实验数据较困难，使多轴疲劳短裂纹扩展模型的研究进展缓慢，有关多轴疲劳裂纹的研究文献也很少。Meng 等[7]以应力强度因子幅为控制参量分析了二轴拉-拉疲劳裂纹扩展行为，指出以应力强度因子幅表征的二轴疲劳裂纹扩展角可以很好地预测裂纹扩展路径。Hoshide 等[8]对1045 钢薄壁管进行了拉扭二轴疲劳试验，提出用一个等效应变强度因子ΔKeq(ε)来描述多轴短裂纹扩展，成功地描述了多轴疲劳裂纹扩展行为。随后，Foletti 等[9]提出了一个J积分公式来处理多轴短疲劳裂纹扩展，也取得了较好的效果。Gotoh 等[10]通过对二轴疲劳载荷下裂纹尖端等效应力场、塑性区半径以及裂纹张开位移COD的数值分析，提出了基于塑性区等效应力准则的多轴疲劳裂纹扩展断裂机理评估方法。因此，通过对表征裂纹扩展的控制参量K、J积分等进一步深入研究，对船舶结构多轴低周疲劳裂纹扩展断裂分析具有十分重要的意义。

事实上，已有研究表明船体结构的总体断裂破坏往往是低周疲劳与递增塑性两种破坏耦合作用的结果[11]。当船体结构产生的塑性变形的累积值超过某一限定值后，会引发船体局部结构低周疲劳裂纹的形成、扩展并最终产生结构的总体断裂破坏[12]。Qu等[13]通过对Q235中碳钢试件开展的多轴低周疲劳试验，系统地研究了多轴循环变形行为，并据此确定临界平面参数来评估其多轴低周疲劳强度。然而到目前为止，我们对多轴高应力、低循环载荷下这种耦合关系的内在机理以及其作用下的船体结构裂纹扩展的影响规律知之甚少。因此，它理应是船体结构多轴低周疲劳扩展断裂研究上的一个十分重要的研究内容和发展方向。

本文以Q235 钢十字型船体中心裂纹板作为研究对象，通过对裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析，重点研究二轴低周疲劳载荷作用下船体裂纹板的累积塑性规律以及二轴低周疲劳裂纹扩展断裂参数。利用有限元数值模拟分析二轴低周疲劳载荷下不同平均应力、应力幅和二轴应力比等相关因素对应力强度因子、J积分的影响，为正确评估船体裂纹板二轴低周疲劳裂纹扩展断裂行为提供基础。

1 理论分析

船体薄板构件一般处于平面应力状态，多轴低周疲劳载荷下裂纹板裂纹尖端的弹塑性应力应变本构关系是由应力应变曲线结合弹性和塑性理论求得，结合增量物理方程[14]和塑性流动规则与可塑性表面关系，表示为

式中，dεij、dσij是应变和应力张量分量的增量，dλ是比例系数，E是杨氏模量，υ是泊松比，δij是Kronecker应变。

采用Chaboche非线性硬化模型[15]，材料屈服函数为

式中，χ是非线性运动硬化变量，R0是各向同性硬化变量，k是初始半径的屈服面，J是von Mises距离内的偏应力空间，并且

式中，σ'和χ'分别是σ和χ的差值。

塑性流动法则为

非线性运动硬化χ和各向同性硬化变量R0可以表示为

式中，C1、a1、C2、a2、b、Q是材料常数，通过实验来确定；是累积塑性应变率。

根据讨论Chaboche 模型的文献[16]，塑性应变与累积塑性应变之间的微分关系，在n+1 循环中累积塑性应变可写为

这里dεp,n+1是第一个n+1 个载荷循环后裂纹尖端等效塑性应变增量，可以根据Newton-Raphson 迭代法通过n+1个载荷循环后裂纹板裂纹尖端应力-应变关系来获得。

将式（6）代入文献[17]中的Newton-Raphson 迭代法，可获得n+1 个循环后的裂纹尖端塑性应变增量dεp,n+1。另外，也可以获得相应的塑性应变增量。依次更新相应的参数，可以求得在第ith个循环中相应的塑性应变增量。

因此，单轴低周疲劳载荷下裂纹板裂纹尖端在n+1个载荷循环的塑性应变增量Δεp可以表示为

式（7）即是在n+1个载荷循环后裂纹板裂纹尖端累积增量塑性应变值的表达式。

二轴低周疲劳载荷下裂纹板von Mises等效应变根据文献[18]通过使用主应变分量εA和εB获得，

根据式（7）获得的对应载荷循环下的累积塑性应变作为二轴低周疲劳载荷下裂纹板在x、y轴向塑性变形分量代入式（8），即可获得在二轴低周疲劳载荷下裂纹板在相应载荷循环后裂纹尖端von Mises等效塑性应变。

Masayuki[19]证明了应变强度因子在大规模屈服条件下代表疲劳裂纹扩展驱动力的有效性。通过使用应变强度因子作为驱动力，可以很好地描述低周疲劳裂纹的扩展。应变强度因子幅表示如下：

ΔεMises是在二轴低周疲劳载荷下裂纹板在相应载荷循环后裂纹尖端von Mises等效塑性应变，由式（8）获得。常数fL可通过以下公式获得：

J积分用作描述弹塑性疲劳裂纹扩展的参数，可以通过常规工程方法估算为

式中，Je和Jp分别是J积分的弹性部分和塑性部分。对于幂硬化材料，J表达式可以以一般形式扩展[20]。

式中，C2=2；E为平面应力条件；F表示弹性K表达式中的几何因子；应变硬化指数n和系数a，ε0和σ0由具有Ramberg-Osgood本构关系的单轴应力-应变曲线确定。

对于平面内二轴低周疲劳载荷加载条件下，通过改变完全可塑性因子h1表达式可以解释多轴性的影响，其中双轴解h′1由参考文献[20]给出。

对于二轴低周疲劳载荷加载下，ΔJ表达式的估计与单调J表达式的估计相似，但仅将σ和ε的单个值替换为它们的范围Δσ和Δε。结合式（9）、式（13）和式（12），二轴低周疲劳载荷下基于累积塑性变形的船体裂纹板裂纹尖端J积分表达式为

2 有限元分析及讨论

本文利用ABAQUS 有限元软件来进行建模和有限元计算。对二轴低周疲劳载荷下含有45°预裂纹的十字试件进行整体建模，模型四肢的长度和宽度分别为120 mm 和45 mm，两臂交界处的曲率半径为45 mm。预制裂纹总长2a为8 mm，十字形试件整体板厚为5.7 mm，中部板厚削减为3.2 mm，以保证最大面积的均匀应变区域。从试件中心处制备了4 mm 长的预制裂纹，位于水平和垂直臂的45°处，十字形试件具体几何尺寸见图1。

图1 十字型试件几何形状及尺寸Fig.1 Geometric shape and size of cross-shaped specimen

结合疲劳裂纹特点采用四节点缩减积分单元（CPS4R）划分网格，缩减积分单元有助于提高计算效率，且在裂纹尖端网格存在扭曲变形时，分析精度不会受到明显的影响。有限元计算模型如图2 所示。对疲劳裂纹尖端局部区域进行单元细化，裂纹尖端区域细化过程中对沿着裂纹扩展路径的区域选择最小的单元，尺寸统一为0.05 mm×0.05 mm，裂纹尖端细化区域与裂纹外围采用过渡网格，一共两层。裂纹扩展区的细化程度直接影响了疲劳裂纹尖端应力应变场的有限元分析精度，同时也更有利于运用节点释放技术模拟疲劳裂纹的扩展。另外，为了更好地与单轴进行对比分析，本文还进行单轴数值模拟。

图2 裂纹板有限元模型及裂纹扩展区域局部细化单元Fig.2 Finite element model of cracked plate and local refinement element of crack propagation area

有限元模型中选取造船行业中常见的Q235 钢，其材料参数见表1。材料本构模型选用Chaboche非线性强化准则，其相应模型系数见表2。

表1 Q235钢材料参数Tab.1 Material parameters of Q235 steel

表2 Q235钢Chacoche联合模型系数[12]Tab.2 Chacoche joint model coefficients of Q235 steel[12]

2.1 裂纹尖端应力应变场

为了研究裂纹尖端应力应变行为，在频率为0.25 Hz的多轴低周疲劳载荷下的前30个循环的靠近裂纹尖端高斯积分点的多轴应力比λ=0、1.0，应力比分别为R=0.1,0.2,0.3 的应力应变迟滞回线如图3和图5所示；靠近裂纹尖端的高斯积分点位于极坐标系中靠近裂纹尖端(r=3.8 μm,θ=45°)。

图3～4 给出在多轴应力比λ=0 即单轴应力且不同应力状态下裂纹尖端应力应变关系曲线。从图3～4中可看出，裂纹尖端应力应变场表现出明显的累积递增塑性变形现象。在不同应力比而相同最大应力σmax的单轴低周疲劳载荷作用下，裂纹尖端处的累积塑性应变随循环周次的增加而逐渐增加，且应力比越大，其累积塑性应变也相对较大，但是随着循环周次的逐渐增加，疲劳裂纹尖端处的累积递增塑性应变率由开始阶段的快速降低变为逐渐趋于稳定，表明应力比对船体裂纹板的累积递增塑性应变的影响较为明显。

图3 单轴应力状态下（λ=0）不同应力比下裂纹板应力应变关系曲线Fig.3 Stress-strain relationship of cracked plate under different stress ratios under uniaxial stress state (λ=0)

图4 单轴应力状态下（λ=0）不同应力比下裂纹板累积塑性应变率变化关系曲线Fig.4 Relationship of cumulative plastic strain rate of cracked plate under uniaxial stress state(λ=0)with different stress ratios

图5～6 给出在多轴应力比λ=1 即多轴应力状态下不同应力比下裂纹尖端应力应变关系曲线。从图5中可看出，裂纹尖端x轴、y轴两个方向上应力应变场表现出与单轴状态下相似的累积递增塑性变形现象，而且裂纹尖端x轴、y轴两个方向上的累积塑性应变随循环周次的增加而逐渐增加，且应力比越大，其累积塑性应变率也相对较大。

图5 二轴应力状态下（λ=0.3）不同应力比下裂纹板应力应变关系曲线Fig.5 Stress-strain relationship of cracked plate under biaxial stress state (λ=0.3)with different stress ratios

图6 二轴低周疲劳载荷下X轴Y轴向裂纹板应力应变迟滞环曲线Fig.6 Stress-strain hysteresis loop curve of X-axis and Y-axial for cracked plate under the different biaxial low-cycle fatigue loadings

这些结果表明：当裂纹尖端附近的应力/应变幅保持不变而相应改变外载荷幅时，裂纹尖端附近累积塑性应变逐渐增加并且与相应的循环载荷应力比及最大外载荷值相关。裂纹尖端的这种逐渐增加的累积塑性应变可能最终引起结构材料在裂纹尖端附近区域的分离并导致裂纹的扩展，这种现象在Kapoor 等[21]发表的文章中可以得到解释；裂纹尖端的这种总累积塑性应变达到临界值时就会引起裂纹尖端的累积塑性破坏，这个临界值由静载荷引起的结构材料失效应变确定。

综上所示，我们可以得出在单轴（λ=0）、多轴（λ≠0）低周载荷下裂纹尖端附近存在明显的累积递增塑性变形，并最终引起裂纹尖端扩展路径上材料的分离以及裂纹尖端向前扩展移动。Zheng等[22]基于裂纹尖端累积塑性耗散能密度分析低周疲劳裂纹扩展也得出相似的结论。相比外载荷应力比，裂纹尖端局部应力比对裂纹尖端累积塑性变形影响更显著，在分析疲劳裂纹扩展时应予以考虑。

2.2 裂纹尖端残余应力场

在不同二轴比及应力比的最小载荷作用下，距裂纹尖端不同位置处节点法向残余应力分布如图7所示。

图7 不同载荷条件下裂纹扩展方向上残余应力分布Fig.7 Residual stress distribution along crack propagation direction under different loading conditions

从图7 可知，在循环载荷中的最小载荷下，裂纹尖端附近残余应力出现了明显的应力集中现象，在裂纹尖端位置处应力达到最大，过大的应力会在裂纹尖端产生塑性屈服而变形，从而引起裂纹尖端逐渐分离而向前移动扩展。在裂纹尖端随着距离的增大，应力逐渐降低，而且在裂纹前方多轴应力比越大，相应的应力也越大，表明平行裂纹载荷增强了裂纹尖端前缘应力场，从而加速二轴低周疲劳裂纹扩展速率，Tchankov等[23]的研究也得出了相同的结论。

为了将双轴应力问题转换为等效的单轴应力问题，根据文献[24]中方程（2）得到在不同二轴比(λ=σx/σy)、应力比R下各等效单轴应力变化历程，即可显示二轴低周疲劳载荷下裂纹板在一条裂纹线上施加的等效单轴应力分布范围，如图8所示。

由图8（a）～（b）可知，在不同双轴应力比和应力幅情况下，无裂纹条件应力随时间呈正弦函数变化趋势，即随双轴加载同相位差变化而变化，且当双轴应力比越大时，其沿裂纹线方向无裂纹应力逐渐减小，因为裂纹垂直方向上施加的应力范围对低周疲劳裂纹扩展的影响可以被双轴加载同相位差效应抵消，而在不同应力幅情况下，其变化曲线依旧随应力幅增大而增大。

由图8（c）可看出，通过Takahashi 等[24]的研究得到的双轴加载情况下沿裂纹线方向的等效单轴应力范围随平均应力依次增大。此外，还发现各平均应力条件下的等效x轴应力与外载荷变化趋势基本一致。因此，可以认为图7中所示的变化是由沿着裂纹线方向的应力所导致的，在这种不同平均应力情况下，等效单轴应力大于原双轴加载应力条件，并产生疲劳裂纹扩展的加速效应。

图8 不同二轴低周疲劳载荷下沿裂纹线方向的等效应力变化历程Fig.8 Equivalent stress change history along the crack line under different biaxial low-cycle fatigue loads

2.3 裂纹尖端塑性区半径

在二轴低周疲劳拉拉载荷下，拉伸加载阶段疲劳裂纹面将张开并将引起裂纹的扩展，卸载阶段将引起裂纹的闭合，并且这个阶段疲劳裂纹的扩展受发生在裂纹尖端局部区域的累积塑性变形的影响非常显著，裂纹尖端局部塑性区域的大小是合理评估低周疲劳裂纹扩展的基础。在相应载荷情况下，通过有限元计算获得裂纹尖端塑性区半径应力应变云图如图9所示，相应的塑性区大小如图10所示。

图9 二轴低周疲劳载荷下裂纹尖端塑性区半径云图Fig.9 Plastic zone radius diagram at the crack tip under biaxial low-cycle fatigue loading

图10 不同二轴低周疲劳载荷下裂纹尖端塑性区变化Fig.10 Changes of the plastic zone radius at crack tip under different biaxial low-cycle fatigue loads

由图10（a）～（b）可知，在其它载荷因素相同而二轴应力比、应力比不同作用下，塑性区半径大小随二轴比（λ=σx/σy）和应力比R增加而增大，表明二轴低周疲劳载荷中平行裂纹载荷促进了裂纹尖端应力增强，且促进了裂纹尖端塑性区半径的增大。Gotoh 等[10]通过研究也得出了类似的结论，认为二轴疲劳载荷下裂纹尖端最大塑性区域和最小塑性区域的大小，随二轴加载的应力比变化而变化。从图10（c）可看出，随着平均应力的增大，最大和最小塑性区域都逐渐增大。最大塑性区域和最小塑性区域的大小，受双轴加载的应力比的影响而变化。结果证实，各加载条件下的塑性区大小与疲劳裂纹扩展行为是一致的[10]。

2.4 应变强度因子及J积分

为了进一步厘清裂纹板二轴低周疲劳裂纹扩展断裂行为，本文通过理论分析和有限元数值模拟分别分析了不同二轴比（λ=σx/σy）、应力比R和平均应力的二轴低周疲劳载荷下十字型裂纹板试件的应变强度因子Kε及J积分变化关系曲线，计算结果如图11～12所示。

图11（a）～（b）中，二轴低周疲劳载荷下裂纹板在其它因素相同的情况下，应变强度因子Kε随二轴比（λ=σx/σy）、应力比R增加而增大，而且随着裂纹的不断扩展、裂纹长度的增大，应变强度因子Kε增加的幅值也越大。与单轴载荷状态相比，二轴各应力状态下裂纹板应变强度因子Kε均增加。图11（c）表明，在二轴比λ=1 的双轴疲劳加载下，即垂直方向和水平方向的疲劳载荷相等且同相，裂纹板应变强度值随平均应力增加而增大；此时，J积分与裂纹长度在平均应力增加时，逐渐增大。

图11 不同二轴低周疲劳载荷下裂纹尖端应变强度因子ΔKε变化曲线Fig.11 Variation of crack tip strain intensity factor ΔKε under different biaxial low-cycle fatigue loads

从图12可看出，在二轴低周疲劳载荷下，裂纹板J积分变化关系曲线与对应应变强度因子Kε变化类似，随二轴比(λ=σx/σy)、应力比R增加而增大，而且随着裂纹的不断扩展、裂纹长度的增大，应力强度因子K增加的幅值也越大。这一计算结果与文献[25～26]的研究结果一致，说明二轴比(λ=σx/σy)和应力比R等对二轴低周疲劳裂纹扩展影响较大。