《平方差公式》微课设计

何书坤

● 特色与亮点

①在生活中学数学。本微课从学生喜爱的动画片入手创设情境，让学生在问题情境下进行学习，以激发学生学习的兴趣。

②学法思路清晰。在微课设计时，笔者以新课标理念为指导思想，突出对平方差公式的推导和应用，让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中进一步发展代数推理能力、表达能力等各方面的能力。

③生成思维导图。本节微课将平方差公式的学习过程用思维导图的方式呈现，让学生清晰了解并记忆知识体系。

④语言风趣幽默。在设计微课的过程中，重点强化语言的艺术性及规范性。

● 制作背景

①随着新冠疫情的常态化，学生的学习方式发生了巨大的变化，如何设计出能够满足学生线上自主学习的相关配套资源显得尤为重要。特别是在国家“双减”工作的推进下，生活化、体验式的学习走进了学生视野。作为学科教师，笔者所设计的学习资源也要适应新发展与新要求，既要完成教学目标，也要落实“双减”工作的总要求。

②从知识体系看，本节课选自人教版数学八年级上册《平方差公式》，学生已经学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，这是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对本课的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要的地位，它是初中阶段的第一个公式。

● 设计思路及内容结构

1.设计思路

①让学生经历“特例—观察—猜想—验证—归纳—用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美。②让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题，在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解。③通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知的过程，发挥学生的主体作用，在增强学生学数学、用数学的同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。④通过虚拟场景让学生从生活中学习，在生活中体验学习数学的乐趣。

2.内容结构

教学目标：会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算;在探索平方差公式的过程中，發展符号感和推理能力，在计算的过程中自主发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美，同时培养分析、综合、抽象、概括以及运算能力;激发学习数学的兴趣，鼓励探索，有意识地培养创新能力，营造文明和谐的学习氛围。

重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。

难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，并灵活、准确应用公式计算。

● 教学过程

1.创设情境，引出课题

（多媒体展示问题情境）师：同学们都看过动画片《喜羊羊与灰太狼》吧？现在，灰太狼注册了一家租地公司，他把一块边长为a米的正方形土地租给村长种植。有一天他对村长说：“我把这块地的一边增加4米，另一边减少4米，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”村长一听觉得也有道理，就答应了。村长这样做合算吗？

设计意图：借用学生喜欢的动画片创设情境，利用幻灯片动画吸引学生的眼球。

2.复习回顾，引出新知

（1）多项式乘以多项式的法则。

（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

（2）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

①（x+1）（x-1）=;②（m+2）（m-2）=;③（a+3b）（a-3b）=;④（2x+1）（2x-1）=。

设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为学习平方差公式做了铺垫。

3.探索新知，发现公式

（1）观察发现，得出公式。

依照以上四道题的计算回答问题：①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么共同特征？③能不能用字母表示你的发现？

教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律——式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出（a+b）（a-b）=a2-b2。

设计意图：在学生已掌握多项式乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法——平方差公式。

（2）数形结合，几何推导。

（运用动画展示活动探究）在边长为a的正方形上减去边长为b的正方形（a>b），求剩余图形的面积。并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系。

①直接用大正方形的面积减去小正方形的面积得出a2-b2。

②可以用拼接的方式得到一个矩形，从而表示为（a+b）（a-b），进而验证猜想（a+b）（a-b）=a2-b2。

③可以连接两个小正方形的顶点，得到两个全等的梯形，求出两个梯形的面积，加和得出（a+b）（a-b），也能验证猜想（a+b）（a-b）=a2-b2，从而推导得出平方差公式。

设计意图：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动，利用这些图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证平方差公式的正确性，渗透数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系。引导学生学会从多角度、多方面来思考问题。对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，验证公式的正确性。

（3）总结归纳，文字表达。

师：你能用文字表示所发现的规律吗？（两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差）

设计意图：鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力。

（4）剖析公式，发现本质。

在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，其结构特征为：

①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项;右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即a2-b2。

②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式。

设计意图：通过观察平方差公式，体验公式的简洁性，并通过分析公式的本质特征掌握公式。在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。

4.巩固运用，内化新知

A组：直接应用。

（1）判断下列算式能否运用平方差公式计算：①（2x+3a）（2x-3b）;②（x+1）（x-1）;③（-m+n）（-m-n）;④（2p-3x）（2p-3x）。

设计意图：学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件，巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以代表数，也可以代表式，加深对字母含义广泛性的理解。

（2）计算：①（3x+2）（3x-2）;②（b+2a）（2a-b）。

设计意图：巩固平方差公式应用，可引导学生用不同的方法计算，以体现学生的创造性。

B组：拓展深化，发展思维。

（1）计算：①99x（-101）;②（x+2）（x-2）-（x-2）（x+6）。

设计意图：把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了数学的转化思想和运用逆向思维解决问题;另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行计算。

（2）如图1所示，小明家门前有一块“L”形的蔬菜园，现在要分成两块形狀、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你帮小明设计并算出这块蔬菜园的面积。

设计意图：运用平方差公式解决实际问题，设计此题与平方差公式的几何意义相吻合，加深学生对平方差公式的理解。

C组：小试牛刀，挑战自我。

（1）计算：①（2x+y）（2x-y）;②（-3a+b）（-3a-b）;③（m5+7n2）（m5-7n2）。

（2）在下列括号中填上合适的多项式：①（7a+2b）（    ）=49a2-4b2;②（      ）（      ）=64-m2。

（3）看谁算得快：0.652-0.352。

设计意图：设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果逆向推导算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻炼学生的逆向思维能力，也为后续的学习做铺垫。填空题第2题有两种填法，属于开放设计，目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维。

5.解决导入，联系实际

动画切换到导入，学生利用平方差公式很容易地算出：（a+4）（a-4）=a2-16。土地少了16平方米，看来村长吃亏是因为他不会平方差公式！学好数学很重要，它可以帮助我们解决生活中的问题。

6.总结概括，自我评价

师：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？

设计意图：从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识。

7.课后作业（如图2）

设计意图：作业分层处理有较大的弹性，以满足多样化的学习需求。

● 关键技术处理

本节微课主要采用PPT演示技术，并结合录播软件合成技术完成制作。制作过程中通过对PPT动画效果的处理和图形化展示数学模型的方式，突破教学难点，在微课中设计出互动效果，引导学生进行探究性学习，教师根据学生认知规律利用多媒体技术，逐步推导出平方差公式。

● 幕前幕后

在设计本微课时，最初的呈现方式是教学课件，通过课后记录学生的参与程度与学习过程后发现，学生在进行多项式乘法运算时常常会出现确定错某些项符号及漏项等问题。学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的理解。于是，笔者把教学课件制作成了微课供学生预习及复习使用。本微课从根本上解决了不同层次学生具有不同的学习需求的问题，方便学生进行高效学习。

附：《平方差公式》微课二维码