浅析构造法在小学数学中的教学

杨雯婷

（江苏省昆山市周市中心小学校，江苏昆山 215314）

一、关于构造法

构造法是一种在数学中十分重要的教学方法。无论是在小学、初中、高中，甚至是大学，构造法在数学教学思维方式中都占据一定的地位。古今中外，无数位数学家运用了构造法发现并证明了伟大的定理。

运用构造法教学并没有固定的套路与方式，若是一味地利用一种方法套用教学，那恐怕会一事无成。因此，教师们学会了运用构造法教学，并不代表这样便学会了所有数学问题的教学，若是这样认为，那恐怕是片面的、决断的。构造法不是教学的万金油，并不是任何的问题都能适用。教师教会学生学习构造法的目的，在于教会学生学会构造法的精髓，那便是让学生学会敏捷、灵活地运用构造法解题时的创造性思维。所谓创造性思维，其实就是指运用新颖、独特的方式来解决问题的思维。运用构造法教学最大的特点便是赋予创造性地利用已知的条件、定理或公理来解决实际问题。

构造法的历史非常悠久，可谓是一种古老的科学方法，因此用构造法教学的渊源可是追溯到很久很久以前。古希腊数学家欧几里得是个伟大的数学家，他是构造法的创始人。他运用了构造法成功地证明了“素数的个数是无限的”这一定理，这无疑是伟大的。另外，西方数学家布劳威也运用了构造法对代数基本定理展开了更加详细的说法，虽然运用构造的方法比常规方法的过程多一些，但是其中涉及的内容与证明方法却比常规的方法多得多，也深得多。

构造法不仅在西方被时常涉及，在古代中国，构造法也常被涉及。如三国时期的数学家与天文学家赵爽，在他著作的《周髀算经》中运用了构造的方法，并详细地介绍了中国古代勾股算术的深奥高深的原理，并被记录于《九章算术》中，这为勾股算术的运用与勾股定理的证明提供了十分重要的依据，并且也促进了中国古代数学史的发展与壮大。

既然构造法并没有它的固定套路与公式，教师便可以从一些具体的实例中分析构造法。我国著名的数学家陈省身也曾经指出：“一个数学家的优秀与蹩脚，在于他善于利用具体、易懂的实例并非那些抽象、难懂的理论。”

二、数字朋友，激发兴趣

运用构造法教学有太多的好处。教师在学习使用构造法教学的过程中，第一方面，教师可以达到顺利教学的目的。第二方面，教师还可以在教学过程中不断强化学生的知识结构，将所学知识结合起来，使学生学到的知识更加全面、牢固。第三方面，学会运用构造法教学，还能激发学生的求异思维，让学生在解题的过程中，学会选择最佳的解题方法，从而使得思维方式和解题能力得到训练。

20以内进位加法和退位减法是小学数学一年级上册的知识，也就是说，学生刚进一年级就接触到了构造法的基本思想与基本内容。

在学习本节课内容时，教师为了让学生更好地明白与理解20以内进位加法，运用了“凑十法”。所谓“凑十法”，就是先构造出一个十，再计算余下的算式，显然学生对于十加几的运算比较熟练。

例1：9+4=

分析：这是20以内进位加法的第一课时九加几的学习，运用了“凑十法”的构造思想与方法。关于“凑十法”，它的思考过程一般可以表达为：因为9和1构造成10，所以要把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13，于是9+4=13。

解：9+1=10，10+3=13

例2：15-6=

分析：这是20以内退位减法十几减几的学习，可以运用“平十法”的数学思想，即上个位不够减时，先减去一部分构造出10，再用10减去剩下的一部分数。15-6=的思考过程可以理解为：先用15-5构造出一个10，所以将6分成5和1，先算15-5=10，再算10-1=9，于是15-6=9。

在六年级加法的简便运算中也运用到了构造法。

例3：805+798+801+802+797+794=

分析：这是6个三位数相加，在教师进行教学之始，学生多数是竖式计算，计算过程冗长，并且容易出错。在学生计算出正确答案之后，启发学生观察数字特点，发现都与800相近，于是构造出6个800相加，再进行计算。

解：805+798+801+802+797+794=（800+5）+（800-2）+（800-1）+（800+2）+（800-3）+（800-6）=800×6+5-2-1+2-3-6=4797

构造法是数学教学中比较常见的方法之一，但其实构造法并没有固定的公式与套路。在教学时，由于每个题目都有每个题目不同的题干和待解决的问题，甚至还有其不同的研究内容和意义，所以教师在用构造法教学的时候切记不可以生搬硬套，不能搞“一刀切”。但是，教师可以根据所给题目的题干与问题，寻找出其一般的、典型的、本质的特征，根据这些特征，依靠教师的大脑产生联想与想象，构造出一个与原问题相关联的问题从而使原问题得到解答。

三、数形结合，巧妙构造

构造法说的是当教师在教学生解决某些数学实际问题时，沿着固定的路线按照定向的思维难以解决该问题，应牢牢利用题干条件和问题的特征、性质，从新的方面，新的角度，用新的观点突破并去观察、分析、理解目标。紧紧抓住反映问题的条件与结论之间的内部关联点，运用问题的数字特征、外形特征、坐标特征等，使用题干的已给条件作为原有的材料，运用已知的、现有的知识，在思维、想象中构造出满足题干条件或结论的数学目标。从而使原问题中蕴涵的关系和性质在新构造出来的数学目标中清晰、明白地显现出来，并把该数学目标作为踏板，更加方便、快捷地解决数学实际问题的方法。

前苏联著名的数学家卡皮查曾经指出：“数学是培养学生创新能力和实践能力最合适的学科”。在数学学习过程中，构造法便是这其中一种富于创造性的教学方法。1999年，中共中央和国务院颁布的《关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》中提出教育要“以培养学生的创造精神和实践能力为重点。”由此，教师就更应该注重培养创新能力，构造法就显得非常重要了。

四、图形拼搭，引起灵感

有一句谚语：学会“走”才能“跑”。所以教师在学会应用构造法教学之前，首先应该知道的就是构造法的基本概念、定义与历史发展情况，并且必须牢牢记在心中，打好基础才是关键，这样才能灵活运用并且不会出现原则性的错误。只有清楚地了解与明白构造法的这些基本内容，才能够正确并且灵活地运用构造法来教学，甚至应用构造法熟练地解决实际问题。接下来将介绍关于图形构造法的一些基本概念和历史进程。

例5：关于平行四边形面积、三角形面积、梯形面积的计算是在五年级上册中学习的，平行四边形的推导方式是将平行四边形延它的高剪下后平移构造成一个长方形，长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，长方形面积=长×宽，在平移构造的过程中面积不变，所以推导出平行四边形的面积=底×高。

三角形面积的计算是在学习了平行四边形面积的基础上，再学习计算方法的。在教科书上，三角形的面积计算原理是用一个与该三角形不论形状、大小都完全一模一样的三角形构造出一个平行四边形，平行四边形的面积计算公式是：平行四边形的面积=底×高。因为是由两个完全一模一样的三角形构造出来的平行四边形，所以一个三角形的面积是平行四边形面积的一半，一个三角形的面积=底×高÷2。于是，三角形面积的计算公式便推出来了。

用同样的方法可以推导出梯形的面积公式，梯形的推导方式也是用两个完全相同的梯形构造出一个平行四边形，这个平行四边形的底就是梯形的上底加下底的和，平行四边形的高就是梯形的高，一个梯形的面积就是这个平行四边形面积的一半，所以，梯形的面积公式就是（上底＋下底）×高÷2。

例6：求下面图形的面积

在五年级上册学习的组合图形面积这一课中，就运用了构造法的思想。可以将下面这个组合图形填补一个长3 m，宽2 m的长方形，从而构造成一个长6 m，宽5 m的长方形，便于理解和计算。启发学生明确：要计算组合图形的面积就等于大长方形的面积减去小长方形的面积，于是就有了5×6-2×3=24。

五、鸡兔同笼，构造假设

《孙子算经》作为中国古代举足轻重的数学著作，成书大约是在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年份不详，流传的《孙子算经》共三卷，上卷叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，书卷中举例说明了筹算分数算法和筹算开平方法。下卷第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来流传到日本，变成“鹤龟算”。书中是这样记载的。

例7：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？此题被义务教育课程标准实验教科书人教版数学五年级上册选为补充教材，并且为部分五～六年级的课外习题所用，及义务教育课程标准实验教科书北师大版数学八年级上册“应用二元一次方程组——鸡兔同笼”中也作重点教学。

此题可以根据学生不同的年龄特点用不同的方法解答。

1.摆一摆、画一画（二年级学生）

此题对二年级学生来说，因为有两个未知数，解答起来很困难，所以可以采用画图的方法便于二年级学生理解。

第一步可以先画35个头，第二步为每个头画两只脚，剩下的24只脚可以分给12个头，每个头可以画两只脚。由此可得4只脚的是兔子，2只脚的是鸡，兔有12只，鸡有35-12=23（只）。

2.构造假设法（五～六年级学生）

解法一：构造假设全部都是鸡，一共有：35×2=70只脚，但实际上共有94只脚，少算了94-70=24只脚，因为每只兔少算了2只脚。因此，一共有多少只兔呢？24÷2=12（只），则鸡有35-12=23（只）。

解法二：构造假设全部都是兔，一共有：35×4=140只脚，但实际上只有94只脚，多算了140-94=46只脚，因为每只鸡多算了2只脚。因此，一共有多少只鸡呢？46÷2=23（只），则兔有35-23=12（只）。

解法三：金鸡独立：兔两只后脚着地，前脚抬起；鸡一只脚着地，一只脚抬起，则脚的数量是原来的一半94÷2=47（只），现在鸡有一只脚，兔有两只脚，笼子里只要有一只兔子，则脚数比头数多1，那么脚数与头数相差47-35=12（个），就是兔子的只数，则鸡有35-12=23（只）。

解法四：砍腿法：先砍掉每只鸡、兔的两只脚，那么鸡就没有脚了，兔还有两只脚，脚的总数就变成94-35×2=24（只）。这24只脚就是砍掉兔的两只脚后兔子剩下的脚，兔的只数：24÷2=12（只），则鸡有35-12=23（只）。

六、结束语

本文介绍了小学数学的几个构造法教学。毋庸置疑，用构造法教学的优势尽显无遗，但其实用构造法教学并没有什么套路可言，教师只能从中寻找并总结规律，运用教师所掌握的知识和自身已具备的能力，先进行观察，再进行细致分析。通过仔细地观察和分析、去发现问题的各个环节中的外在联系和内在联系，从而为寻求解法创造条件。当然教师在运用构造法解决问题时，要明确的就是问题的目的，需要构造出什么条件，根据这些构造的条件来设计出构造的方案。构造出来的形式、结构和模型应该要尽可能地直观并且明了，以便于运用所学过的知识、方法来解决问题，尽教师所能使复杂的问题简单化。

在教学过程中，教师引导学生运用构造法教学有利于开拓学生的思维，提高学生的积极性，而且有利于培养学生的思维能力，使学生的思维由单一转化为多角度。构造法不仅能开拓学生的教学思路，而且能加深学生对数学的理解。同时，构造法的运用不但能提高学生对于学习数学的兴趣，而且能让学生真正感受到数学的美，从而使学生爱上数学。最后还应该指出，运用构造法并不是教学的唯一途径，并且构造法也不单单只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种不同的构造方法，也可以用其他的思维来求解。在教学过程中，教师应注意培养学生的创造思维和实践能力，使得学生在学习与实践中切身体会知识之间的内在联系和互相转化，学以致用，能创造性地构造出解决问题的有利条件，从而巧妙地解决问题，获得学习上的成就感和成功的喜悦。