将数学建模思想渗入大学数学教学的探索

□李东方 刘会彩

随着现代科学技术和互联网的发展，大学数学作为一门基础应用性学科所扮演的角色越来越重要，大学数学与各学科各专业的结合也越来越紧密，但是在大学数学教学中，数学作为工具性学科在实际生活中的广泛应用没有被广大学生直接感知到。为此，在大学数学教学过程中，将所学的数学知识与实际生活紧密的联系起来，将实际生活中真实存在的问题直接转化成真正的数学问题，使实际生活走进大学数学课堂，有效合理地渗透数学建模思想[1]就显得十分必要了。

一、数学建模的内涵

数学建模可描述为：把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题的过程[1]。

二、课堂教学中渗透数学建模思想的必要性

(一)培养大学生处理现实生活问题的能力。数学源于生活，又高于生活，是对实际生活的归纳抽象和总结概括。新时代的大学生有一个强烈的欲望——就是运用学到的知识来解决实际生活问题，或者解释特定的社会现象，或者预测未来状况，或者提供最优策略等等。学习大学数学课程也不例外，开设大学数学课程是针对不同学科不同专业将来学习的需要。数学建模思想的有效合理渗透，有助于提升广大学生处理实际生活问题的能力。

(二)培养大学生的创新意识和创新能力。数学建模的一般步骤[2]：分析问题—作出假设—模型建立—模型求解—模型分析和检验—模型应用。对于同一个实际生活问题，不同的学生，思考问题角度不同，所用的数学方法不同，建立的数学模型也不同。即使他们建立的数学模型相同，不同学生的处理方法也不同。这就要求学生运用自己的所学和已有的经验，充分发挥自身的想象力和创造力来解决现实生活问题——这就是创新意识和创新能力的培养。

(三)培养大学生的团队协作能力。各级各类大学生数学建模竞赛的开展，尤其是“高教杯”的举办。每年各大中专院校都会掀起一波数学建模竞赛的高潮。数学建模竞赛一般以小组为单位参赛，每个小组成员有三名学生和一名指导老师。数学建模竞赛是团队赛，这就需要小组成员之间互助互补，分工协作，联合作战。因此，教学中数学建模思想的有效合理渗透，有助于提升大学生的团队协作能力。

三、大学数学教学中存在的缺点和弊端

(一)教学观念没有与时俱进。从目前科学信息技术的教育发展现状态势分析来看，作为基础和工具学科的大学数学，对于培育各级各类知识型、技能型人才发挥的作用也越来越重要。但是在实际课堂教学中存在着许多理论性知识过强的教学现象，缺乏数学知识在实际生活中的有效应用，并且数学教师更多的注重知识局部化和模块化的教学，而忽略了学科教学方法的行之有效的训练方式，在课堂教学中大学数学教师多是采用一些典型的案例来直接进行模块化教学，数学知识的应用缺乏生活中的背景素材，课堂教学没有与时俱进。从实际的课堂教学实践情况来看，教师过于注重大学数学知识的系统传授，而忽略了教学方法的灵活多样性。在考试中学生虽然可以取得优异成绩，但是在遇到日常生活工作中的实际问题时却出现了束手无策的尴尬现象，缺乏了在大学数学知识上的应用实践意识和自主创新能力。由于国内学生中学阶段受到传统应试教育理念的严重影响，大学数学课堂教学仍然采用传统的“填鸭式”教学，课堂教学中缺乏可操作性，学生的动手能力没有充分发挥，课堂教学效果并不理想。教师在大学数学课堂教学中，只是单纯进行系统知识教学，脱离了社会发展的需求，不利于提升广大学生的学习兴趣。

(二)教学方法不够灵活多样。灵活多样的教学方法能充分提升广大学生学习的主动性和积极性，同时也能使学生更快更有效地掌握大学数学知识，切实有效提升课堂教学效率。传统的大学数学教学方法都是按教材知识的先后顺序来进行，先引入概念定义，再介绍定理和性质，然后讨论经典例题解决方法。这种按部就班的课堂教学方法，往往导致学生在课堂上的主动性、积极性不高，课堂教学气氛相对沉闷、不够活跃，学生自主、独立思考的时间和空间缺乏，课堂教学往往达不到预期效果。因此，大学数学教师应根据现有的教材版本以及教学内容，查阅文献资料中关于大学数学知识内容的数学建模素材，重构大学数学课程内容，进而在教学过程中合理有效渗透数学建模思想。

(三)教学手段单一。目前，大学数学课堂教学中教学手段单一问题仍然比较严重。大部分课堂教学仍然在传统的教室里进行，采用以传统板书为主的教学方式，教学进度缓慢，学习气氛沉闷。这种传统的课堂教学手段，学生参与度低，从而降低了学生学习的积极性和主动性，给课堂教学工作的顺利开展带来了诸多不确定因素。此外，随着移动互联网的快速发展，信息教学技术在不断进步，多媒体教学、远程网络视频教学、直播互动课堂等多种新型现代化教学方式的不断创新发展，打破了学习时间和空间的双重限制，教师也应当善于充分利用这些先进的教学技术手段，更新教育教学理念，以期充分提高广大学生自主学习的主动性和积极性，提升广大学生的自主创新能力。因此，在大学数学课堂教学中有效渗透数学建模思想能够逐步提高广大学生的课堂学习兴趣，鼓励广大学生通过课堂知识学习与社会教学实践有效地相结合，切实提升实际的课堂教学工作效率。

四、数学建模思想渗透的具体案例

大学数学中，有些理论例题比较抽象，不便于理解掌握，在课堂教学中可以选择一些和实际生活相关的例子，通过数学建模来进行讲解。

(一)一元函数导数与微分。在学习“一元函数导数与微分”的相关内容后，教师可以引入“易拉罐的形状与尺寸问题”建立数学模型。具体而言，合理设计易拉罐的形状与尺寸问题，对于提高易拉罐原材料的综合利用率，降低生产成本，都有极其深远的意义。试分析如何设计易拉罐的形状和尺寸能使总成本最低。关于形状：液体饮料的包装形状从美观的角度出发，应选择“柱状”。市场上的易拉罐也大多数是圆柱体；关于尺寸：常见易拉罐的容量为330ml，因此在尺寸设计问题中，将问题简化为在一个圆柱体体积固定不变的条件下，如何设计可使所用材料最少，最终归结为求目标函数的最小值问题。通过认真分析这个实际生活问题，教师引导学生假设合适的变量，建立目标函数，然后利用导数求最值理论来解决这个“易拉罐尺寸问题”。通过数学建模思想的合理渗透，有利于学生进一步深入掌握教师所传授的导数相关理论知识，并能运用这些数学知识来解释、证明一些生活中的现象。

(二)微分方程中的应用。微分方程是大学数学的重要内容之一，微分方程不但在计算数学、几何学、天文学等传统学科中有着广泛的应用，而且目前已经渗透到经济学、环保学、控制论等领域。教师在课堂教学中讲解微分方程理论时，应当联系生活实际，合理进行数学建模。例如，相关统计表明，在目前人口政策不发生改变的情况下，中国内地总人口将在2030年左右达到峰值，人口总数约为14.5亿～14.8亿，然后开始出现总人口负增长。针对这一实际生活问题如何建立一个合理的数学模型来预测人口发展的总数呢？首先应当这样假设，随时间的变化，人口总数的变化是连续可微的；其次人口增长的总量在单位时间内与当时的人口数量是线性正相关的。教师可以引导学生运用微分方程理论来计算我国的人口增长率，以一阶齐次线性微分方程理论为基础建立数学模型。在课堂教学过程中，还可以通过对数学模型的进一步修正或者考虑实际问题影响因素的增多等，引导学生用所建立的数学模型来思考专业问题，拓宽学生学习的思维模式，这对提高当代大学生的创新意识大有裨益。

(三)连续与间断的概念应用。数学的含义就是形象刻画。大学数学的概念在其形成及发展过程中就蕴含着很多数学建模的思想。譬如，讲解函数y=sin1/x在点x=0处连续性问题时，教师可以创设数学实践教学，建立数学模型，让学生利用Mathematica软件，输入简单的命令语言可以得到y=sin1/x的图像。通过图像学生可以发现点x=0是函数y=sin1/x的第二类间断点(震荡间断点)；同时，也可以发现当x趋向于0时，函数y=sin1/x的极限不存在。通过动手实践可以使学生更加直观深入地了解间断点的概念。

(四)多元函数微积分理论的应用。在学习多元函数微积分理论等的相关知识内容时，教师可以通过具体例子阐述定积分定义的形成过程以及微元法在力学、几何学、天文学等自然学科中的具体应用；教师也可以引入一些数学建模例子，将不规则物体面积的计算中的微元法思想充分体现出来；教师还可以介绍定积分微元法在工程学、经济学中的应用。譬如布置边际函数求最优化策略问题、曲线所围图形绕定轴旋转体体积、求曲线弧的长度、变力沿直线做功等等和数学模型相关的数学习题，通过练习此类习题使广大学生更好更深入地理解定积分“分割、近似代替、累加求和、取极限”的数学建模思想，也同样能帮助广大学生进一步了解掌握各种处理现实生活问题的数学方法，有利于教师更好地培养广大学生运用所学数学知识解决实际生活问题的良好行为习惯。

五、结语

大学数学是职业院校理工科专业教学中不可缺少的组成部分，如何提高大学数学的教学质量对教师有着非凡的意义。将数学建模思想渗透到课堂教学中，能切实有效提高大学数学教学的综合质量，进而提升广大学生的实践创新能力。数学建模的整个认识过程是培养学生想象力、逻辑洞察力、“双向”语言翻译综合能力、创新创造能力、计算机应用能力和写作与表述的能力等的综合体现。为此，教师必须认识到数学建模思想的重要性，结合所教专业的最新研究成果，在大学数学教学中不断渗透数学建模思想，为培养复合型创新性高技能人才作出应有的贡献。