奔赴数学的新高峰——记北京大学数学学院副教授郭帅

李 刚

数学是最古老的学科，历经数千年的发展，已经开拓出众多分支，并产生了多个应用学科。实际上，数学的发展常常与物理相伴而行，很多物理上的重大突破都离不开数学的推波助澜，物理学中不断出现的新问题也为数学的不断拓展提供了需求。

回溯物理和数学早期的发展历程，会发现有时候很难确定一个人是物理学家还是数学家。尽管到了现代，研究领域的细化和专业化越来越明显，但数学和物理的界限仍然时而模糊，且这两者的纠缠越来越深，关系也越来越复杂。其中，弦理论可能是关于数学和物理相互影响的最佳示例。

20世纪后期，物理学家们希望找到一个能描述所有现有物理规律的统一理论。他们发现卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形起到关键作用，这些流形之间存在着神秘的对偶性。两族完全不同的流形会以各自的方式描述同一物理规律或数学结构，称为镜像对称性。北京大学数学学院副教授郭帅所研究的就是镜像对称中的数学结构。

郭帅

多年来，他在整体镜像对称与高亏格计数不变量的计算上深耕不辍，取得了多项突破性成果。例如，他通过独有的计算技术证明了关于Calabi-Yau五次超曲面高亏格镜像对称的一系列结构性猜想，彻底解决了该领域20多年来一直悬而未解的核心问题之一: BCOV猜想。迄今，郭帅已在Annals of Mathematics，Forum of Mathematics，Pi等国际顶尖数学期刊上发表多篇论文。

找到适合自己的路

少年时代的郭帅对物理和数学都十分感兴趣，甚至高中有一段时间，他更倾向于物理。他大学就读于清华大学基础科学班，系统接受了数学和物理两方面的训练。但随着对数学和物理的深入学习，他逐渐发现自己真正感兴趣的也许并不是物理本身，而是物理定律中展现出来的数学结构，这些数学结构的美深深吸引着他。

郭帅认为，学习数学，兴趣很重要。确定数学物理这个研究方向，郭帅也走了一小段曲折的路。在清华大学基础科学班，大二就可以选择自己的导师。郭帅先是跟着肖杰教授学习代数，但学过一段时间后，他觉得自己的兴趣不够，于是改为学习集合论和数理逻辑。这个方向不但涉及逻辑的本质，还有些哲学味道。然而随着深入了解，郭帅发现它很难与他感兴趣的其他数学方向产生联系。最终，他来到周坚教授的门下学习数学物理。

博士期间，在导师建议下，郭帅对顶点算子代数进行了相关的研究，虽然和目前所做的Gromov-Witten理论不太一样，但二者都与镜像对称的联系使他收获颇多。在博士期间，他受基金委联合培养博士项目资助赴美国普林斯顿大学访学，在田刚教授的指导下学习tropical geometry。谈及在国外的经历时，他坦言道，自己不爱社交，相对而言，国外的学生和学者更擅长交流。科学研究需要思想的碰撞，也需要通过交流来判断自己所做的研究是否重要、是否前沿，甚至是否正确。他说：“国外经历让我知道，顶尖的数学家是如何学习数学、研究数学，甚至是如何将数学变成一种生活的。”

访学结束以后，郭帅顺利从清华大学数学系获博士学位。同年，他获得了Simons基金资助，开始在北京大学北京国际数学中心从事博士后研究，2013年正式入职北京大学数学学院从事教研工作。北京大学拥有目前国内最一流的科研环境和学术氛围，在这里，他开始独立探索和思考一些之前在阅读物理文献时希望解决的数学问题。

镜像对称这一领域，源于20世纪90年代。Candelas与合作者通过弦理论中的对偶性，成功预言了典型Calabi-Yau三维流形——“五次超曲面”上任意次有理曲线的条数，这极大吸引了数学界对弦理论的兴趣，镜像对称作为一个现代数学分支由此产生。随后，4位物理学家Bershadsky、Cecotti、Ooguri、Vafa给出了一种高亏格势函数的有效递归算法——BCOV费曼规则，建立了全亏格镜像对称的物理模型，这就是著名的BCOV理论。

数学方面的突破，起源于1996—1997年，Givental和连文豪、刘克峰、丘成桐分别独立证明了亏格0的镜像对称猜想。然而，直到10年之后的2007年，A.Zinger才得以攻克亏格为1的镜像公式。而更高亏格的镜像对称猜想，则一直是该领域最为困难的挑战之一，在此后的10年都停滞不前。

在研究过程中，郭帅认识到计算亏格1势函数的最佳途径，可能是把Witten型不变量转化为扭（twisted）不变量。沿着该想法，他和D. Ross合作，把Zinger的亏格1镜像定理从局部推广到整体。这是高亏格整体镜像对称多年来的第一个重大突破。

随后，郭帅开始用这种扭不变量的思路尝试更高亏格的镜像猜想。2017年初，在安娜堡的一次报告中，郭帅介绍了他关于某种扭不变量的计算思路，得知F.Janda和阮勇斌正在猜测一个与之相关的局部化公式，由此开启了几人的合作之旅。经过几个月反复修正，郭帅终于找到了正确的算法，和Janda、阮勇斌合作完成了亏格2镜像公式的验证。这一工作结束了10年来该问题停滞不前的状态，被R.Pandharipande在2018年数学家大会一小时报告中作为“未来方向”特别引用。

至此，郭帅已经在数学界崭露锋芒，并不断向着更高的科研高峰攀登。

在猜想的世界里突围

征程还在继续。

在完成亏格2的镜像公式之后，郭帅也在尝试另一种更接近于原始BCOV费曼规则的思路。早在一些低亏格计算中，郭帅就发现，在混合旋转场（MSP）理论的局部化求和公式中，也会出现类似于BCOV的传播子项，且它们是唯一会真正贡献的项，其他项都会神奇消去。然而这个消去过程极为复杂，只能用程序验证且看不出规律。在很长一段时间，郭帅被这种神奇现象所困扰。最终，他意识到，应该对MSP理论进行一种看起来简单粗暴的改进。大略来讲就是把其中的1个场增加到N个场，这里N为一个足够大的素数，以获得足够大的自由度。

郭帅的这种改进看起来没有几何上的缘由，却有奇效。其精妙之处在于，在N趋向于无穷大的时候，会完全重现BCOV理论中的传播子，且不出现额外项。这让人不禁想到一个著名的物理学哲学：“More is different（多即不同）！”某种意义上，新理论提供了BCOV的（没有数学定义的）无穷维路径积分的一个有限维代数几何模型，该模型通过添加场的数量N趋近于无穷，去逼近BCOV的费曼积分。由此，郭帅和李骏、张怀良合作，完成了BCOV猜想的证明。论文第一部分已被Annals of Mathematics接收。对此，田刚院士评价道：这篇论文解决了计数几何领域著名的难题，多位国际知名数学家都长期研究过，一直未有实质性进展。郭帅的研究成果在解决这些难题中发挥了关键作用。

与此同时，郭帅在另一种代数几何方法上也取得了重大的进展。在之前和Janda、阮勇斌合作的工作中，出现的扭理论十分复杂。事实上亏格2镜像定理是在计算机帮助下完成验证的。通过反复尝试，郭帅猜想当把局部化公式中的扭理论修改为他和Ross工作中使用的扭理论之后，公式的形式保持不变，仅其有效常数发生变化。而使用后者会将整个计算过程变得极为简单——之前依靠计算机帮助完成的计算，现在可在半页纸内手算完成。

通过该想法，郭帅与Felix Janda、阮勇斌合作得到了一个全亏格的结构性定理，并证明了全纯反常方程和LG/CY对应，进一步，对一些低亏格的gap猜想也进行了验证。至此，郭帅通过与合作者的一系列工作，对自Zinger后，剩下的关于五次超曲面整体镜像对称的绝大多数猜想，给出了圆满的回答。

最近，郭帅又有新的突破。在BCOV理论提出的十几年后，2007年，物理学家猜想存在一种更为精细的不变量，物理上对应于加细瞬子数。其数学含义到现在仍然是一个谜。2020年，郭帅与合作者证明，在NS极限的情况下，这种神秘的加细不变量正是已经被深入研究过的相对不变量！更进一步，其在该极限下满足加细的BCOV结构。该结果发表于Forum of Mathematics, Pi。评审人称该工作是“一首渐入高潮的乐章”(crescendo)，“真正的名铸”(true masterpiece)。

深耕镜像对称的一系列结构性猜想多年，郭帅对科学研究有着自己的感想。在他看来，探索未知是数学最大的魅力，研究中卡壳是99%的情况，这个过程中，坚持很重要。一个问题长期没有进展的情况下，数学研究就进入了他们日常生活模式。当然，有时候也需要考虑一些其他相关问题扩大一下视野，积累到了一定的程度，在某个偶然的瞬间，说不定就会豁然开朗。

这些年，实在没有想法的时候，郭帅就会做点“体力活”：写些程序“跑一跑”，找点规律碰碰运气。仿佛不经意间，他获得了解决最终问题所需的全部技能点，对问题的理解也越来越透彻。“回想起来，其中有些技术和想法的获得完全是出于偶然。这也是解决一个大问题所需要的另一个重要因素——运气。”郭帅说。

守一盏教育的灯

教书育人是高校教师最根本的任务。党的十八大报告中明确指出把立德树人作为教育的根本任务，要着力提高教育质量。入职北京大学之后，郭帅认真践行教师职业道德规范，坚持德育为先、课程育人，不断为北京大学的教育事业贡献自己的力量。

在教学中，郭帅担任的科目既包括“高等数学”“线性代数”“复变函数”“抽象代数”等本科生基础课程，也包括“模形式”“李群及其表示”“代数曲线”“代数几何专题”等本科生高年级和研究生课程。课堂教学中，他仔细调研国内外多种教材的逻辑体系，保证尽量全面而又不失重点地对课程进行介绍。课堂之外，他积极参加教学改革和一流课程的申请活动。

2018年秋季学期，郭帅开设了研究生课程“镜像对称和Gromov-Witten理论”，主要讲授他科研领域的相关内容。该课程涉及辛几何、代数几何、奇点理论、可积系统和表示论等多个数学分支，对学生而言是一大挑战。郭帅从最简单的椭圆曲线和模形式入手，让学生逐步体会到相关数学的优美，激发学生对其进一步探索。在教学实践中，他倾向于给学生提供一个比较完整的图景，让他们根据自己的兴趣按图索骥，深入了解。

此外，作为博士生的班主任，郭帅利用班会、微信群等平台，营造和谐互助的班级氛围，重视人文关怀。在数学圈内颇有名气的韦东奕，曾是郭帅班上的学生。一个趣闻是，在某次申请个人奖项时，因韦东奕全神专注于数学研究，有同学主动提出要替“韦神”申请并代其汇报。在获得韦东奕和全体同学同意后，答辩顺利进行并以最高票通过。在节假日，郭帅还组织开展了游览慕田峪长城、参观双清别墅等集体活动，让学生们了解历史，增长见闻，培养团队协作精神。郭帅曾获北京大学优秀班主任等荣誉称号。

最近5年，郭帅连续担任北京国际数学中心辛几何与数学物理讨论班的组织者。该讨论班每周邀请相关专家作一次报告，并每年组织一到两次高级讨论班，邀请国际顶级专家来进行一周的专题系列讲座。郭帅还是北京大学数学学院周五报告相关方向的负责人之一。该报告于每周五定期举行，报告要求从基础开始入手，旨在为学院的全体研究生提供一个学术平台。

生活中，郭帅有着很多爱好，喜欢看电影、听音乐，也喜欢一些技巧性的体育运动，还喜欢看武侠小说。他说，一些做数学的人喜欢看武侠，可能是因为武侠世界和数学世界有某种相似性。做数学也是一种个人的修炼，在解决一些艰深问题的时候需要长时间的闭关（独立思考）来获得突破，同样也需要不断和其他高手过招（学术交流）来提升自己。

不过，数学这门古老的学科如汪洋、如星空，有着无穷无尽的魅力，同样也有着无穷无尽的困难。往往翻过一座高峰，会发现还有更高的山峰等在前方。但在郭帅看来，做数学研究就是“但行好事，莫问前程”。他说：“无论如何，如果你喜欢数学，对某个问题很有兴趣，那就坚持去做。在未来的某个点，你会获得你应有的收获。”

郭帅（左）与合作者李骏