深度教学：初中数学概念课的教学改进——以七上“6.2角”第一课时的教学为例*

武丽虹 (江苏省苏州市苏州湾实验初级中学 215200)

数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具[1]．数学概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心，是数学教学之根本．现结合教学实践案例来探讨初中数学概念课的教学改进．

1 数学概念教学的迷失

数学是用概念思维的．数学概念学习是一个集知识技能、思想方法、思维能力以及活动经验为一体的整体化学习．但概念教学的实际情况尚不尽人意，在实际教学中还存在种种迷失:

(1)简单随意，缺乏理解．用记忆替代思考的教学不能触及概念的内核，不能引发学生观察、理解和思考，导致学生思维固化.

(2)形式单一，缺乏体验．学生对概念的具体形象和特征缺乏主动思考,不能在意识中引发概念形象和联想的知识，缺乏认知感悟和思维体验的过程.

(3)浅层应用，缺乏思考．学生缺乏对数学概念重要性和必要性的认识,应用注重表层，未能凸显深度学习，导致思维“碎片化”和“表层化”，常常表现出“一看就会，一做就错”．

2 基于深度教学理念的初中数学概念课的教学改进

深度教学是以学生发展为中心，基于实现学生深度学习而提出的一种新的教学理念．为了避免数学概念教学中的种种迷失，现对概念教学践行深度教学，我们将基于深度理解而进行“重新构建”、基于深度体验而“意义赋予”、基于深度反思而“深度学习”．其教学改进流程如图1.

图1

下面以苏科版教材七年级上册“6.2角”(第一课时)为例探索基于深度教学理念的初中数学概念课的教学改进．

2.1 乐思寻疑，感知概念——提升数学概念课堂教学的温度

深度教学是通过真实有意义的问题情境去启迪学生思维、激发学生情感、引发认知冲突，让学生自主寻疑的教学．因此，教师应从学生的已有经验出发，创设合适的问题情境激发学生的学习兴趣，帮助学生进入积极思考的状态从而去发现问题，使学生能主动体验、直观感知概念的产生过程，并思考感悟新的数学概念和自我之间的意义和关联．

问题1 同学们已经学习了“直线、射线、线段”，有没有思考过在同一平面内两条线能组成怎样的图形呢？用你手边的学具来做做看．

问题2 在你们所摆放的图形里面有认识的最基本的图形吗？请你指出来并响亮地说出它的名字．

问题3 请你画一个这样的图形．生活中这样的图形随处可见，能说说吗？

教学说明认知始于操作和观察，数学概念教学的最佳方式是借助概念的直观背景，让学生在教师创造的情境中做一个“发现者”．深度教学需要教师营造一个符合知识本身需要的适切的真实情境，引导学生沉浸于学习情境和以知识为指向的事物的环境，让学生在不经意的现场情境中获得自然而丰富的直观体验．学生在“动手”操作过程中积极“动脑”并能举出生活中的一些图例，直观感受到“角”的引进主要反映了这样一个需要，即是如何反映直线(线段)与直线(线段)之间的位置关系[2]，从而能初步感受引入“角”概念的必要性以及接着研究与其相关概念的合理性，这是本节知识的逻辑起点．

2.2 乐探解疑，明晰概念——拓展数学概念课堂教学的广度

数学思维的特点是用概念来思维，而深度教学就是基于学生的知识内在结构和整体性关联，让学生进行深度探究和思维的教学．所以，数学概念教学要根植深度教学去引导学生主动探究、深度思考，帮学生把凝结在数学概念中的思维结打开，于存疑处解疑、无疑处生疑，从而深刻理解概念的内涵和外延．同时数学概念教学要能够以单元为抓手、以个体经验为背景、以问题为主线、以知识为载体，引入基于概念与生活联系、概念与概念联系、概念间结构联系以及概念学习的经验与方法联系的关联性学习．让学生在概念的明晰中实现数学概念体系和数学思维的同步发展，学生的思维站在数学概念体系中央，使得“数学概念”的学习真正发生．

问题4 同学们在小学时已经初步认识了角，进入初中阶段后我们将从知识系统的角度来有序地进一步深入认识角．通过前面学习“直线、射线、线段”的经验，同学们都知道，要认识一种新的图形，首先要给它——下定义(学生齐答).

问题5 对照不停工作的时钟，我们可以试着从另外的角度来认识角吗？

师生活动 学生互相讨论，互相补充后提炼得到角的动态定义(略)，明确角的始边和终边，并指出在两种特殊位置下形成平角和周角．

教学说明给学生设置“真活动”、提出“真问题”,让学生经历讨论归纳—自主命名—描述定义的过程，一系列活动充分展示了数学知识自然创生及发展的过程．教师通过引导学生在直观可视的操作基础上不断丰富和完善角的特征和属性，使学生深度体验到“角”定义的形成过程，学生思维呈现可见的生长状态．由此用数学特有的方式来激发学生的体验、理解和反思，使得深度学习发生于真实的自主探究之中，为今后研究对象的进一步扩展打下伏笔．

问题6 根据已有的经验，你觉得我们在得到了“角”的定义后接着需要研究角的哪些方面？

学生活动 学生相互补充说明,分别是角的符号表示、角的大小、角的比较，以及角的和、差、倍、分的作图与计算．

问题7 我们就依次解决同学们所提出的几个方面的问题．阅读课本152页第4段内容，完成以下表格，自己画出一个角并试着表示．

角表示的方法注意事项方法一方法二方法三方法四

问题8 你会表示图2中的角吗？你有几种表示方法？在∠ABC内部作一条或两条射线(如图3和图4)，你能表示其中所有的角吗？

图2 图3 图4

问题9 对于图3中的∠1和∠2以及∠ABC，你能用哪些方法比较它们的大小？你能说出它们之间的数量关系吗?你能说出图4中那些角之间的数量关系吗？

问题10 如何表示角的大小？角的度量单位是度，你们认为仅一种度量单位能满足我们的需要吗？

师生活动 学生已经认识到需要采用比“度”更精确的计量单位来更准确地刻画角的大小．在此基础上，教师介绍角的单位度、分、秒及它们之间的数量关系．

教学说明学生对“直线、射线、线段”的学习已有初步的经验，作为同单元“角”概念的学习，应以单元为站位，从数学知识内部出发，来建构数学知识体系上具有系统一致性的结构化教学，并让学生初步感知单元统摄下的数学结构和知识间的纵横联系．教师施以连环追问让学生深度探究和思考，从而在联系和比较中感受知识的结构性，在阅读和思考中感知符号意义的合理性，在表达中感悟数学知识的逻辑性，学生自觉体会建立在概念系统性上的一致性、逻辑性和严谨性,让知识学习往高阶思维的纵深方向发展．

2.3 乐辨质疑，深刻概念——丰实数学概念课堂教学的效度

对于数学概念教学，教师要能够创造时机，深度设计具有思辨性、开放性的问题，引导学生分析问题，将所学的概念体系充分内化与整合，主动思辨应用到新的情境中并能够解决问题，呈现可见的创造性思维和批判性思维．在此过程中，教师要充分尊重迁移发生的规律，通过变更研究概念对象的角度和方法，在问题的变式和延展中不断改造、不断完善学生的元认知策略，促进学生学习的正向迁移，促使他们由知识和技能的掌握过渡到能力和素养的养成，形成数学概念深层的理解力和高效的学习力,获得创造概念学习的意义感.如此，教师“深教”便成就了学生“智学”．

问题11 在图4中，若∠1=23°48′，∠2=35.24°，则

①∠1=°；∠2=°′″.

②你还能提出什么问题呢？

问题12 (1)你能仿照问题11来给图4设计问题并解决吗？

(2)你还能提出其他不同类型的问题吗？

教学说明整体开放性问题的设置引导学生依托所学知识从不同的角度思考问题，试着变题、编题、鉴题以及在问题中留白，引发学生进行全方位、多角度、深层次的思考，不断提升学生“数学思考”的水平，使不同层次的学生都得到了不同的发展[3]，让他们从模仿到主动去设计和创造并迁移应用，用不同的策略完善了对概念体系的深刻理解、思辨和创新，实现了数学学习的丰富性和多样性，提升了批判性思维和思考型学力．

2.4 乐活再构，精致概念——根植数学概念课堂教学的深度

深度教学是立足于知识建构、促进内化与反思的教学．因此，教师要充分挖掘概念所蕴含的价值资源，超越概念表层的符号知识，以数学的教育形态将知识教学与价值观融为一体，引领学生感悟概念体系所承载的思想方法和文化内核，形成自己对数学内容独特的逻辑理解，并实现对知识的重构．在数学概念的意义关怀与价值情怀中感受数学文化和思想的熏陶，不断提升数学思考的速度和深度，并不断积累经验、发展高阶思维，使课堂教学呈现持续积极深度发展的样式，实现知识意义增值和情感智慧共生．

问题13 今天我们类比“直线、射线、线段”的学习经验，再探同学们熟悉的“角”图形，你经历了怎样的学习过程，有怎样的体验和感受？

问题14 你能和同伴分享自己对角概念的学习路径的理解吗？

教学说明我们希翼评价从“甄别”和“选拔”走向“促进”“发展”和“重构”,使学习评价成为助推学生素养发展的特有方式和手段．本节课教师引导学生从已有的认知结构走进课堂，经历了丰富而有意义的探索之后又重建结构并回到结构中去(如图5)，这一“浅出深入”、充满智慧的思维之旅让学生深刻地感悟知识的联系性、逻辑性和建构性，使得数学概念的知识网络越趋完整、系统和精致，提升了数学学科关键能力并促进指向智慧型知识建构能力的发展．

图5

3 结语

深度教学是教学发展性的呼唤,深度教学理念倾注了对学生发展丰富性的要求，凝聚了对学生生命成长的关注，渗透着对课堂教学发展性品质的追求[4]．数学概念本身内在的发展价值及其整体化意义需要理解至“充分深度”的深度教学，我们广大数学教师要把深度教学落实在概念丰富多彩的学习实践中，使学生深刻理解数学概念的多维教育价值．让我们积极做深度教学的实践者，不断践行有生命、有力量、有意义的数学教学，助推学生在数学精神的浸润中、在数学关键能力的养成过程中实现数学教育价值的创生．