关于高斯对代数基本定理第三次证明的一种简化证明

倪 佳

（西北大学 陕西西安 710100）

代数基本定理是近代数学中非常重要的定理之一，而高斯对该定理的证明涵盖其50年的时间跨度：1797年10月首次得出该定理的证明，并于1799年作为博士论文发表于赫尔姆施泰特（Helmstedt）大学，高斯在证明中运用了代数曲线的拓扑性质，为数学中证明存在性问题提供了创新思想。高斯在1812年2月29的日记中写道：“在1811年11月，方程理论中的基本定理是纯粹的分析方法；但是，当文档中没有任何内容时，必不可少的部分记忆就完全消失了，这意味着相当长的一段时间都是徒劳的……”。

这说明基本定理的第二次证明早在1811年11月就已完成，由于没有记录在纸上，直到1815年12月才提交到哥廷根科学院发表；紧接着1816年1月提出第三次证明；1849年的证明是为纪念其博士学位50周年而作，将第一次证明扩展到复数域。

代数基本定理的数学证明及历史发展，历来受到数学家的重视，同时构成这段历史的核心人物高斯成为研究中心，国内外，关于代数基本定理的历史研究和数学教材多会涉及高斯的证明[1-5]，多数研究文献只是叙述高斯的四次证明过程，或者用现代的数学语言和不同于高斯的方法证明基本定理。事实上，运用吴文俊先生数学史研究范式中的“古证复原”原则，还原高斯第三次证明的思想线索，是件极其困难的事。本文在深入解读原始文献和研究文献的基础上，分析相关数学家针对高斯第三次证明提出的新见解，并在遵循高斯原始证明思想的基础上，提出一种简化证明。

一、一些数学家的相关工作

此外，如果F（x）没有根，U将是处处连续可微的。因此，可以对其应用位势论，即任意圆周上U的平均值等于中心U的值。然而，U在原点的值是零，U在以原点为中心的足够大的圆周上的平均值为正。所以我们在假设F（x）没有根时，得出结论矛盾。

“我认为这是所有三个中最短和最简单的。……如果我应该把自己限制在一个，我更愿意自己偏爱这个。[6]但发展这两个基本思想可能是最有启发性的，事实上，考虑两者的几何意义对大脑来说是相当令人愉快的。我在1816年第338页集中介绍了我的第三个证明，但这是绝对必要的”。

荷兰数学家范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden，1903-1996）在《代数史》[7]一书中的复原思路是将F（x）=F（r，φ）=t+iu定义为x平面到F平面的映射。

二、关于高斯对代数基本定理第三次证明的一个简化证明

系数为实数的多项式f（x）=xn+Ax（n-1）+Bx（n-2）+Cx（n-3）+…Lx+M至少有一个（实数或复数）解，使得f（x）=0。

利用复函数的解析性重新构造一个可微函数y，如果f（x）处处不为零，函数y应是处处连续和可微的，接下来同高斯一样把证明代数基本定理的证明转换成考察二重积分次序的问题，积分的值与积分次序无关，最后所得结果应该一致，如果能找到一个可微函数y，使得积分的值因积分顺序不同而不同，与原假设产生矛盾，基本定理得证。

高斯在第三次证明中未对函数y的构造提供解释，将此定理的证明转换成积分与路径无关的问题，主要归结为曲线积分与路线无关的问题，而线积分与路线无关的条件与线积分沿任一简单闭曲线的值都为0的条件相同，于是可以归结为研究沿任一简单闭曲线积分值为0的条件，就是现代数学教材中的柯西积分定理，高斯1811年给贝塞尔的信件中写到：

但是，高斯从未回过头来继续讨论这个问题和重积分中的积分顺序问题。