阵列误差条件下基于INI-MUSIC算法的二维DOA估计

2022-01-21窦慧晶肖子恒

北京工业大学学报 2022年1期

窦慧晶, 杨帆, 肖子恒，孙璐

(北京工业大学信息学部，北京 100124)

波达方向(direction of arrival，DOA)估计是阵列信号处理学者的研究热点方向之一，在卫星通信、车载雷达、水下定位等众多领域均有广泛应用[1-3]. 阵列误差是DOA估计过程中关注的重要问题，它对阵列流型矩阵产生的扰动已严重影响了DOA估计算法的正常实施. 阵列误差的校正技术主要分为2类：有源校正和无源校正[4-5]. 前者需要已校准的辅助信源，运算量小，但此做法增加了工程成本，代价较高；后者则是DOA与阵列参数的联合估计，工程代价小，但是存在计算量和局部收敛的问题. 王鼎等[6-7]研究了2种有源校正方法，均以交替迭代的方式进行估计，2种方法在校正性能方面都有很好的提高. 文献[8]提出了一种基于协方差拟合准则的网格稀疏技术，通过引入交换矩阵作为协方差矩阵的预处理，对不相关相干信号的增益相位误差进行估计，通过交替迭代过程将参数估计值逐渐收敛到真实值. 文献[9]提出了一种基于互耦误差和幅相误差混合DOA估计的方法，利用矩阵变换对谱函数进行简化，通过对修正后的空间谱峰搜索得到信号DOA. 然而，以上算法都是基于一维DOA估计，随着工程应用的发展，一维DOA估计已不能满足人们对实际工程的需求，因此，学者逐渐将研究重点转向对二维DOA估计的研究.

文献[10]使用空间交替广义期望最大化算法来实现DOA和互耦系数的联合估计. 文献[11]在双圆圆阵下针对互耦误差提出了自标定算法，利用秩损原理对角度信息进行估计，然后利用得到的角度信息计算相互耦合系数. 整个过程不需要高维搜索及额外的辅助校正源. 文献[12]在没有任何校准源的情况下消除互耦矩阵，但该算法需要一些扩展元素，增加了计算量. 文献[13]基于子空间原理迭代进行DOA和误差系数的联合估计，但此算法的估计精度较低，计算复杂度高并且出现严重模糊问题. 文献[14]在交叉阵列下进行二维DOA和互耦误差的联合估计，提出了一种自校准算法来补偿交叉阵列中的互耦误差，不需要已知的互耦系数和位置精确的校准源，计算量低且估计精度高. 文献[15]提出了一种实值并行因子算法，通过旋转不变算法和实值并行因子分解算法估计DOA，解决了精度估计低和计算复杂度高的问题. 以上文献中很少考虑阵列误差为幅相误差和互耦误差的混合情况，文献[16]提出了2种校准算法，算法Ⅰ将扰动阵列流型矩阵看作整体，给出了精确的闭合形式解；算法Ⅱ将扰动矩阵分解为2个矩阵(互耦矩阵和幅相矩阵)进行优化，充分利用误差矩阵的所有数值特性. 因此，算法Ⅱ可以产生比算法Ⅰ更好的校准精度. 然而，算法Ⅱ需要迭代计算，复杂度较高且不存在闭合形式的解. 因此，需要进一步探究混合阵列误差下的二维DOA估计的新算法.

阵列误差是DOA估计中必须要探究的问题. 本文基于无源校正技术对混合幅相和互耦误差进行研究，针对混合误差下轮换迭代算法估计不准的问题，利用均匀圆阵(uniform circular array，UCA)的复对称循环特性和矩阵转换的性质，通过重构代价谱峰函数实现对DOA角度和误差参数的联合估计，提出了一种改进非迭代多重信号分类(improved non-iterative multiple signal classification, INI-MUSIC)算法. 该算法利用更多的行向量补偿秩亏损，得到了准确的DOA估计和误差系数，避免了局部收敛问题，更易用于工程实际.

1 阵列信号模型

UCA是常用的二维阵列结构的一种[17-18].UCA的阵元不同于L形阵列和矩形阵列的直线排布，而是在xOy平面上由M个阵元均匀排列围绕成一个圆形，M个阵元按逆时针依次排列，圆阵半径为R.空间上来自远场的K个窄带信号{sk(t)},k=1,2,…,K以角度(αk,βk)入射到阵列，αk为第k信号在xOy平面的投影与x轴的夹角，βk为第k信号与z轴的夹角.参考点为坐标原点，λ为信号波长.假定信号与噪声、信号之间均独立不相关.其阵列模型如图1所示.

图1 均匀圆阵接收信号模型Fig.1 Received signal model of UCA

在某时刻t，第m个阵元的接收数据为

(1)

式中：am(αk,βk)=ej2πRcos(αk-2π(m-1)/M)sin βk/λ；nm(t)为第m个阵元在t时刻的噪声.将式(1)写成向量形式，即

X(t)=A(α,β)S(t)+N(t)

(2)

在实际工程应用中，通常是多种误差同时存在，考虑幅相误差和互耦误差共同影响下的DOA估计，此时，阵列接收数据矩阵在考虑综合误差的影响时可修正为

X(t)=CΓAS(t)+N(t)

(3)

式中，Γ=diag{ρ1ejφ1,ρ2ejφ2,…,ρMejφM}为幅相误差矩阵，其中：ρM为第M个阵元的幅度误差；φM为第M个阵元的相位误差.假定参考阵元是不受影响的，即ρ1=1，φ1=0.C=Toeplitz(c)表示互耦误差矩阵，为复共轭对称的Toeplitz矩阵.其中，c=[c0,c1,…,cL]T，1=|c0|>|c1|>…>|cL|>0，当M为偶数时，L=M/2+1，当M为奇数时，L=(M+1)/2.

考虑上述混合误差下的阵列接收模型，其协方差矩阵为

R=E{X(t)XH(t)}=
CΓARsAHΓHCH+σ2I

(4)

式中，Rs定义为入射信号的协方差矩阵，此时其为一个对角矩阵.对式(4)进行特征值分解，可以得到

(5)

式中：Us为由K个大特征值对应的特征向量张成的信号子空间；Un为由其余M-K个特征值对应的特征向量张成的噪声子空间；Σs=diag(λ1,λ2,…,λK)为信号特征值的对角矩阵；Σn=diag(λK+1,λK+2,…,λM)为噪声特征值的对角矩阵.

由于互耦误差和幅相误差的存在，阵列流型矩阵会受到严重的影响，进而破坏估计结果.因此，必须深入研究相关的算法并对误差进行修正，从而实现对方位参数的精确估计.

2 INI-MUSIC算法

2.1 轮换迭代算法

轮换迭代算法是一种无需辅助源信息的无源校正技术，实现了DOA和误差参数的联合估计.该方法以子空间正交理论为基础，有以下关系成立：

span{CΓA}=span{Us}⊥span{Un}

(6)

式中，span{·}为元素生成的子空间.基于协方差矩阵的特征分解方法，可以通过最小化

(7)

求得信号DOA、幅相误差矩阵和互耦误差矩阵.

轮换迭代算法利用3个待估计参数C、Γ、θ，依次假设三者中的2个参数已知来求解另一个，如此轮换，直至代价函数差值达到最低阈值，此时迭代停止.轮换迭代算法的步骤总结如下.

步骤1初始化.

设最低阈值为ε(很小的正数)，迭代次数l=0, 令C0=Γ0=I，利用式(5)求得的协方差矩阵计算噪声空间Un.

步骤2估计信号的波达方向.

由于受混合误差的影响，此时的阵列接收数据已不再是理想数据，但是实际的阵列流型矩阵C(l)Γ(l)A依然和噪声子空间Un正交，即

(8)

利用子空间理论中的多重信号分类(multiple signal classification，MUSIC)算法，可以构造谱峰搜索函数

(9)

(10)

步骤3估计幅相误差矩阵Γ(l+1).

固定θ(l)和C(l)，最小化幅相误差矩阵Γ(l+1)的代价函数

(11)

式中：δ=[Γ11,Γ22,Γ33,…,ΓMM]T；Q1(k)=diag{a(θk)}.

在约束条件δHw=1，w=[1,0,…,0]T下的二次最小化问题的结果为

(12)

因此，幅相误差矩阵可解得

Γ(l+1)=diag{δ}

(13)

步骤4估计互耦误差矩阵C(l+1).

固定θ(l)和Γ(l)，用来最小化互耦误差矩阵C(l+1)的代价函数为

(14)

(15)

式中，u=[1,1,…,1]T.通过式(15)即可以得到重构出的互耦矩阵C=Toeplitz(c).

步骤5利用DOA角度、幅相误差矩阵和互耦误差矩阵，即J(l+1)-J(l)<ε，判断是否收敛.若收敛则停止；否则令l=l+1，转回步骤2.

轮换迭代算法在混合误差存在时能成功解决误差系数和信号角度的估计问题，但是，这种算法对DOA的估计不是很准确，而且误差系数也存在相应的偏差，还容易陷入局部收敛，影响算法的估计性能.因此，仍然需要寻求一种更好的改进算法进行混合误差下的DOA估计.

2.2 INI-MUSIC算法

轮换迭代算法只是在混合误差下的粗略估计，容易陷入局部收敛，也没有考虑由于矩阵Q1(k)和Q2(k)的降秩而导致的估计不准问题，因此，轮换迭代算法必须进行修正，以弥补它的不足，使之更适用于工程应用.下面主要针对角度估计不准的问题提出INI-MUSIC算法，在无需校正信源的前提下实现DOA和误差系数的联合估计，同时避免了局部收敛的问题.

由式(5)的协方差矩阵求得信号子空间Us和噪声子空间Un，利用正交性质得到

(16)

定理1对于任何一个N×1复向量X和任何一个M×M复对称循环矩阵A，有

A·X=T(X)·a

(17)

式中：a为L×1维的向量；ai=A1i,i=1,2,…,L，当M为偶数时，L=M/2+1，当M为奇数时，L=(M+1)/2.T(X)为4个M×L维的矩阵之和，即

(18)

W((α1,β1),(α2,β2),…,(αK,βK))c

(19)

由式(19)解得c=umin{WH(αk,βk)W(αk,βk)}，用c重构互耦误差矩阵.

W′((α′1,β′1),(α′2,β′2),…,(α′K,β′K))δ

(20)

由式(20)求得δ=umin{W′H(αk,βk)W′(αk,βk)}，从而得到重构幅相误差矩阵.然后用重构幅相误差和重构互耦误差来估计DOA.

定义函数

(21)

式中,B((α1,β1),…,(αK,βK))=W((α1,β1),…,(αK,βK))HW′((α1,β1),…,(αK,βK)).

与式(9)不同，利用式(21)求解可以获得唯一确定的互耦误差系数和幅相误差系数，并通过空间谱搜索得到实际的DOA估计值.INI-MUSIC算法的步骤如下.

(22)

得到式(22)之后，可以构造函数为

(23)

式中，B((1,1))=W1((1,1))HW′1((1,1)).

通过对式(23)进行谱峰搜索运算，可以得到第1组DOA角度(1，1).为搜索第2组角度(2，2)，定义

(24)

进而可以构造函数

(25)

式中，B((2,2))=W2((2,2))HW′2((2,2)).通过对式(25)进行谱峰搜索运算则可以得到第2组DOA角度(2，2).式(24)包含2组角度，其中一组是上面求得的第1组角度，另一组是真正的第2组角度.重复此操作K次，最终得到全部的DOA估计角度，即

(26)

互耦系数和幅相误差系数可以被唯一构建，公式为

(27)

3 仿真实验及结果分析

实验条件：将UCA作为本文实验的阵列接收模型.假设入射到阵列上的窄带信号来自远场的不同方向.本实验均采用随机复数信号，噪声采用高斯白噪声且为加性噪声，与信号相互独立，互不影响.电脑处理器：Intel(R) Core(TM)i3-3200 CPU @ 3.30 GHz；软件平台：MATLAB 2014a.

实验1INI-MUSIC算法的DOA估计有效性.

假设存在3个信号分别以角度(40°, 20°)、(120°,50°)和(250°,85°)入射到UCA，阵元个数M=8，阵列半径为1.3λ，仅邻近的3个阵元间发生互耦效应，互耦系数分别为1、0.403 1-0.263 2i和0.310 8-0.131 9i，对应的幅相误差系数分别为1、0.711 4-0.453 1i、0.372 8-0.362 7i、0.530 1-0.408 5i、0.317 0-0.570 9i、0.649 0-0.332 8i、0.173 7-0.509 2i和0.850 0-0.109 6i.考虑在信噪比(signal-to-noise，SNR)Rsn为3 dB、快拍数为500的实验条件下，比较混合误差下的MUSIC算法和INI-MUSIC算法的DOA估计的有效性，估计结果如图2～5所示.

图2 MUSIC算法在混合误差下的DOA估计Fig.2 DOA estimation of MUSIC algorithm with mixed error

图3 INI-MUSIC算法在混合误差下的DOA估计Fig.3 DOA estimation of INI-MUSIC algorithm with mixed error

由图2、3可以看出，在相同的实验条件下，当混合误差存在时MUSIC算法已经无法准确识别空间谱中的谱峰且空间谱的主瓣和旁瓣出现混淆，严重阻碍了算法对信号的DOA估计，而INI-MUSIC算法能够抑制旁瓣凸显主瓣，从而实现DOA的精确估计.从图4、5中可以更加直观地看到INI-MUSIC算法在混合误差存在时DOA估计的有效性.

图4 MUSIC算法在混合误差下DOA估计等高线图Fig.4 Contour map of DOA estimation of MUSIC algorithm with mixed error

图5 INI-MUSIC算法在混合误差下DOA估计等高线图Fig.5 Contour map of DOA estimation of INI-MUSIC algorithm with mixed error

假设存在3个信号分别以角度(60°,25°)、(100°,40°)和(210°,65°)入射到UCA，阵元个数M=8，阵列半径为1.3λ，仅邻近的3个阵元间发生互耦效应，互耦系数分别为1、 0.503 1-0.363 2i和0.410 8-0.231 9i，对应的幅相误差系数分别为1、0.711 4-0.453 1i、0.372 8-0.362 7i、0.530 1-0.408 5i、0.317 0-0.570 9i、0.649 0-0.332 8i、0.173 7-0.509 2i和0.850 0-0.109 6i.考虑在Rsn为10 dB、快拍数为500的实验条件下，比较无误差的MUSIC算法(即不考虑幅相及互耦误差)和INI-MUSIC算法的DOA估计的有效性，估计结果如图6～9所示.

图6 无误差的MUSIC算法的DOA估计Fig.6 DOA estimation of MUSIC algorithm without error

图8 无误差的MUSIC算法的DOA估计等高线图Fig.8 Contour map of DOA estimation of MUSIC algorithm without error

图9 INI-MUSIC算法的DOA估计等高线图Fig.9 Contour map of DOA estimation of INI-MUSIC algorithm

由图6～9的实验结果可以看出，在同样的实验条件下，INI-MUSIC算法同无误差下的MUSIC算法相比，两者的DOA估计性能相差无几.2种算法有同样尖锐的谱峰且旁瓣几乎均被抑制掉.在等高线图中，2种算法的DOA角度估计准确性也相仿.由上可以说明，INI-MUSIC算法在混合误差下能够实现DOA的准确估计.

实验2Rsn和快拍数变化时DOA估计均方根误差(root mean square error，RMSE)Rmse的比较.

用Rmse作为衡量DOA估计性能的标准，定义为

(28)

式中,第m次蒙特卡罗仿真实验估计得到的二维角度为(k(m),k(m)).

假设存在3个信号分别以角度(50°,70°)、(110°,40°)和(250°,25°)入射到UCA，阵元个数M=6，阵列半径为0.8λ，仅邻近的3个阵元间发生互耦效应，互耦系数分别为0.403 1-0.263 2i、0.403 1-0.263 2i和0.310 8-0.231 9i，对应的幅相误差系数分别为1、0.711 4-0.553 1i、0.180 0-0.148 3i、0.611 8-0.470 7i、0.372 8-0.293 8i和0.501 9-0.328 2i.考虑Rsn和快拍数分别变化时，观察轮换迭代算法和INI-MUSIC算法的误差系数的Rmse变化.

1) 考虑在快拍数设置为600、Rsn∈[-5,25]dB的实验条件下，在设定范围内Rsn以5 dB递增且每个dB下仿真200次.实验结果如图10所示.

图10 SNR变化时3种算法的RMSE比较Fig.10 Comparison of RMSE of three algorithms with SNR

2) 考虑在Rsn为10 dB、快拍数为[300,900]的实验条件下，在设定范围内快伯数以100间隔递增且在每个快拍数下仿真200次.实验结果如图11所示.

图11 快拍数变化时3种算法的RMSE比较Fig.11 Comparison of RMSE of three algorithms with snapshot

分析图10、11可以看出，3种算法在快拍数或Rsn一定时，误差值曲线随Rsn或快拍数的增大均呈现下降的趋势.纵向对比来看，在Rsn或快拍数具有相同值时，改进算法的误差值最小.虽然在Rsn或快拍数较小时，INI-MUSIC算法的误差值与误差系数已知的MUSIC算法的误差值有一定差距，但是随着Rsn或快拍数的增大，INI-MUSIC算法的估计性能逐步接近于误差系数已知的情况.但是INI-MUSIC算法的Rmse始终低于轮换迭代算法.因为改进算法通过修正的误差矩阵重构代价函数对原代价函数进行了秩补偿，所以能达到误差系数已知的估计性能.

实验3Rsn变化时幅相误差系数和互耦系数估计值的变化.

假设存在3个信号分别以角度(50°,70°)、(110°,40°)和(250°,25°)入射到UCA，阵元个数M=6，阵列半径为0.8λ，仅邻近的3个阵元间发生互耦效应，互耦系数分别为0.403 1-0.263 2i、0.403 1-0.263 2i和0.410 8-0.231 9i，对应的幅相误差系数分别为1、0.711 4-0.553 1i、0.372 8-0.293 8i和0.501 9-0.328 2i.考虑快拍数为500的实验条件下，不同Rsn时轮换迭代算法和改进算法的误差系数的对比结果见表1～3.

表1 SNR变化时轮换迭代算法的幅相误差系数的对比

表2 SNR变化时INI-MUSIC算法的幅相误差系数的对比

表3 SNR变化时互耦误差系数的对比

由表1～3可以看出，随着Rsn的增加，2种对比算法的误差系数估计值都越来越接近真实值.但是在相同的Rsn下，INI-MUSIC算法的误差系数估计值更接近真实值.说明INI-MUSIC算法比轮换迭代算法的估计性能更优.这是因为轮换迭代算法在混合误差的影响下，阵列流型矩阵受损严重，使得矩阵产生秩亏损，从而导致了估计模糊，而改进算法通过更多的行向量补偿了秩亏损，所以估计性能更好.

实验4算法的估计精度和运算时间对比.

假设存在3个信号分别以角度(20°,60°)、(100°,50°)和(160°,80°)入射到UCA，阵元个数M=6，阵列半径为0.8λ，仅邻近的3个阵元间发生互耦效应，互耦系数分别为0.682 1-0.507 2i、0.682 1-0.507 2i和0.400 8-0.211 5i，对应的幅相误差系数分别为0.614 4-0.570 5i、0.614 4-0.570 5i、0.100 9-0.138 2i、0.185 0-0.379 1i、0.212 9-0.460 8i和0.117 2-0.205 3i.考虑在Rsn为10 dB，快拍数为500的实验条件下，200次独立的仿真实验中DOA估计的信号估计值和平均运行时间如表4所示.

表4 不同算法的角度估计值和运行时间的对比

通过表4中的数据可以看出，INI-MUSIC算法的运行时间与轮换迭代算法的近似相等，但是INI-MUSIC算法的估计值更接近真实值.在幅相误差和互耦误差的扰动下，使得阵列模型的导向矩阵发生扰动，从而导致对协方差矩阵进行特征值分解时存在严重偏差，发生信号子空间和噪声子空间的交叉，而INI-MUSIC算法通过重构矩阵B((α,β))可以对噪声子空间进行纠正，使其更接近真实的噪声子空间，从而在混合误差的影响下也能成功估计出信号角度，但是在运行时间方面需要进一步提高.