“软”任务着地 寻数学本质——在小学数学教学中渗透数学思想

刘忠宝

（福建省漳州市长泰区陈巷中心小学，福建漳州 363901）

引 言

数学思想是学生经过思维活动而产生的结果，虽然也被纳入教学目标，但它的抽象性使其在某种意义上成为教师的“软”任务。所以，很多教师在课堂上会忽略对学生数学思想的培养。为了提高学生的数学学习能力和解题能力，在实际教学过程中，教师要有意识地让学生感受到数学思想的内涵，进而帮助学生在了解数学本质的过程中形成基本的数学素养，为学习能力的提升打好基础[1]。

一、数形结合思想

数形结合思想是学生最容易理解的一种数学思想，即将代数与图形结合在一起来进行相关知识理解的解题思想[2]。从实际的教学情况来看，教师在课堂上往往只告诉学生这里或那里可以用画图来辅助解答问题，而学生自己在解答问题时却鲜有画图辅助的习惯。学生缺少用画图辅助解题的意识，在很大程度上影响了学习质量和学习效率。那么，在实际教学过程中，教师该如何将数形结合思想渗透到数学课程的教学中呢？

（一）基础知识教学中的渗透

近些年教材经过了多次修订。我们不难发现，插图在教材中的占比增长明显，这恰好是教师渗透数形结合思想的良机。教师可以从低年级开始，进行数形结合思想的渗透，借助教材中的插图来将抽象的概念和关系直观化、简单化、形象化，进而帮助学生树立借助图片、图形来辅助理解相关数学知识的意识。

例如，在教学“加法”的相关知识时，为了让学生能够从低年级就树立数形结合思想，教师在相关问题的讲解过程中，可以适时地渗透这一数学思想。

例1：

对于例1这一类题型（如图1），从严格意义上说，它不属于数形结合思想渗透的范畴，只不过因为小学低年级学生抽象思维能力较弱，需要结合图形来理解相关数学概念。但这是教师给学生渗透数形结合思想的切入口。所以，在这一类习题的解答过程中，教师可以先组织学生观察图片，并鼓励学生用数学语言来对图片信息进行合理的表达。比如，第一张图中的“3+□=□”，学生可以表达为三只白兔子在一起玩耍，过了一会儿又来了一只灰兔子，现在一共有多少只兔子？教师引导学生在这样的练习中感受数与形之间的关系，能降低学生数学学习的枯燥感，提高学生的学习积极性。

图1

（二）习题解答中的渗透

数形结合思想是提高学生解题能力的重要数学思想之一，尤其是解答应用题时，学生运用数形结合思想不仅能理解题意，还能找到题目中的等量关系，进而快速解题，积累解题经验，养成良好的解题习惯。

例2：某公司修一条长为2850 米的公路，已知前3天，该公司每天修150米，但要求后续的工程12天完成，思考该公司平均每天修多少米才能按要求完成任务？

教师可以引导学生按照图2进行思考，以帮助学生找到已知量和未知量之间的关系，进而找到试题的解答思路。教师在教学时一定要引导学生结合题干自己画图，并随着年级的增长，逐渐增加学生结合题意自己画图的次数，以真正达到逐步渗透数学思想的目的。

图2

二、数学方程思想

方程思想是指通过方程及方程组的构建来引导学生解决问题。这一思想在小学数学高年级阶段才会出现，有利于培养学生的数学思维[3]。那么，在教学过程中，教师该如何渗透数学方程思想呢？

（一）一题多解中渗透方程思想

一题多解是培养学生数学发散思维的有效方式之一。学生在一题多解的训练过程中也能提高知识的灵活应用能力。但是，如何在一题多解中渗透方程思想呢？简单来说，就是学生在解答问题时要运用方程或方程组来提高解题能力。

还以前文的例2为例，根据数形结合思想，学生可以依据图形传达出来的等量关系得出答案：（2850-150×3）÷12=200（米）。此时，教师可以借助方程思想，引导学生思考：如果假设该公司平均每天修x米就可以在12 天完成，我们能找到哪些等量关系？这样的引导不仅符合学生的认知水平，还能加深学生的理解，对提高学生的数学解题能力有积极的促进作用。所以，在应用题的解答过程中，教师可以通过开展这种一题多解活动，将方程思想渗透到解题过程中，以此来帮助学生发现数学的本质规律。

（二）公式逆用中渗透方程思想

数学解题时存在好多公式逆用的现象，目的是考查学生的知识灵活运用能力，但这也给学生解题增加了难度。所以，在这种情况下，方程思想可以帮助学生按照正向的思想来解答问题，以降低试题解答的难度，提高学生的解题效率[4]。

例3：梯形的上底为5 cm，下底为10 cm，面积为90 cm2，求该梯形的高。

学生都知道梯形的面积公式是“（上底+下底）×高÷2”，学生如果不借助方程思想进行试题的解答，而是借助公式逆用的方式，在逆向运算的过程中就很容易出现计算上的错误。比如，“除以2”就很容易丢掉。此时，教师引导学生借助方程思想就会让问题解答变得更为简单，即设该梯形的高为x，由题意得到（5+10）x÷2=90，这样计算难度就会降低，答题正确率相对较高。总之，在一些公式逆用的过程中，教师要鼓励学生借助方程思想进行解答，以此来提高学生的问题解答效率。

三、数学建模思想

数学建模思想是指将与数学有关的情境通过数学语言来进行描述，或者建立与数学之间的联系，进而让学生体会到数学与生活之间的联系。这对提高学生的知识灵活应用能力有很大的促进作用。但是，学生建模能力的培养和提高相对来说难度较大，需要学生具备较高的理解能力和数学思维能力。

例如，“鸡兔同笼”问题是教师对学生渗透数学建模思想常用的一类试题。在教学时，教师可以先组织学生对教材内容进行思考，如借助多媒体向学生展示“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”为了帮助学生理解，为后续数学建模打好基础，教师引导学生以小组为单位来将这一情境转化成常见的数学试题形式。比如，鸡兔同笼，已知头有35 个，脚有94 只，请问鸡有多少只？兔有多少只？然后，教师可以组织学生思考与讨论，并鼓励学生借助多种解题方法对这一问题进行解答，这样不仅能够达到发散学生数学思维的目的，还能深化学生对数学知识的认识，提高其学习效率。除此以外，教师还可以通过“举一反三”的方式来进行同类建模，比如，某人打算储备210 升水，想要将其分别装在大、小两种瓶子里面，已知大瓶可以装3 升/瓶子，小瓶1 升装2 瓶，已知共装了140 瓶，问大、小瓶各装了多少瓶？对于该题来说，他的本质与“鸡兔同笼”问题是一样的。所以，在解答该题时，教师就可以引导学生以“鸡兔同笼”的模型来进行思考。这样不仅能够帮助学生建立问题之间的联系，还有利于学生拓展知识面。这种建模思想的渗透，极大地提高了学生的解题能力。

四、数学转化思想

数学转化思想是可以在教学中渗透也可以在解题中渗透的思想，其目的是将复杂的问题简单化，将未知的问题转化成已知的问题，将整体问题转化成若干个小问题。总之，数学转化思想就是通过转化的方式来提高学生的学习质量和解题效率，进而让学生在独立思考和自主转化的过程中形成解题能力。

（一）将整体问题转化成若干个小问题

例如，某人读了一本故事书，目前已读和未读的页数比为4 ∶5，如果继续读10 页，那么正好读了全书的一半，请问全书一共有多少页？

这是一道相对复杂的试题，这里的关键量是比例。为了提高学生的解题能力，渗透数学转化思想，在解答该题时，笔者引导学生将这一问题进行了如下转化。

（1）某人正在读一本书，如果该书总页数是x的话，且已读和未读的页数比是4 ∶5，请问已读多少页？未读多少页？

（2）在这个基础上，如果再读10 页的话，那么正好读了全书的一半，请问该书的一半是多少页？

笔者将原本的一个问题按照题干拆分成了两个问题，问题之间虽然有交叉，但更容易找到等量关系。从该题的转化过程来看，我们还引入了方程，设了未知数，这也利于对方程思想的渗透。所以不难看出，将这种整体问题转化成若干小问题的方式不仅可以让问题简单化，还能让学生在转化的过程中理清题意。

（二）将新的知识转化成旧的知识

在教学“梯形的面积公式”相关内容时，教师可以通过将梯形分割或拼接成已经学过的平行四边形、三角形、长方形的方式，来引导学生进行推导。这种方法能锻炼学生的数学思维，提高学生的推理证明能力和学习效率。

五、归纳推理思想

归纳推理思想指的是由部分到整体，从个别到一般的推理，是锻炼学生归纳能力及逻辑推理能力的数学思想之一。所以，在小学数学教学过程中，教师要有意识地给学生搭建归纳推理的平台，通过鼓励学生独立思考和探究来达到锻炼和提高学生归纳能力和逻辑推理能力的目的，进而为学生数学素养的全面提升打好基础。

例4：分析下面的数字（如图3），在这一三角数阵找规律。

图3

求：第7 行，左起第3 个数是多少？第10 行，左起第5 个数是多少？第1997 行，左起第3 个数是多少？

教师组织学生以小组为单位对这一组数据进行观察和分析，并引导学生对每行每列之间的关系进行思考，尝试找到数与数之间的关系，比如，第4 行中的数字3 与第3 行中的数字有什么关系？按照这个思路，教师可以继续引导学生对第5 行与第4 行之间的数字关系进行分析，比如，第5 行中的第2 个数字4 是第4 行第1 位数和第2 位数之和，从而引导学生一步步思考，尝试在这三角矩阵中对第7行和第10行上的数字进行推导。但是，对于第1997 行的数字，采用这种列举的方式显然是行不通的。所以，在思考该题时，笔者再次引导学生思考行数与每行数字之间的关系。总之，引导学生大胆思考，从这一矩阵中横向、纵向及斜向中寻找数字之间的关系，不仅能够锻炼和提高学生的数学推理能力，还利于学生在分析与思考的过程中形成一定的数学逻辑思维。

结 语

由此可见，数学思想在小学数学教学中的渗透既可以提高学生的解题能力，锻炼学生的数学思维，又能深化学生的认知，使学生轻松掌握数学的本质。所以，教师要有意识地向学生渗透数学思想，要通过恰当活动的开展及学生自主性的凸显来确保学生掌握基本的数学思想，进而为学生数学学习能力的提高打好基础。当然，数学思想并不只有上文提到的这几种，还包括整体思想、分类思想等，这些都是数学解题中常用到的思想。但需要说明的是，在数学问题的解答过程中，通常不是借助某一种思想进行解答，而是多种思想共同使用，这同时也考查了学生的数学综合能力。