基于改进禁区判据的电气化铁路车网耦合系统稳定性研究

金 程 王小君 姚 超 毕成杰

基于改进禁区判据的电气化铁路车网耦合系统稳定性研究

金 程1王小君1姚 超1毕成杰2

（1．北京交通大学电气工程学院 北京 100044 2．国网北京市电力丰台供电公司 北京 100073）

近年来我国铁路枢纽段内车网耦合低频振荡的现象时有发生，由于机车存在结构复杂、模型参数保密的问题，车网耦合的系统稳定性详细建模分析在实际中存在困难。阻抗法可以通过实际测量车网端口阻抗避免这些问题，具有较好的应用效果，针对车网耦合系统，如何减小稳定性判据的保守性是阻抗法稳定性判别的关键。该文根据Nyquist准则将判据禁区从单位圆区域改进为射线区域，提出了一种保守性更小的改进禁区判据。首先，针对CRH5车型进行研究，建立了系统小信号模型，分析了稳定性影响因素；然后，结合盖尔圆定理提出基于端口阻抗和导纳矩阵的判据；最后，通过建立的小信号模型分析了改进禁区判据与现有判据的稳定性辨识结果，仿真结果证明了判据的准确性。

电气化铁路 CRH5小信号模型 改进禁区判据 保守性

0 引言

截至2020年1月，中国铁路营业里程已经达到13.9万km以上，居世界首位，其中包含3.5万km的高铁。高铁与城际铁路互为补充，构成高速铁路网，在地理上形成“八纵八横”的运输网络。在铁路网中，随着投入运营的列车数量不断增加，以及各型号电力机车高速度、大密度地连续运行，铁路电力系统出现耦合问题的概率也在逐渐增多[1-2]。在国内多处铁路枢纽段，例如徐州北铁路枢纽段发生过车网耦合低频振荡现象，引起牵引网电压的波动，使得机车牵引系统保护跳闸，车辆无法正常出库，严重影响了列车的正常运行秩序以及牵引网的电能质量，危害到网侧电力设备的安全[3]。通过实际观测，当多辆机车同时升弓整备时，牵引网大概率会产生低频振荡，振荡频率通常为3～7Hz[4]。经研究，这种低频振荡现象是由牵引网侧阻抗参数与机车整流器控制器参数不匹配导致的。

目前，已有大批国内外学者通过时域仿真分析、特征值分析和频域建模分析对车网系统低频振荡现象进行研究[5-7]。文献[8]对于电力机车进行建模，分析了控制参数对低频振荡的影响规律，提出了降低供电网络阻抗与控制参数调控优先级的抑制策略；文献[9]提出了滑模结构的内环电流无源控制（Current Passivity-Based Control of Sliding Mode Structure, CPBC-SMS）策略，可对整流器快速、无超调地调控，并能够降低稳态直流环节电压波动；文献[10]提出了由跟踪微分器、扩展状态观测器和非线性状态误差反馈控制律三部分构成的自抗扰控制器，用于抑制车网耦合低频振荡。

车网系统稳定性的建模可以分为电力机车与牵引电力网两个子系统模块[11-12]。车网系统是这两个模块的级联系统，可以视作为“源-负荷”等效模型，如图1所示。电力机车与牵引网相互影响会导致车网系统动态特性变差，造成系统稳定性问题。其中机车侧内部结构较为复杂并且对系统有较大影响，因此目前研究主要针对的是机车侧内部结构和控制策略。由于不同机车结构各异，并且厂家往往对机车模型参数保密，建立实用的模型进行分析较为困难。

图1 车网系统“源–负荷”等效模型

阻抗法可以通过实际测量车网端口阻抗避免以上问题，具有较好的应用场景，如何减小稳定性判据的保守性是阻抗法稳定性判别的关键。在早期的系统稳定性研究中，R. Middlebrook使用小信号分析法建立了系统数学模型，通过分析系统模型来研究多模块级联系统的稳定性，并提出了基于源模块和负载模块的系统稳定性判据[13-14]。多数学者基于该研究，对矩阵元素或者禁区进行改进，降低判据保守性，建立新的稳定判据。

文献[15] 通过改变sum-范数判据的回比矩阵提出了改进sum-范数判据，缩小了系统特征值的分布区域，降低了判据保守性，但是以单位圆为禁区界限的判据保守性较大；文献[16]以=-1为边界的可行域建立了基于禁区的改进型稳定性判据（Improved Forbidden Region-based Criterion, IFRC），比较了不同参数对稳定性的影响，但是仍具有较大保守性；文献[17] 结合镜像频率对称的方法提出了一种基于改进序列域的新型禁区稳定性判据（Novel Forbidden Region-Based Criterion, NFRBC），将禁区限定在一条射线区域，并设计了相位裕度和幅值裕度的可行域，极大地改善了判据保守性，但是经过镜像频率变换的矩阵特征值与原来矩阵不同，通过其特征值盖尔圆判断系统稳定性仍存在改进的空间。

基于以上问题，本文针对CRH5 型动车组提出一种改进禁区的稳定判据（改进禁区判据），并基于系统小信号模型比较了与其他稳定判据的辨识结果，证明所提出判据的保守性更小，同时通过仿真验证了判据的有效性。

1 车网耦合系统等效建模

车网系统的网压和网流之间的传递函数为

式中，为单位矩阵。通过车网系统的开环特征方程可以对交流级联系统的稳定性进行分析判断，即通过网侧阻抗矩阵s和车侧输入导纳矩阵tr的乘积（系统回比矩阵dq()）来分析铁路车网系统的稳定性[18]。

1.1 动车组等效导纳

CRH5型动车装配两套主牵引系统，每组动车配备两组变压器和五个动力单元，如图2所示[15]。动力单元1、2由变压器TR1供电，动力单元4、5由变压器TR2供电，动力单元3可通过开关由TR1或TR2供电[19]。

图2 CRH5动车组电路

当牵引网产生低频振荡时，CRH5动车组的牵引系统中只有网侧整流器（Line-Side Converter, LSC）和辅助逆变器保持工作，本文采用恒流源代替辅助逆变器一侧。CRH5的网侧整流器LSC控制器采用在dq轴下的电压电流双环控制策略[20]，LSC控制器由电流同步系统（Current Synchronization System, CSS）、电压同步系统（Voltage Synchronization System, VSS）、直流电压控制器（Direct Voltage Controller, DVC）和交流电流控制器（Alternating Current Controller, ACC）构成。LSC主电路与控制器如图3所示[21-22]。

图3 LSC主电路与控制器

1.1.1 电压同步系统（VSS）

VSS由二阶广义积分器（SOGI）和锁相环（PLL）构成，如图4所示。

图4 VSS控制框图

dq坐标系下的二阶积分器传递函数edq为

式中，1为工频角频率；eSOGI为VSS中二阶积分器系数；1为采样时间。

图4中，Ppll、Ipll为锁相环内PI环的比例系数与积分系数，锁相环产生的系统同步相角D可表示为

1.1.2 电流同步系统（CSS）

CSS与VSS结构相似，如图5所示。

图5 CSS控制框图

1.1.3 直流电压控制器（DVC）

直流电压控制框图（DVC）如图6所示。

图6 DVC控制框图

根据图6可得

式中，dref为直流侧d轴电流参考值；d为直流侧电压；d为直流侧电流；Pv、Iv为电压控制器PI环的比例系数与积分系数。

1.1.4 电流控制器（ACC）

ACC采用网压前馈形式抵消网压分量的干扰[23-24]，ACC控制框图如图7所示。

图7 ACC控制框图

因为本文采用恒流源代替辅助逆变器侧，所以Dd可以忽略，根据图7可得

式中，cd、cq为d、q坐标系下电压控制量；Pi、Ii为ACC中PI环的比例系数与积分系数；n为牵引变压器在牵引绕组侧的等效漏电感；d0为直流侧稳态时电压。

根据图3输入信号与PWM控制信号的关系可得

参考文献[25]，交流侧与直流侧根据功率守恒准则建立联系。因为牵引变压器等效漏电阻n和漏电感n非常小，计算功率时可忽略。如果将整流桥视作理想转换器，直流侧的有功功率则与交流侧输入有功功率相等。整理后可得

可以得到电力机车四象限整流桥输入导纳矩阵为

多车输入导纳矩阵为

式中，为CRH5型机车并行数目；1为每辆机车装载的动力单元数目；2为每个动力单元整流器的数目；CRH5型机车的1为5，2为2[9]。

1.2 牵引供电网等效阻抗

因为铁路低频振荡频率较低，可以将牵引网的分布电容忽略，用串联电阻电感表示牵引网的等效阻抗，如图8所示[8]。系统短路容量与系统侧电抗成反比关系，短路容量越大，牵引网等效电抗越小，有利于车网耦合系统的稳定。

图8 牵引网等效阻抗

考虑到变压器作用，将牵引网阻抗归算到变压器二次侧，车载变压器电压比为s，网侧阻抗为

牵引网和车载变压器级联构成复杂回路，特别是车载变压器内部各环节模块间相互耦合作用，是影响系统稳定性的关键。其中各环节参数值与元件参数值直接影响系统回比矩阵，也影响了系统稳定性。

2 改进禁区稳定判据

通过系统的详细建模可以较好地分析车网系统的稳定性，但是在实际中，因为列车技术保密、内部结构复杂等原因，无法获取机车内部具体结构以及模块参数，所以无法建立与实际机车完全相同的小信号模型用以分析车网系统的稳定性。

在未知系统内部具体结构的情况下，由于系统回比矩阵中的元素可以通过测量系统外部端口数据获取，而车网系统稳定性可以通过回比矩阵分析判断，这样提高了车网耦合系统稳定性分析的可行性。

通过对外端口的测量可以获取网侧阻抗矩阵s和车侧输入导纳矩阵tr位于各个频率上的点，能够用于计算回比矩阵在各个频率的矩阵元素和特征值，进而得到特征值轨迹，再根据广义Nyquist稳定性判据判断系统的稳定性。但是因为系统的特征曲线一般是通过系统矩阵各个元素在频域上的传递函数得出，而通过离散的数据推导出完整的矩阵元素中的传递函数较为困难，所以直接通过广义Nyquist稳定性判据分析车网系统的稳定性以及指导参数设计存在困难[18]。

盖尔圆定理可以在缺少传递函数的情况下估算出特征值的分布，可以简化判据形式，为稳定性分析提供直观的指导。根据盖尔圆定理，以矩阵对角线元素为圆心，以该圆心元素同行的非对角线元素模值之和为半径作圆，得到矩阵特征值的圆形分布区域[26]。根据定理，二阶矩阵dq()的特征值1、2与其盖尔圆分布关系如图9所示，特征值位于圆内。

图9 盖尔圆定理

根据图9，可得数学关系式

根据广义Nyquist稳定性判据，通过分析系统的开环频率特性可以判断闭环系统的稳定性。系统稳定的充要条件是系统回比矩阵特征值1、2的曲线逆时针环绕（-1, j0）点的圈数与系统回比矩阵处于右半平面的极点数相同。因为车网系统的子模块都需要满足各自稳定运行的条件，所以系统回比矩阵中的网侧阻抗矩阵s和车侧输入导纳矩阵tr都不能有右半平面的极点，即特征值1、2的曲线环绕（-1, j0）点的圈数为0。

基于广义Nyquist稳定性判据，稳定系统的特征值曲线不能绕过（-1, j0）点，此时曲线也不能穿过（-∞, -1）（=0）射线，故而将禁区设为（-∞, -1）（=0）射线。根据该禁区以及盖尔圆定理可以列出数学关系式

式中，Re为复数实部；Im为复数虚部。如图10所示（w1、w2代表不同的频率），A1、B1表明特征值所在的盖尔圆需要位于x=-1直线的右半面区域，为图中（蓝色）虚线区域；A2、B2表明特征值所在的盖尔圆不能与虚轴相交，为图中（绿色）点线区域。以上两点条件满足其一即能够保证特征值所在的盖尔圆不在（-∞, -1）（y=0）（红色）射线禁区上，即为广义Nyquist稳定性判据判定系统稳定的充分条件。所以当以上四个表达式满足[(A1∪A2)∩(B1∪B2)]时，该矩阵特征曲线位于稳定区间内，可以判断系统处于稳定状态。其中A1、A2反映了第一个特征值l1的可行域。B1、B2反映了第二个特征值l2的可行域，与特征值l1的可行域相同。两个特征值均需保持在可行域内，故为交集形式。表达式将特征值可能出现的区域限定在系统稳定可行域，是车网耦合系统稳定的充分条件。

图11 特征值判定区域

dq1()的稳定判据数学表达式可以参照dq()的判据表达式列出，即

此时，判定车网耦合系统为稳定系统需要满足集合[(A1∪A2)∩(B1∪B2)]∪[(C1∪C2)∩(D1∪D2)]。

将不等式右边全部变为0，汇总表达式，可以得到

根据交并集的交换律、结合律整理表达式，最后得到改进禁区判据公式

式中，max(·)为数值中最大值。

3 改进禁区判据的保守性分析

对于作为系统稳定充分条件的稳定性判据，并不是所有的稳定车网系统都会满足判据条件，部分稳定系统因为稳定准则裕度而被判据判断为不稳定系统，通常将这种情况出现的概率称作判据的保守性。保守性反映稳定性判据的裕度大小，保守性越低，判据的稳定性结果越接近系统的实际临界稳定状态。

一般情况下，对于同一判稳准则的充分条件而言，条件的禁区越小，可行域越大，保守性越小。文献[15]改进sum-范数判据的禁区为单位圆以外区域；文献[16]IFRC判据的禁区为=-1的左侧部分；改进禁区判据的禁区为（-∞, -1）（=0）的射线。三种判据可行域如图12所示，改进sum-范数判据可行域为（绿色）点线区域，IFRC判据可行域为点线和（蓝色）虚线区域，改进禁区判据可行域为（绿色）点线、（蓝色）虚线和（红色）点画线区域。由图12可见改进禁区判据的可行域最大，即保守性最小，并且改进禁区判据的禁区边界与实际中临界稳定条件更为符合。

图12 不同判据的可行域

除了缩小禁区区域以外，在不改变特征值的前提下变换矩阵的形式，增加了特征值的盖尔圆，减小了特征值的分布区域。如图11所示，特征值被限定在两圆交叠区域内，特征值盖尔圆内非交叠区域与禁区相交将不会被判定为不稳定情况，减少了特征值分布区域误落在禁区的概率，进一步降低了判据的保守性。

4 仿真验证及分析

对于改进禁区判据的有效性验证，首先通过第1节搭建的车网系统数学模型对判据进行系统稳定性分析，其次对于同一数学模型与其他稳定性判据的稳定性辨识结果比较，以验证本文提出判据对保守性的改善。此外，按照第1节对CRH5型动车组的建模思路搭建铁路车网耦合系统，模拟不同列车数量情况下的电气量仿真波形，仿真示意图如图13所示。通过车网一体化仿真模型对系统稳定性进行仿真研究，从侧面印证判据稳定性分析的准确性。

图13 系统仿真模型

4.1 列车数目n=1的判据对比与仿真分析

首先，结合附表1机车参数值搭建动车的小信号模型。当列车数目为=1时，改进sum-范数判据的幅频曲线如图14a所示，根据该判据的定义，两条曲线1、2分别为其两个子判据表达式的幅频曲线，只要至少一条子判据曲线能够保持一直低于0dB，则表示系统稳定。通过该判据曲线可见，两个子判据曲线均低于0dB，此时该判据分析系统为稳定状态。IFRC判据的曲线如图14b所示，根据该判据的定义，八条曲线a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2分别为其四个子判据abcd表达式的曲线，只要至少一种颜色（即a、b、c、d）的虚实线曲线幅值均能够保持一直高于0，则表示系统稳定。通过该判据曲线可见，四个子判据表达式的曲线幅值均在0之上，所以该判据分析系统为稳定状态。改进禁区判据的曲线如图14c所示，根据该判据的定义，四条曲线l1、l2、l1、l2分别为改进禁区判据的两个子判据、表达式的曲线。其中子判据为回比矩阵dq()的判据分析表达式；子判据为回比矩阵变式dq1()的判据分析表达式；虚实线表示子判据中的两个次级判据。根据改进禁区判据公式，子判据之间为并集关系，子判据内部的次级判据为交集关系，所以满足任意子判据内部的所有次级判据表达式则能够判定系统稳定。即只要至少一种颜色（即、）的虚实线曲线幅值均能够保持一直高于0，则表示系统稳定。通过该判据曲线可见，两个子判据曲线幅值均一直高于0，此时该判据分析系统为稳定状态。

图14 判据辨识对比（n=1）

通过仿真验证，当列车数量=1时网侧电气量如图15所示。由图可见，仅网侧电流在0.17s短时振荡，之后迅速恢复，所以车网系统处于稳定状态。

图15 电气量仿真波形(n=1)

4.2 列车数目n=6的判据对比与仿真分析

当列车数目为=6时，改进sum-范数判据幅频曲线、IFRC判据曲线如图16a、图16b所示，从判据曲线均可知判断系统为不稳定状态。改进禁区判据曲线如图16c所示，通过该曲线可见，所有子判据曲线一直高于0，此时该判据分析系统为稳定状态。

图16 判据辨识对比(n=6)

当列车数量=6时，网侧电气量仿真如图17所示。网压在小幅振荡后，在0.78s左右稳定。

图17 电气量仿真波形(n=6)

4.3 列车数目n=7的判据对比与仿真分析

当列车数目为=7时，改进sum-范数判据的幅频曲线、IFRC判据的曲线和改进禁区判据的曲线分别如图18a、图18b、图18c所示，从曲线可见所有判据分析系统均为不稳定状态。

列车数量=7时，网侧电气量仿真如图19所示。网侧电气量一直存在5～9Hz频率的低频振荡，所以系统为不稳定状态。

通过不同判据结果的比较以及仿真的验证，可见本文提出的改进禁区判据具有更小的保守性，并且与仿真结果更接近。

图19 电气量仿真波形(n=7)

5 结论

本文根据Nyquist判据缩小了系统稳定性判据的禁区，并结合盖尔圆以及回比矩阵的变式提出了改进禁区判据。首先对车网系统进行分析，针对CRH5车型研究了其网侧整流器LSC控制器，推导出车网系统的dq解耦小信号模型。然后提出保守性小、能快速判断系统稳定性的改进禁区判据。最后分析了判据的保守性，并通过建立的小信号模型与不同判据的稳定性辨识结果比较，再次验证了该判据保守性更小的结论，另外通过仿真验证了该判据的准确性。本文所提出判据主要具有以下优点：①计算简单，可以快速判断车网系统的稳定性；②与现有判据相比，具有更小的禁区和更小的保守性；③无需提供系统内部结构模型，只需要输入系统端口外特性曲线便能够对车网系统稳定性进行判断，利于实际运用。

但是因为判据中的判别公式无法完全覆盖可行域，并且判据所使用的盖尔圆只是标定了系统特征值的分布区域，区域内存在大量被舍弃的可用范围，所以本文提出的判据仍具有一定保守性。

附 录

附表1 列车的参数值

App.Tab.1 Train parameter values

参数数值 电压二阶带通滤波器增益KeSOGI0.8 锁相环的比例系数KPpll51 锁相环的积分系数KIpll64.56 电流二阶带通滤波器增益KiSOGI1 直流侧恒流源id/A10 电流控制器的比例系数KPi0.86 电流控制器的积分系数KIi7.5 整流器的等效电阻Rn/Ω0.145 整流器的等效电感Ln/mH5.4 电压控制器的比例系数KPv0.50 电压控制器的积分系数KIv0.05 PWM增益KPWM1 采样周期Tl/s0.02 PWM的开关周期Td/s0.000 005 直流侧电阻Rl/Ω1 000 直流侧电容Cl/mF9 变压器变比Ks25 000/1 770 网侧电阻Rs/Ω1.172 网侧电感Ls/mH7

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Research on Stability of Electrified Railway Train-Network Coupling System Based on Improved Forbidden Region Criterion

Jin Cheng1Wang Xiaojun1Yao Chao1Bi Chengjie2

（1.School of Electrical Engineering Beijing Jiao Tong Univercity Beijing 100044 China 2. State Grid Beijing Fengtai Power Supply Company Beijing 100073 China）

In recent years, low-frequency oscillations of train-network coupling have occurred frequently in the country's railway hubs. Due to the complex structure of trains and the confidentiality of model parameters, detailed modeling of the train-network coupling system stability are difficult in practice. The impedance method can avoid these problems by measuring the impedance of the train network, and has a good application future. For the train network coupling system, how to reduce the conservativeness of the stability criterion is the key to the stability judgment of the impedance method. In this paper, according to the Nyquist criterion, the criterion forbidden region was improved from the unit circle area to the ray area, and a more conservative improved forbidden region criterion was proposed. Firstly, by researching the CRH5 model, a small signal model of the system was established, and the influencing factors of stability were analyzed. On this basis, the criterion based on port impedance and admittance matrix was proposed in combination with the Gaelic circle theorem. Finally, through the established small signal model, the stability identification results of the improved forbidden region criterion and other criterion were analyzed, and the accuracy of the criterion was verified by simulation.

Electric railways, CRH5 small signal model, improved forbidden region criterion, conservation

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.L90252

TM712

先进轨道交通国家重点研发计划资助项目（2017YFB1200802）。

2020-07-06

2020-09-30

金 程 男，1995年生，硕士研究生，研究方向为电气化铁路车网低频振荡。E-mail：18121447@bjtu.edu.cn

王小君 男，1978年生，副教授，博士生导师，研究方向为电力系统分析与控制、主动配电网等。E-mail：xjwang1@bjtu.edu.cn（通信作者）

（编辑 郭丽军）