广义对称G-(F,α,ε)-凸多目标半无限规划的最优性条件

甄艳秋，王文东，简相栋

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

利用广义凸函数研究多目标规划中的最优性问题一直是凸规划中的重要内容，近年来，许多学者在这方面做了研究，例如文献[1-9]。本文借助Minch对称梯度定义了一类新的广义对称G-(F，α，ε)-凸函数，并且在这些新的广义凸性下，研究并得出了一类带有支撑函数的多目标规划的最优性结论。

1 基本定义

定义1[10](次线性函数)设F:X×X×Rn→R是关于第三变元的次线性函数，如果满足对于∀x1,x2∈X，有

F(x1,x2；α1+α2)≤F(x1,x2;α1)+(x1,x2;α2)，

∀α1,α2∈Rn；

F(x1,x2;rα)=rF(x1,x2;α)，∀r∈R+,α∈Rn。

定义2[11]如果有f(x+h)-f(x-h)=2hTfs(x)+o(‖h‖)，称函数f(x)在x是对称梯度，并记作

fs(x)。

次梯度与fs(x)、广义梯度与fs(x)没有隶属关系，并且次梯度、广义梯度不唯一，但是对于对称梯度fs(x)是唯一的。当函数可微的时候，他们相等。对称梯度有很多类似梯度的性质，因此用它推广凸函数有重要的意义。

定义3[12]设x0∈X，如果不存在x∈X，使得

f(x)≤f(x0)，则说x0是(MP)的有效解。

定义4[12]设x0∈X，如果不存在x∈X，使得

f(x)

考虑下面多目标半无限规划

其中f=(f1,f2,…,fk):X→Rk以及g:X×U→Rm对于∀u∈U是定义在X上的对称函数，X⊂Rn是一非空开子集，U⊂Rm是一个无限参数集。令K={1，2，3，…，k}，M={1，2，3，…，m},Ifi(x),i=1，…，k表示fi的值，Ci是Rn中对于每一个i∈K,j∈M的紧凸集，记X0={x∈X|g(x,uj)0,X⊂Rm,u∈U⊂Rm}为(MP)的可行解集，U*={uj|j∈△,J(x0)⊂△是相应指标集}是U的任意可数子集，△={j|

g(x,u)0,x∈X0,uj∈U},J(x0)={j|g(x0,uj)=0}，函数G=(G1,…,Gk):R→RK，每一个Gi:Ifi(x)→R,i=1,…，k是严格单调递增的可微实值函数。

s(x|Ci)表示X上的支撑函数，其定义如下：

s(x|Ci)=max{〈wi,x〉|wi∈Ci},i∈K。

定义5 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1，…，k，∀εi>0，使得对于x∈X,i=1，…，k有

(fis(x0)+wi))+εi，

则称(fi(x)+xTwi)在x∈X处是广义对称G-(F,α,ε)-凸函数。

定义6 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1,…,k，∀εi>0，使得对于x∈X,i=1，…，k有

(fis(x0)+wi))+εi0，

则称(fi(x)+xTwi)在x∈X处是广义对称G-(F,α,ε)-拟凸函数。

定义7 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1，…，k，∀εi>0，使得对于x∈X,i=1，…，k有

(fis(x0)+wi))+εi<0，

则称(fi(x)+xTwi)在x∈X处是广义对称G-(F,α,ε)-伪凸函数。

定义8 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1,…,k，∀εi>0，使得对于x∈X,i=1,…,k有

(fis(x0)+wi))+εi<0，

则称(fi(x)+xTwi)在x∈X处是广义对称G-(F,α,ε)-弱伪凸函数。

定义9 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1，…,k,∀εi>0，使得对于x∈X,i=1，…，k有

(fis(x0)+wi))+εi≤0，

则称(fi(x)+xTwi)在x∈X处是广义对称G-(F,α,ε)-强伪凸函数。

2 最优性充分性条件

定理1 设x0∈X0，如果对于∀x∈X0，存在F,

λ=(λ1,…,λk)>0,β=(β1,…,βm)0满足下列条件

(i)(fi(x)+xTwi,g(x,uj))在x0处是广义对称G-(F,α,ε)-凸函数；

(ii)βjg(x,uj)=0；

(iii)0=

(iv)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K；

则x0是(MP)的弱有效解。

证明反证法。假设x0不是(MP)的弱有效解，则存在x∈X0使得

fi(x)+s(x|Ci)

又因为G=(G1，…，Gk)：R→Rk，每一个Gi:Ifi(x)→R,i=1，…，k是严格单调递增的可微实值函数，

(1)

由条件(i)知

(2)

由(1)式和(2)式得

对于λi>0有

(3)

由条件(i)知

Gj(g(x,uj))-Gj(g(x0,uj))

对于βj0有

由条件(ii)可知

g(x,uj)g(x0,uj)=0,j∈J(x0)。

根据函数G的性质和条件(iii)得

Gj(g(x,uj))-Gj(g(x0,uj))0,j∈J(x0)，

由条件(i)知

gs(x0,uj))+εj0,j∈J(x0)。

当j∉J(x0)时，由条件(ii)可知βj=0，所以

(4)

将(3)式和(4)式相加并由(v)式整理得

(5)

由F的性质以及条件(iii)知

gs(x0,uj))，即

gs(x0,uj))，

这与(5)式矛盾，所以x0是(MP)的弱有效解。

定理2 设x0∈X0，如果对于∀x∈X0，存在F,

λ=(λ1，…，λk)>0,β=(β1,…,βm)0满足下列条件

(i)(fi(x)+xTwi)在x0处是广义对称G-(F,α,ε)-强伪凸函数；

(ii)g(x,uj)在x0处是广义对称G-(F,α,ε)-拟凸函数；

(iii)βjg(x,uj)=0；

(v)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K；

则x0是(MP)的有效解。

证明反证法。假定x0不是(MP)的有效解，则存在x∈X0使得

fi(x)+s(x|Ci)≤fi(x0)+s(x0|Ci)，

又因为G=(G1，…，Gk):R→RK，每一个Gi:Ifi(x)→R,i=1，…，k是严格单调递增的可微实值函数，

由条件(i)知

对于λi>0有

(6)

又由已知条件(iii)可知

g(x,uj)g(x0,uj)=0，j∈J(x0)。

根据函数G的性质得

Gj(g(x,uj))Gj(g(x0,uj)),j∈J(x0)。

由条件(ii)知

gs(x0,uj))+εj0,j∈J(x0)。

当j∉J(x0)时，由条件(ii)可知βj=0。所以

(7)

将(6)式和(7)式相加得

(8)

由F的性质以及条件知

(fis(x0)+wi))+

gs(x0,uj))，即

gs(x0,uj))，

这与(8)式矛盾，所以x0是(MP)的有效解。

定理3 设x0∈X0，如果对于∀x∈X0，存在F,λ=(λ1,…,λk)>0,β=(β1,…,βm)0满足下列条件

(i)(fi(x)+xTwi)在x0处是广义对称G-(F,α,ε)-弱伪凸函数；

(ii)g(,x,uj)在x0处是广义对称G-(F,α,ε)-拟凸函数；

(iii)βjg(x,uj)=0；

(v)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K；

则x0是(MP)的有效解。

证明反证法。假定x0不是(MP)的有效解，则存在x∈X0使得

fi(x)+s(x|Ci)≤fi(x0)+s(x0|Ci)，

又因为G=(G1,…,Gk):R→RK，每一个Gi：Ifi(x)→R，i=1，…，k是严格单调递增的可微实值函数，

由条件(i)知

对于λi>0有

(9)

又由已知条件(iii)可知

g(x,uj)g(x0,uj)=0，j∈J(x0)。

根据函数G的性质得

Gj(g(x,uj))Gj(g(x0,uj)),j∈J(x0)。

由条件(ii)知

gs(x0,uj))+εj0,j∈J(x0)。

当j∉J(x0)时，由条件(ii)可知βj=0。所以

(10)

将(9)式和(10)式相加整理得

(11)

由F的性质以及条件知

gs(x0,uJ))，即

gs(x0,uj))，

这与(11)式矛盾，所以x0是(MP)的有效解。