基于运动学的静定结构平衡问题的虚位移原理分析1)

舒开鸥 郭子涛 杨 忠 陈 彬 郭 钊

*(九江学院建筑工程与规划学院，江西九江 332005)

†(中国矿业大学力学与土木工程学院，江苏徐州 221116)

静定结构的受力分析是力学课程的基础内容和核心内容，求解静定结构未知力的一般方法是列、解静力平衡方程，但平衡方程法往往有以下缺点：首先，对于简单结构(满足两刚片规则或三刚片规则)可以做到列一个方程求解一个未知力[1]，但对于复杂结构则需联立方程求解方程组，计算量大；其次，即使可以做到列一个方程求解一个未知力，也不能直接求解目标未知力，而需先求解支座反力等其他未知力，计算过程繁琐。

虚位移原理是求解静定结构未知力的重要方法，该方法能做到仅用一个虚功原理方程就可直接求出任何目标未知力(支座反力和内力)，与平衡方程法相比，既能减少计算量又能简化计算过程。虚位移原理在求解静定结构未知力时也有难点，即与各力对应的虚位移往往很难直接利用几何关系得出。本文将探讨运用运动学理论简化虚位移计算，进而简化平面静定结构的受力分析。

1 虚位移的运动学理论

1.1 位移中心和位移投影定理

位移中心即为速度瞬心。由于刚片内各点虚位移之比等于速度之比[2]，因此在虚位移状态下，做平面运动刚体上(或其扩展部分上) 速度为0 的点(速度瞬心)，虚位移也为0，把该点叫做刚片的位移中心。

位移投影定理即是速度投影定理。刚片内任意两点的速度在沿这两点连线方向上的投影相等(速度投影定理)，结合刚片内各点虚位移之比等于速度之比，可知刚片内任意两点的虚位移在沿这两点连线方向上的投影相等，此即位移投影定理。

依此类推，速度与角速度的关系、求解速度的速度瞬心法和基点法等有关速度的运动学基本理论中，均可将速度和角速度改述为虚位移和虚角位移，从而得到虚位移的运动学基本理论。

1.2 虚铰和无穷远虚铰的运动学特征

文献[3] 提出了关于虚铰和无穷远虚铰的两个运动学特征定理，结合刚片内各点虚位移之比等于速度之比，将这两个定理分别改述如下，并做简要证明。

定理一 两刚片(或其扩展部分) 在虚铰处虚位移相等。

如图1(a)，刚片I 和刚片II 由两根链杆AC和BD连接，由于两链杆不平行，故可看成刚片I 和刚片II 在两链杆交点O点处的虚铰连接。设刚片I 和刚片II 在O点(两刚片上或刚片的扩展部分上与虚铰位置重合的点) 的虚位移分别为δr1O和δr2O，则有δr1O=δr2O。证明如下。

图1 虚铰的运动学特征

设δr1O和δr2O沿AC方向投影分别为δr1OA和δr2OA，A点和C点虚位移沿AC方向投影分别为δrAC和δrCA，由位移投影定理可得：δrAC=δrCA。在刚片I (或其扩展部分) 上的O点和A点用位移投影定理可知δr1OA=δrAC，在刚片II (或其扩展部分)上的O点和C点用位移投影定理可知δr2O=δrCA，于是有：δr1OA=δr2OA，即δr1O和δr2O在AC方向上的投影相等，同理：δr1O和δr2O在BD方向上的投影也相等，据此可得：δr1O=δr2O。显然，若AC和BD两相交线段上的链杆分别不只一根时，该定理仍成立(如图1(b))。

定理二无穷远虚铰(两根平行链杆) 连接的两刚片，虚角位移相等。

如图2(a)，刚片I 和刚片II 由AC和BD两根平行链杆(无穷远虚铰)连接，设刚片I 和刚片II 的虚角位移分别为δθ1和δθ2，则有δθ1=δθ2。证明如下。

设两链杆间距离为d，与链杆平行的方向为x方向，A，B，C和D四点虚位移沿链杆方向投影分别为δrAx，δrBx，δrCx和δrDx，由位移投影定理可知δrAx=δrCx、δrBx=δrDx，再分别以A点和C点为基点可得δrBx=δrAx+δθ1·d=δrDx=δrCx+δθ2·d，故有δθ1=δθ2。显然，若AC和BD两平行线段上的链杆分别不只一根时，该定理仍成立(如图2(b))。

图2 无穷远虚铰的运动学特征

2 虚功的换算技巧

求结构中力F在虚位移状态下对应虚位移δr上所做虚功时，难点是虚位移δr的计算，尤其是虚位移δr所在刚片做一般平面运动时，计算往往更为困难。可采用下面的方法巧妙地解决这一难题。

设力F所在刚片在虚位移状态下的虚角位移为δθ，O点为刚片位移中心，如图3。则F在δr上所做虚功等于F对O点之矩MO(F) 在δθ上做的虚功。即

图3 虚功的换算

力F在δr上所做虚功W=F · δr，由于δr=d·δθ，得W=F ·δr=Fd·δθ，注意到力F对O点之矩MO(F)=Fd，故有F ·δr=MO(F)·δθ。

通过将力作虚功转化为力矩作虚功，可避免逐一计算同一刚片上各力所对应的虚线位移，但需先确定刚片的位移中心和虚角位移，然而要求出各虚线位移，也需先确定刚片的位移中心和虚角位移，因此虚功换算技巧常能简化虚功的计算。

3 应用举例

例1 求图4 静定桁架中BE杆的轴力FBE[4-5]。

图4 例1 的简图(力状态)

解：去掉BE杆，建立虚位移状态如图5，由A点虚位移沿水平方向，BI杆绕B点转动，故I点虚位移垂直于直线BI，可确定刚片ADJI的位移中心O点。给定刚片ADJI虚角位移δθ，进而可确定J点虚位移δrJ，由于C点虚位移沿水平方向，结合δrJ，可知刚片CGJE的位移中心在C点，注意到OJ=CJ，故可得刚片CGJE的虚角位移大小等于δθ，方向与δθ相反。利用上述结论并结合式(1)，即可列出虚功原理方程

图5 虚位移状态

此例中，两竖向外力F作用在刚片ADJI上，水平外力F和FBE作用在刚片CGJE上，因此，只需分别确定这两刚片的位移中心和虚角位移，然后利用虚功的换算技巧，即可方便地求出各力的虚功，避免了逐一计算各外力对应的虚位移，使计算简化、清晰。

例2 求图6 静定桁架中AK杆的轴力FAK[6]

图6 例2 的简图(力状态)

解：去掉AK杆，建立虚位移状态如图7，显然A，E两点固定，AB杆绕A点转动，则B点虚位移沿水平方向，可知刚片BJK位移中心在直线AB上。刚片EHGI绕E点转动，给定其虚角位移δθ，则I点虚位移δrI=dδθ，在杆KHI上利用位移投影定理，可确定K点水平虚位移δrKx=δrI=dδθ，注意到刚片BJK与刚片EHGI由两平行链杆连结，由定理二可知其虚角位移也为δθ，至此，可求出刚片BJK虚位移中心到直线KI的距离为

图7 虚位移状态

由式(2) 可看出刚片BJK位移中心即是B点，结合刚片BJK和刚片EHGI虚角位移均为δθ，可列出虚功原理方程

此例与上例类似，利用虚功的换算技巧–– 通过计算力所在刚片的虚角位移代替计算力的作用点的虚位移，简化了虚位移的计算。此例的关键是应用定理二和位移投影定理确定刚片BJK的位移中心和虚角位移，体现了运动学理论在简化虚位移计算中的作用。

例3 求图8 静定复杂桁架中BE杆的轴力FBE。

图8 例3 的简图(力状态)

解：去掉BE杆，建立虚位移状态如图9，刚片ADE绕A点转动，给定其虚角位移δθ，可得E点虚位移δrE=aδθ。刚片ADE、杆GH和杆BI用平行链杆连结，由定理二可知杆BI虚角位移δθBI=δθ。

图9 虚位移状态

B和C两点虚位移均沿水平方向，故杆BI和杆BJ位移中心均在直线BH上，则I点竖向虚位移δrIy= 2aδθBI= 2aδθ；刚片CIK位移中心在直线CK上，则刚片CIK(扩展部分)上与I点关于直线CK对称的X点竖向虚位移δrXy=δrIy=2aδθ，方向与δrIy相反；注意到连结杆BJ和刚片CIK的虚铰在X点处，由定理一，并注意到杆HI和杆BJ用平行链杆连结，结合定理二可得杆HI和杆BJ虚角位移

以I点为基点，结合δrIy=2aδθ和式(3)，在杆HI上用基点法可得H点竖向虚位移

以E点为基点，结合式(4)，在杆EH上用基点法可得该杆虚角位移和H点水平虚位移，再在杆HJ上利用位移投影定理，进而可得J点水平虚位移

以J点为基点，结合式(3) 和式(5)，在杆BJ上用基点法可得B点虚位移

由式(4)～式(6) 及δrE=aδθ可知与各力对应虚位移均已求出，列虚功原理方程

解此方程，得FBE=2F。

在计算力的作用点的虚位移时，只需求出该点虚位移沿力方向的投影，如此可使计算简化，尤其对于刚片位移中心不易确定而不能应用虚功换算技巧的情形，简化计算效果显著。若已知刚片虚角位移和其上某点虚位移沿某方向的投影，可以该点为基点，利用基点法方便地求出其他点虚位移在同一方向的投影，而无需确定刚片的位移中心，如此例中δrHy，δrHx及δrB的计算。此例在计算虚位移的过程中，多次运用虚铰及无穷远虚铰的两个运动学特征定理，因此，熟练掌握并能灵活应用这两个定理，将是分析求解的关键。

4 结论

静定结构的平衡问题是结构力学乃至整个力学学科的核心基础，其重要性不言而喻。用虚位移原理求解静定结构的平衡问题时，可仅用一个虚功原理方程直接求出目标未知力，避免了解平衡方程组和需先计算支座反力等非目标未知力的麻烦，使求解过程大为简化。

虚位移原理的难点是虚位移的计算。基于理论力学中“刚片内各点虚位移之比等于速度之比” 的结论，提出了位移中心、位移投影定理和基点法等运动学基本理论，证明了虚铰及无穷远虚铰的运动学特征定理，并提出了虚功的计算技巧。通过三个算例的分析计算实践表明，将运动学理论及虚功的换算技巧应用于虚位移原理分析静定结构的平衡问题，可方便虚位移的计算，简化静定结构尤其是复杂静定结构平衡问题的求解，进而能在教学中增加复杂静定结构平衡问题分析这一教学内容，使得课程教学内容更加完善。