以形转思，用数学的眼光剖析数学问题——以“倍的认识”单元教学为例

□陈 芳

“数学的眼光”可以看作是一个过程，一个先在真实的问题情境中“剥离”或“去掉”无关元素，再在剩下的有意义的数学元素间建立“联系”形成某种数量关系或空间形式的过程。要提升“数学的眼光”，学生需要有丰富的、聚焦于“数量关系和空间形式”的、在现实与数学之间进行思维切换的经历。

“形”具有形象、直观的特点，借助“形”理解“数”，理解“数量关系”，是学生学习数学的一种重要方法，这种方法在问题解决的过程中起着举足轻重的作用。引导学生依靠“形”的可视性、简明性、结构性，把现实世界中事物的数量和数量关系、图形和图形关系抽象为数学元素，就是在培养学生用数学的眼光剖析数学问题。

借助“形”开展教学符合小学生形象思维占主导地位的特点。让学生经历视觉表征抽象化的过程，符合小学生由具体形象思维到抽象逻辑思维的思维发展规律。同时，“形”更能帮助学生“看到”知识的结构，符合小学生高阶思维和创新思维发展的需求。

下面以人教版教材三年级上册“倍的认识”单元教学为例，探索借“形”辅“思”，培育学生“数学眼光”的有效路径。

一、教学实践与思考

（一）梳理教材，逐级抽象

研读教材不难发现，在“倍的认识”单元中，“形”的呈现样式丰富。教材先后呈现了实物图、形象图、线段图，呈现方式逐级进阶，让学生借助“形”的变化，经历从现实逐步抽象为数学的完整过程。

该单元共编排了3个例题。例1认识倍，例2解决“求一个数是另一个数的几倍”的问题，例3解决“求一个数的几倍是多少”的问题。所用的图形素材如图1。

图1

例1用生动形象的萝卜图引入教学。通过对萝卜的分类计数、圈图比较，把抽象的新知识“倍”与学生已经掌握的“几个几”建立联系，引导学生初步建立“倍”的概念。

例2呈现的是离散型的小人图。教材用趋于线段化排列的小人及下面的一条弧线，帮助学生逐步剥离真实情境，为学生发现“求一个数是另一个数的几倍”的数量关系搭建脚手架。

例3直接采用了线段图呈现方式。这是教材中第一次出现线段图，意在借助线段图让学生直观地发现“求一个数的几倍是多少”中隐含的数量关系。

教学中，教师要引导学生借助这些看得见的图，逐步从真实情境中抽象出相关的数学元素，让学生经历从具体到抽象的进阶，培育学生的数学眼光。

（二）自主表征，分析关系

每个学生的认知水平和领悟能力不同，因此他们有着不同的知识经验基础和思考习惯。在面对同样一个问题时，不同的学生常常会有不同的表征方式。

在教学“求一个数的几倍是多少”时，可以让学生尝试用图来表达自己对题目的理解。教师通过组织学生对各种图示进行讨论、分析、比较和优化，引领学生一步一步去掉问题情境中所有的“真实”，留下有意义的数学元素，通过建立这些元素之间的联系来分析数量关系。

【教学片段1】求一个数的几倍是多少

1.教师出示教材情境图，提出问题：从图中你得到了哪些数学信息？要解决什么问题？

学生读图后获取题意：军棋的价钱是8元，象棋的价钱是军棋的4倍。象棋的价钱是多少元？

2.教师请学生用自己喜欢的方法表征题意。学生尝试表征。之后教师呈现学生作品（如图2）。

图2

3.互动交流。

（1）交流各自画的图是否正确表征了题意。

（2）比较实物图、符号图和线段图，沟通各种表征方法之间的不同点和相同点。

（3）引导学生理解数量关系：把军棋的价钱8元看作一份，象棋的价钱就是这样的4份，也就是4个8元，可以用乘法计算。

从点子图到符号图再到线段图，学生思维的数学化程度越来越高。他们在比较中逐步感受到线段图比实物图和符号图的抽象程度更高，概括度更大。如一条线段可以表示任何的实物，可以表示8元钱、8只乒乓球、8个人……一条线段也可以表示任意的数量，可以表示8元、800元、8000元……但无论用一条线段表示什么，表示多少，只要用它表示“1份”，用另一条线段表示“几份”，那么这两条线段之间的数量关系就是1和几之间的倍数关系。知道1份求几份就是求一个数的几倍是多少，也就是几个几是多少，用乘法计算。

经历多元的自主表征过程，有助于学生深入理解线段图的作用，在今后解决问题时能主动想到用线段图帮助理解题意，分析数量关系。借助“形”辅助“思”，学生的感知从模糊慢慢走向清晰，这一过程也就是培育数学眼光的过程。

（三）变式关联，建构模型

模型是一种表达形式，数学模型是对数学内容的高度抽象和概括，是对事物本质简练的表达。要建立倍的数学模型，需要学生不断地借助“形”的变式刻画数量关系，打通数学思维的通道。

【教学片段2】求一个数是另一个数的几倍

1.教师出示无数据有实物的线段图（如图3）。先引导学生独立思考后交流：“你是怎么想的？”然后结合图概括出：将“黄花”看作标准量，2朵为一份，求红花朵数是黄花的几倍，就是求“6朵里面有几个2朵”，用除法计算。

图3

2.教师呈现题目：将图3中的的红花图隐去变为数据“12朵”，问题不变（如图4）。依旧引导学生独立思考后交流：你是怎么想的？请学生概括出：将“黄花”看作标准量，2朵为1份，现在求的是“12里面有几个2”，还是用除法计算。

图4

3.教师将实物全部隐去，变为图5。引导学生体会，现在图示表示的依旧是“求一个数里面有几个几”，仍然用除法计算。

图5

4.教师引导学生思考并交流“你发现了什么”，进而得出：不管标准量和比较量怎么变，求一个数是另一个数的几倍，就是“求一个数里面有几个几”，用除法计算。

在以上教学过程中，学生通过“变式”判断标准量，加深了对倍的认识，从除法角度建构了倍的概念。在动态演示改变“标准量”或“比较量”的过程中，学生可以看到图形某些部分发生的变化，从而更好地理解“一个数是另一个数的几倍”中，这个表示“率”的“几”发生变化，“倍”也随之改变。

【教学片段3】求一个数的几倍是多少

1.教师出示图6，请学生编一个数学问题。

图6

教师追问：“你怎么知道草莓的个数是苹果的3倍？”引导学生清晰地表达：以表示苹果的这条线段为1份，这样有3段就是3份。让学生了解这是一个隐藏信息。

2.学生列式：3×8=24（个）。教师引导交流：“你是怎么想的？”让学生认识到求草莓的个数，就是求3个8是多少。

3.教师继续呈现题目：如果上面这条线段表示10个或者100个苹果，你还会求草莓的个数吗（如图7）？通过交流让学生进一步体会求一个数是另一个数的几倍，就是求几个几是多少。线段图表示的关系，符合乘法的意义。

图7

在教学“一个数的几倍是多少”时，教师通过询问“为什么求草莓的个数都是用乘法解决”，帮助学生从“形”中提取数学信息“3份”，进而明确题目表达的就是求一个数的3倍是多少。通过沟通乘法的意义，深入理解“求一个数的几倍”就是“求几个几是多少”。借助“形”的变式和题组对比练习，可以帮助学生理解数量关系，构建数学模型。

在建模的过程中，学生不断打破固有思维，发展创新思维，数学的眼光得到了培育。

二、教学感悟与剖析

“数学眼光”是一种素养，是数学教学中应追求的育人方向。

（一）借助“形”的可视性，引导学生用直观化的数学眼光感知世界

在“倍的认识”教学中，教师充分发挥了图示的作用。从实物图到形象图再到线段图，学生在图示的帮助下，经历了从形象到抽象的思维转换过程。取得了较好的教学效果。

其实，教材在正式呈现线段图前，已经呈现过丰富的线段图的“雏形”。如二年级上册“求比一个数多几的数是多少”中的长方条图，二年级下册“混合运算解决问题”中的色条图，等等。教材展示的是一个从实物到图形，逐步抽象、螺旋上升的过程，学生的思维也随之从形象到抽象不断进阶。教材在呈现线段图以后，依旧没有大量使用，而是交替使用实物图（碗图）、线段图、离散型的符号图等多种图形进行表征，给学生呈现一个抽象延时化的过程。经历这个过程，学生能更直观地感知数学问题，从而真正感悟到其中蕴含的数学知识本质。不同图示交替出现一段时间后，教材才逐步过渡到在解决问题中用线段图来分析数量关系。

这提示我们，借助“形”的可视性，能帮助学生去掉无关信息，化繁为简，用直观化的数学眼光去感知世界。但教学不能急于求成，学生的数学眼光是在一次一次经历中逐步发展的。

（二）借助“形”的简明性，启发学生用抽象化的数学眼光理解世界

在问题解决的过程中，不同思维层次学生的表征是不一样的。波利亚在“怎样解题表”中提出很多类似“画张图”“引入适当的符号”“你能不能重新叙述这个问题”“你能不能用不同的方法重新叙述它”这样的要求。将一个真实、复杂、模糊的数学问题转译成各种图形，可以帮助学生直观感知问题，透析关系实质，对比疑难问题，并在这一过程中积累一定的数学基本活动经验。

借助“形”的简明性，能帮助学生认识事物的属性及联系，探寻事物的本质及规律，学习用抽象化的数学眼光理解世界。

（三）借助“形”的结构性，培育学生用模型化的数学眼光洞察世界

线段图以其“形”的结构性辅助学生进行直观理解、直观想象、直观推理和直观分析。在建模的过程中，学生的数学思维得到了进阶式的提升与锻炼。借助“形”的结构性，可以帮助学生用“模型化”的数学眼光洞察世界。

实践表明，以形转思、以形促思，是让学生学会用数学的眼光剖析数学问题，促进其数学核心素养提升的有效手段。