抽象、建构与生长*——小学生数学眼光系统培养的实践与思考

□张红波

“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，能够体现人的数学素养水平。引导学生学会用数学看、用数学想、用数学表达是数学教育的重要目标。笔者以数学眼光为切入口，探讨在新时代背景下，学生数学能力素养的提升之法。

一、数学眼光是有价值的

（一）时代环境的使然

知识虽然会随着时代的发展而不断地更新迭代，但基于知识学习而获得的能力素养却可伴随人的一生。近几年，中国基础教育已逐步迈入“核心素养时代”。数学教学历来关注学习的实践与应用，数学日记、实践调查、项目研究等都以能力素养培养为重心。随着时代的发展，知识可以随时“查阅”“调用”，知识掌握得多少不再是影响人发展的最重要的目标。对未来公民来说，以知识为基础，以能力为依托，逐步构建起来的素养体系变得越来越重要。在数字化时代，能用数学的眼光看待世界，能从现实世界中发现数学，是时代发展的大势所趋。

（二）教育教学的确然

经过多年的课改实践，小学数学教育领域的核心目标逐步走向清晰聚焦。教师要善于引导学生用数学的眼光去观察具体情境中的现象，用数学的语言对问题进行抽象，提出问题进行表征，并逐步启发学生用数学的思维方式分析问题，用数学的方法解决问题。这正日益成为数学教学改革的关键路径。

以“应用题”教学为例，从原有的侧重于“数与代数”领域的十一类应用题专题教学，到渗透至所有领域的问题解决，“应用题”教学不再聚焦于某项单一能力的培养，而更侧重于发展学生基于现实背景和真实问题解决的综合能力，更致力于让学生经历从用数学眼光提出问题到用数学方法解决问题的全过程。

（三）学生发展的必然

培育数学眼光是提升数学思维品质的基础。数学眼光指向的是让学生获得一种本领和素养，以不变应万变，其本质是学生在现实世界中的数学实践能力。

数学眼光就是“应用已知概念或已证为真的命题解决新问题，获得新概念或者新原理，亦即揭示与建立新旧数学对象之间联系的眼光”。当下学生学习中所倡导的深度学习，就是通过学习过程中情境、问题、素材、方式、评价的革新升级，帮助他们在学习过程中学会以数学为基础进行思考。

因此，数学眼光是有价值的，教师要帮助学生学会用数学的眼光观察世界。

二、数学眼光是可以培养的

（一）借助经验的抽象，萌芽数学眼光

教师应引导学生经历从具体情境中抽象出知识本质并将其符号化的过程，学生的数学眼光会在这一过程中萌芽、生长。

【案例1】从现象到符号，逐步抽象

“比大小”是学生初次认识表示大小关系符号的教学内容，人教版教材将其安排在一年级上册第三单元“1～5的认识和加减法”中。

教材中的情境图（第17页）首先呈现散乱排布着的小猴和水果，然后呈现“猴”与“物”之间的对应关系。教学时教师一般会先让学生借助直观感知图中有什么，然后引导学生按水果种类进行分类，统计出数量，再通过一一对应的方法建立“猴”与“物”之间的关系，最后通过观察和比较发现这些数量之间的多少关系。在后续的教学中，通过数学符号“＞”“＜”“＝”的学习，学生看“符号”即知“多少”，体验到用符号表达多少关系的简洁与便利，由此提升用一般化的符号表达具体情境与问题的能力。

如上过程中，学生观察事物的眼光从随意无序到聚焦且有条理，再到能用符号表达多少关系。学生在这个过程中逐步体会如何“用数学的眼光”看问题。

其实，小学数学中的许多概念都是先从生活中、活动中发现，再通过剥离其具体背景，用符号化的形式逐步建构起来的。

比如人教版教材二年级上册“角的初步认识”的教学。教师出示教材第39页例1中的图，学生从熟悉的、简单明了的、容易突出角的本质特征的物品或图形入手，知道角是由一个顶点和两条边组成的。后续学生通过找角、折角、比角等一系列操作活动进一步认识角，深化对角概念的认识。最终学生在生活中的“角”和数学中的“∠”之间建立了关系并进行了联结。

通过这样先抽象再符号化的过程，学生就能从原生经验中萌发出审视知识本质的数学眼光。

【案例2】从变化到规律，定向抽象

“商不变性质”是小学数学中的重要概念，人教版教材将其安排在四年级上册“除数是两位数的除法”单元进行教学。这一内容也是发展学生数学眼光的极佳素材。

教材由两组算式引入（第87页）。教学时，教师一般先引导学生观察除数不变，商是如何随被除数的变化而变化的，接着观察如果被除数不变，商是如何随除数的变化而变化的，最后引导学生从上往下和从下往上观察整组算式，发现商不变的规律。

在这一学习过程中，学生首先会经历从纷乱的变化中发现影响“变”与“不变”因素的过程，其次会体验到锁定某一个不变因素，再去观察变化因素，就能很快地发现两者之间的关系，从而使得观察事物和现象的眼光更具选择性和辨析力。同样的方法在探究“小数的性质”“分数的性质”“比的性质”“等式的性质”的过程中，也有非常广泛的应用。

在数学概念和原理的教学中，引导学生经历分类、聚焦、辨析、发现等数学活动，能有效地帮助他们厘清现象与本质的联系，辨析新旧对象的关系与差异，建构起逐层递进的知识体系。在这一过程中，学生的数学眼光得以萌芽和生长，更具理性和客观性。

（二）依托知识的建构，锤炼数学眼光

苏联著名教育家斯托利亚尔在《数学教育学》中提出“数学教学应该是数学活动的教学”，可以通过经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化和数学理论的应用，在活动中发展学生的能力素养。学生在活动中所经历的从表征到结构、从过程到方法的真实体验，能有效地帮助学生基于运动、联系、变化的观点，研究现实世界中的数量关系与空间形式，锤炼与发展学生的数学眼光。

【案例3】从表征到结构，循序建构

“倍”是小学数学中一个重要的基础性概念，它表示数量之间的一种关系，涉及两个量之间的比较。倍的概念较为抽象，在学生的数学学习中起着承前启后的重要作用。学生认识“倍”，要经历两个阶段，这两个阶段都是培养学生数学眼光的契机。

第一阶段是概念建立的初始阶段。在这个阶段的教学中，教师首先要引导学生通过对实物的分类计数、圈图比较等方式，把抽象的“倍”与学生已经掌握的“几个几”进行沟通。随后安排多次两个量倍数关系的练习加以巩固，帮助学生建立倍的直观模型，让学生学会用数学的眼光看“形”识“意”。

第二阶段是后续的问题解决阶段。这时教师要引导学生借助线段图表达倍概念的本质特征，理解确定标准的“1倍量”的重要性，掌握分析1倍与多倍之间关系的方法和策略，让学生学会用数学的眼光看“结构”、悟“方法”。

数学眼光的培养强调关联，而结构化的知识模型的建构能有效帮助学生聚焦知识本质，形成对知识的深度理解。

【案例4】从表象到要素，精准建构

以“图形的旋转”的教学为例，在教学旋转三要素前，学生对于旋转虽然已经有了感性的认识，但他们的认识仅停留在“观察运动后‘形’是如何变化的”这一层面上。如何引导学生用数学的眼光去观察和发现“形变”的本质呢？可以在课堂实践中安排这样的对比。

出示线段AB分别绕点A、B顺时针旋转90°的过程（如图1）。学生很自然地按旋转角度、旋转方向描述旋转过程，但观察后会随之提出疑问，用语言描述两次旋转过程似乎是完全一样的，但两次旋转真的完全一样吗？通过对比，学生领悟到旋转中心和旋转方向、旋转角度是旋转的三要素。

图1

基于对比活动，突出旋转三要素在运动变化中对图形所产生的影响，有助于学生从核心要素的视角去观察和发现问题，辨析关系，领悟本质。

由此可见，锤炼数学眼光的过程需要关注知识结构，更需要聚焦知识的核心要素。通过从表征到结构、从表象到要素的持续跟进，学生就能更自如地在生活的现实世界与抽象的数学问题之间进行切换，借助知识与经验，完成数学抽象和直观想象，建构数学知识网络与体系，在现实问题中“看到”数学内涵，从数学内涵“想到”现实案例，为数学眼光的发展注入源源不断的知识活水。

（三）回归思想的生长，发展数学眼光

数学活动中研究的对象、需要解决的问题，往往与学生已有的数学认知结构相关。学生要建构新概念、掌握新方法，必须厘清知识之间的区别与联系，拓展知识网络体系，学会用运动、联系、发展的眼光看问题，建立数学整体观。

【案例5】从散点到系统，凸显内涵

“面积”是小学数学中的重要概念。在不同图形面积的教学中，围绕着求不同图形面积的问题，教师要教学测量、剪拼等方法，同时也要在教学中渗透转化、推理、建模等思想。

图形的面积教学在各年级教材中的安排线索如图2所示。

图2

不难发现，面积教学体系中，在知识内容、推导方法以及所渗透的数学思想等方面，不同图形之间既有不同之处，又有内在联系，需要教师统筹全局、整体把握。

具体来说，长方形、正方形面积公式的推导始于测量，重点解决图形中包含有几个面积单位的问题。平行四边形面积公式的推导，借助剪拼等方法，解决“不完整的单位面积如何通过拼组转化为完整的单位面积再进行计算”的问题，从测量到剪拼方法的运用，既是方法的一次拓展，也是提升解决问题能力的抓手。三角形和梯形面积公式的推导主要利用其与等底等高平行四边形面积之间的关系，进行推理和计算，发展学生在运动和变化中发现知识本质的能力和素养。圆面积公式的推导过程综合运用了之前学习的图形面积计算方法，进行等积转化，不仅需要观察、对比、分析，还需要想象。

由图形面积的教学可见，随着图形复杂性的不断增加，学生在图形面积的学习过程中，数学知识、数学方法和数学眼光等方面逐步提升，要求教师总体把握，有序建构。在这一过程中，学生的数学眼光得以锤炼和发展，更具发展性和系统性。

【案例6】从方法到思想，感悟精髓

“鸡兔同笼”是小学数学中的经典内容，不同的教师会有不同的教学路径和方法。解决这一问题常见的方法有假设法、列表法、图示法、面积转化法等等。虽然用于问题解决的方法形式多样，学生在运用不同方法的学习过程中，能体验到假设—调整策略的应用奥秘，能巧妙地将表格、图示、面积运用于“以形解数”的策略和技巧，但这一教学内容最核心的价值是让学生领悟到，当变量复杂无法直接解决时，如何通过控制变量寻找解决问题的路径和方法。在解决问题的过程中，有了多种方法的碰撞，多样数学思想的领悟，学生才能逐步发展系统性强、结构性强、关联性强的数学眼光，进而提升自身的数学核心素养，逐步形成适应社会发展所需要的必备品格和关键能力。