考虑竖向摩阻作用的陡坡段桥梁桩基侧向受力分析

林天爵 杨果林 柳 卓 肖洪波

(1中南大学土木工程学院, 长沙 410075)(2中南大学地球科学与信息物理学院, 长沙 410083)(3中建五局土木工程有限公司, 长沙 410000)

随着我国中西部经济建设的需要,西部山区的高速公路建设发展迅速,考虑到道路线形和生态环保的要求,诸多路段采用半路半桥形式沿陡坡行进或全高架桥形式跨越,因此部分桥梁桩基设置于陡边坡上[1].此类桩基不仅直接承受上部结构的主动荷载作用,同时还受到陡坡失稳土体侧移的推挤作用,在以上组合荷载作用下,桩基产生较大的桩身水平变形和内力.然而,目前针对陡坡段桥梁桩基的分析通常基于平地桩基的计算理论,存在较大误差.因此,陡坡段桥梁桩基内力和变形计算方法是亟待解决的问题之一.

文献[2-4]分别推导了纵横向荷载共同作用下桩基侧向响应的幂级数解、有限差分解与传递矩阵解.对于组合受荷桩基的桩身侧向变形,文献[5-8]分别给出了幂级数解、改进有限杆单元解、简化解析解和传递矩阵解.然而,上述研究均未考虑桩身竖向摩阻的影响.桩身竖向摩阻产生的抗力矩对桩身水平承载特性存在着不可忽略的影响,且随着桩径的增大或地层条件的改善而增强[9].Ashour等[10]研究了桩身竖向摩阻对水平受荷桩水平承载特性的影响;李洪江等[11]引入附加轴力,提出了考虑竖向摩阻的桩基侧向变形的计算方法;竺明星等[12]根据不同类型的桩身竖向摩阻模型,提出了桩身竖向摩阻抗力矩简化理论解,并采用传递矩阵法推导出考虑桩身竖向摩阻的桩基水平特性半解析解.但以上研究对象均为水平受荷主动桩,关于桩身竖向摩阻对组合受荷被动桩水平受力特性影响的研究则较少.

鉴于此,本文在深入分析陡坡段组合荷载作用下桥梁桩基受力特性的基础上,基于三参数地基模型,考虑桩身竖向摩阻的影响,建立了桩身侧向变形分析模型,推导出不同特征段受力变形控制方程.然后,应用Laplace变换结合矩阵传递法求得桩身侧向变形的半解析解.最后,通过现场试验和文献算例验证了本文方法的合理性,并分析了桩身被动段竖向摩阻和长度对桩身侧向变形的影响,以期为同类工程提供参考.

1 桩身响应分析

1.1 计算模型与基本假定

图1 桩基计算模型

考虑轴力对桩身侧向响应的影响,地面以上自由段桩身轴力为

Ng(zg)=N0+f0zg

地面以下被动段桩身轴力为

Np(zp)=N0+f0Lg+f1zp

主动段桩身轴力为

Na(za)=N0+f0Lg+f1(Lp+za)

式中,f0、f1分别为地面以上和以下的轴力增长系数,且f0=γsAs,f1=γsAs-τsU/2,其中,γs为桩身材料的体积质量,As为桩身横截面的面积,τs为桩侧极限竖向摩阻,U为桩身周长[14].

桩身主动侧土体离散为一系列独立弹簧.基于三参数地基模型,被动段和主动段单位桩长的土体水平抗力pp、pa与水平变形的关系式为

(1)

式中,kp(zp)、ka(za)分别为被动段和主动段的地基水平抗力系数;δp为斜坡效应导致的地基水平抗力折减系数,不同类型的地基水平抗力折减系数可通过试验得出[15-17],当缺少试验资料时,可参考文献[18]的建议取值;m为地基水平抗力比例系数;n为深度指数;z0为地面处当量深度.

为分析竖向摩阻对桩身侧向响应的影响,将桩侧土体竖向抗力和桩身抗力矩的作用离散为一系列弹簧(见图1).桩身不同特征桩段的竖向摩阻分布如图2所示.图中,τvp(zp)、τva(za)分别为被动段和主动段的竖向摩阻.假定桩身竖向摩阻为线弹性分布,对图中A-A′截面积分可得

(2)

式中

图2 桩身竖向摩阻分布示意图

式中,Mvp(zp)、Mva(za)分别为被动段和主动段的竖向摩阻抗力矩;θ为桩身截面转角;kvp(zp)、kva(za)分别为被动段和主动段的地基竖向抗力系数;Rvp(zp)、Rva(za)分别为被动段和主动段的竖向摩阻劲度;r为桩身截面半径;D为桩径.

自由段、被动段和主动段的桩身微分控制方程分别为

(3)

(4)

(5)

式中,b1为桩身计算宽度;E为桩身材料的弹性模量;I为桩身截面惯性矩;EI为桩身抗弯刚度.

对于自由段桩身受力变形式(3)可采用常规方法求解,但被动段桩身受力变形式(4)和主动段桩身受力变形式(5)则无法采用常规方法求解.为统一解答形式,通过桩身离散,采用传递矩阵法对桩身各特征桩段微分控制方程进行求解.

1.2 自由段桩身受力变形求解

如图3所示,桩身自由段离散为ng份,每段长度lg=Lg/ng.取任意第i段桩身建立独立坐标系进行分析,将每个离散桩段上下截面的轴力均值作为该段的轴力值Ngi,即

图3 自由段离散示意图

(6)

假定第i段桩身侧向分布荷载qgi为常数,即为离散桩段上下截面的桩身侧向分布荷载均值,则

(7)

令ygi、θgi、Mgi、Qgi、zgi分别为桩身自由段ng等分后第i段底部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩、剪力和深度.将式(3)转换成微分方程组为

(8)

(9)

式中

χ4,gi=b1qgizgi

则自由段第i段的传递矩阵方程为

Sgi=UgiSgi0

(10)

式中,Sgi0={ygi0,θgi0,Mgi0,Mgi0,1}T,其中ygi0、θgi0、Mgi0、Qgi0分别为自由段第i段顶部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩和剪力,同时也是自由段第i-1段底部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩和剪力.

基于各微段桩身内力和变形的连续性,由式(10)可得

Sgi=UgiSg(i-1)

(11)

则自由段桩身受力变形的传递矩阵方程为

Sgng=UgngUg(ng-1)…Ug2Ug1Sg0=UgSg0

(12)

式中,Ug为桩身自由段总传递系数矩阵;Sg0={yg0,θg0,Mg0,Qg0,1}T为桩顶处的受力变形参量;Sgng={ygng,θgng,Mgng,Qgng,1}T为桩身自由段与被动段界面处受力变形参量.

1.3 被动段桩身受力变形求解

如图4所示,被动段桩身离散为np份,每段长度hp=Lp/np.取任意第i段桩身建立独立坐标系进行分析,将每个离散微段上下截面的轴力平均值作为该段轴力值Npi,即

(13)

假定第i段桩身被动荷载qpi与竖向摩阻劲度Rvpi为常数,即为离散桩段上下截面的桩身被动荷载与竖向摩阻劲度均值,则

(14)

(15)

假定第i段地基水平抗力系数kpi为常数,由积分中值定理可得

(16)

将式(4)转换成微分方程组为

(17)

式中,ypi、θpi、Mpi、Qpi、zpi分别为桩身被动段np等分后第i段底部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩、剪力和深度.

令Tpi=Npi-2Rvpi,λpi=Tpi/(4EI),ηpi=b1kpi/(4EI),求解得被动段第i段的传递系数矩阵为

图4 被动段离散示意图

Upi=

(18)

式中

被动段第i段的传递矩阵方程为

Spi=UpiSpi0

(19)

式中,Spi0={ypi0,θpi0,Mpi0,Qpi0,1}T,其中ypi0、θpi0、Mpi0、Qpi0不仅为被动段第i段顶部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩和剪力,也是其第i-1段底部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩和剪力.

由式(18)可得

Spi=UpiSp(i-1)

(20)

则被动段桩身受力变形的传递矩阵方程为

Spnp=UpnpUp(np-1)…Up2Up1Sp0=UpSp0

(21)

式中,Up为桩身被动段总传递系数矩阵;Sp0={ygng,θgng,Mgng,Qgng,1}T为桩身自由段与被动段交界面处的受力变形参量;Spnp={ypnp,θpnp,Mpnp,Qpnp,1}T为桩身被动段与主动段界面处的桩身受力变形参量.

1.4 主动段桩身受力变形求解

如图5所示,主动段桩身分为na份,每小段的长度ha=La/na.取任意第i段桩身建立独立坐标系进行分析,则主动段第i段的轴力为

图5 主动段离散示意图

(22)

同理,主动段第i段的竖向摩阻劲度为

(23)

主动段第i段的地基水平抗力系数为

(24)

将式(5)转换成微分方程组为

(25)

式中,yai、θai、Mai、Qai、zai分别为桩身主动段na等分后第i段底部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩、剪力和深度.

则主动段第i段的传递矩阵系数矩阵为

Uai=

(26)

式中

Tai=Nai-Rvai,λai=Tai/(4EI),ηai=b1kai/(4EI)

则主动段第i段的传递矩阵方程为

Sai=UaiSai0

(27)

式中,Sai0={yai0,θai0,Mai0,Qai0,1}T,其中yai0、θai0、Mai0、Qai0分别为主动段第i段顶部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩和剪力,同时也是第i-1段底部的桩身水平变形、桩身截面转角、弯矩和剪力.

由式(26)可得

Sai=UaiSa(i-1)

(28)

则主动段桩身受力变形的传递矩阵方程为

Sana=UanaUa(na-1)…Ua2Ua1Sa0=UaSa0

(29)

式中,Ua为桩身主动段总传递系数矩阵;Sa0={ypnp,θpnp,Mpnp,Qpnp,1}T为桩身被动段与主动段交界面处的受力变形参量;Sana={yana,θana,Mana,Qana,1}T为桩底处受力变形参量.

1.5 连续性与求解方法

由于主动段和被动段、被动段和自由段的桩身内力和变形在交界面处相等,即

(30)

联立式(12)、(21)、(29)和(30),可得整个桩身传递矩阵方程为

Sana=UaUpUgSg0=USg0

(31)

式中,U为整桩的总传递系数矩阵.

根据不同的桩顶和桩底边界条件,桩顶自由时,有Mg0=M0,Qg0=Q0;桩顶固定时,有yg0=0,φg0=0;桩底自由时,有Mana=0,Qana=0;桩底固定时,有yana=0,φana=0.

据此,可按照以下步骤求解桩身受力变形：

① 根据工程实际情况,将桩顶和桩底边界条件代入式(31),可得关于4个未知量的4个方程所组成的方程组,通过求解方程组即可得出未知的桩顶和桩底受力变形参量.

② 根据桩顶受力变形参量yg0、θg0、Mg0、Qg0,由式(12)、(21)和(29)可分别求得桩身自由段、被动段和主动段第i段的受力变形为

Sgi=UgiUg(i-1)…Ug2Ug1Sg0

(32)

Spi=UpiUp(i-1)…Up2Up1UgSg0

(33)

Sai=UaiUa(i-1)…Ua2Ua1UpUgSg0

(34)

由式(32)～(34)即可得到桩身任意深度位置的内力与变形.

2 算例验证

2.1 现场试验

为验证本文方法的合理性,以文献[19]中某高速公路陡坡段桥梁桩基为例进行验算.相关计算参数为：桩径D=2.0 m,桩长L=25 m,弹性模量E=29.6 GPa.作用于桩顶的轴力N0=7 312 kN,弯矩M0=520 kN·m,水平力Q0=50 kN.试桩处坡度约40°,桩长范围内从上至下分别为厚度1.8 m的种植土、厚度9.7 m的含砾粉质黏土、厚度6.1 m的强风化白云质灰岩、厚度7.4 m的中风化白云质灰岩.根据钻孔试验结合规范[18],取土层地基水平抗力比例系数m1=1.5 MN/m4和m2=4 MN/m4,岩层地基水平抗力系数C3=80 MN/m3和C4=420 MN/m3.土层范围为桩身被动段,地基水平抗力折减系数δp=0.8[18],岩层范围为桩身主动段.现场实测土压力为抛物线分布,参考文献[20],桩身被动段种植土和含砾粉质黏土的地基竖向抗力系数均取值为40 MN/m3.采用本文方法得到的弯矩计算值与现场实测值对比见图6.由图可知,弯矩计算值与实测值沿深度方向的分布规律一致,且弯矩计算值的最大值与现场实测最大值接近,从而证明了本文方法的合理性.

图6 弯矩计算值与实测值的对比

2.2 算例

文献[21]以某陡坡段桥梁桩基工程为例,采用幂级数法对桩身侧向响应进行分析.桥桩修建于岩坡上,桩长L=30 m,桩径D=2 m,桩身混凝土体积质量γs=2 500 kg/m3,弹性模量E=18 GPa.滑动面以上桩侧强风化岩厚度为10 m,其下微风化岩厚度为20 m,强风化岩层和微风化岩层的地基水平抗力比例系数分别为mp=5 MN/m4和ma=50 MN/m4.作用于桩顶的轴力N0=9.1 MN,水平力Q0=170 kN,弯矩M0=1 MN·m,桩侧土压力假定为矩形分布,合力为500 kN,被动段地基竖向抗力系数取kvp=0.计算值与文献[21]中的幂级数解对比见图7.由图可知,采用本文方法得到的桩身水平变形和弯矩计算值与文献[21]变化规律一致,从而证明了本文方法的合理性.

(a) 桩身水平变形

(b) 桩身弯矩

为分析被动段竖向摩阻对桩身侧向响应的影响,取kvp=300 MN/m3,结果见图7.由图可知,被动段竖向摩阻对桩身侧向响应折减效应明显,考虑竖向摩阻的桩身最大水平变形和弯矩较不考虑时分别减小约25.36%和19.40%.

3 影响因素分析

为进一步分析桩身被动段的竖向摩阻和长度对桩身侧向响应的影响,以某废弃矿坑两型化利用工程为例,对陡坡段桥梁桩基的桩身侧向响应的影响参数展开分析.桥梁位于废弃矿坑的坑壁之上(见图8).混凝土弹性模量为18 GPa,体积质量γs=2 500 kg/m3,桩径D=2 m,自由段桩身长度Lg=5 m,坡面以下桩长为30 m.桩侧岩土体由10 m厚的强风化石灰岩和20 m厚的中风化石灰岩组成.为简化分析,取强风化石灰岩深度范围为桩身被动段,桩身长度Lp=10 m;中风化石灰岩深度范围为桩身主动段,桩身长度La=20 m.被动段和主动段的地基竖向抗力系数分别为kvp=10 MN/m3和kva=100 MN/m3,地基水平抗力比例系数分别为mp=7.5 MN/m4和ma=60 MN/m4.设计荷载为竖向力N0=6 MN、弯矩M0=400 kN·m和水平力Q0=400 kN,桩身被动荷载合力为600 kN,简化为矩形分布.坡面以下Lp深度内的地基水平抗力折减系数δp=0.8,桩顶和桩底的边界条件按桩顶自由,桩底固定考虑.

图8 桩基计算图

3.1 桩身被动段竖向摩阻的影响

如图9所示,假定其他计算参数不变,分析桩身被动段地基竖向抗力系数变化对桩身侧向响应的影响.由图可知,随着地基竖向抗力系数的增加,桩身最大水平变形和弯矩均呈减小趋势.当地基竖向抗力系数由0分别增大至10、20、40、80 MN/m3时,桩身最大水平变形分别降低约14.29%、24.14%、36.88%、50.42%,桩身最大弯矩分别降低约9.42%、14.47%、19.27%、22.77%.桩身弯矩沿桩长的分布模式由单峰向双峰转变,荷载逐渐向桩身被动段集中.最大弯矩位置向地表方向移动,荷载向深层地基的传递效应减弱.

(a) 桩身水平变形

(b) 桩身弯矩

图10 ηymax、ηMmax随kvp的变化曲线

3.2 桩身被动段长度的影响

(a) 桩身最大水平变形

(b) 桩身最大弯矩

由此可知,当αm≠1,即桩身存在不同特征段时,不同被动段土体刚度条件下,被动段长度Lp的变化对桩身侧向响应的影响存在敏感区间,该区间上限值即为被动段临界长度Lpcr;且当αm由0.125增大至0.500时,Lpcr由5D减小至3D.当Lp≤Lpcr时,随着被动段长度的增加,桩身侧向响应增大效应显著;当Lp>Lpcr时,被动段长度的增加对桩身侧向响应的影响可以忽略.

4 结论

1) 针对陡坡段桥梁桩基的受力特点,考虑竖向摩阻的影响,基于三参数地基模型,建立了陡坡段桥梁桩基的桩身受力变形微分控制方程,采用Laplace变换结合矩阵传递法给出相应的半解析解.

2) 通过现场试验和文献算例验证了本文方法的合理性.

3) 分析了桩身被动段竖向摩阻和长度对桩身侧向响应的影响.结果表明,桩身被动段竖向摩阻对桩身侧向响应存在明显的折减效应,但该折减效应随着被动段地基竖向抗力系数的增大而逐渐减小.当桩身被动段长度小于临界长度时,桩身侧向响应随着桩身被动段长度的增加而显著增大,且桩身被动段临界长度随着被动段土体刚度的增大而减小.由此可知,增强桩身被动段3～5倍桩径深度范围内的土体刚度对减小桩身侧向响应有较为明显的效果.