基于滑模观测信息的电动舵机自适应终端滑模控制

李 浩，梁 婕，王 尚，梁海波，王 瑞

（北京航天自动控制研究所，北京，100854）

0 引 言

舵机是飞行器控制系统中的关键部件，其性能的优劣决定了飞行控制效果的好坏。根据动力源的不同，飞行控制系统可以采用液压舵机、气动舵机和电动舵机。电动舵机体积小、质量轻，结构简单，维护方便，在飞行控制系统中得到广泛应用[1]。由于飞行过程中飞行器参数会发生变化，电动舵机的负载会随飞行条件的变化而改变，因此其控制器必需能够适应参数变化和负载扰动的影响，才能取得良好的动、静态性能。

滑模控制对不确定参数、扰动具有很强的鲁棒性，是控制不确定系统的一种有效方法[2]。终端滑模控制通过引入终端吸引子来改变系统的收敛特性，可以实现状态的有限时间收敛[3,4]。文献[5]提出一种非奇异快速终端滑模面，解决了奇异性问题，但对具体应用对象其控制律不易实现。文献[6]提出一种不确定二阶系统的快速终端滑模控制方法，可实现系统状态的有限时间收敛。上述控制方法中采用高增益来抑制系统不确定性的影响，保守性较强。文献[7]将自适应控制与鲁棒控制相结合，对参数进行在线估计，降低了控制保守性，但只能保证误差渐近收敛。文献[8]采用复合自适应律进行参数估计，按照估计值设计复合自适应非奇异终端滑模控制（Adaptive Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Control，ANFTSMC），可实现输出误差有限时间收敛，但在构造自适应律时需要使用系统状态的导数信息。

本文在舵机控制中设计自适应终端滑模控制器，利用滑模观测信息来构造自适应律，具有与一般复合自适应律相似的参数估计特性，但在设计自适应律时不需要系统状态的导数，可实现系统稳定控制与误差有限时间收敛。

1 问题描述

电动舵机作为一种位置伺服机构，主要由控制器、直流电机、减速器和位置传感器构成。一般直流电机电感较小，可忽略电感对系统动态特性的影响，舵机的数学模型为[1]

式中δ为舵偏角；u为电机电枢电压；J为转动惯量；KM为电压-力矩转换系数；B为阻尼系数；Af为摩擦力矩；hf为可选参数，一般hf选为较大的正数；ML为负载力矩；Δ为系统未建模动态。

令x=[x1,x2]T=[δ,δ˙]T，则可得系统状态表达式为

式中x=[x1,x2]T为系统状态向量；y为系统输出；b为控制增益，；a=[B/J,Af/J,ML/J]T；φ(x)=[-x2,-tanh(hfx2),-1]T。

a和b不确定，但满足以下假设：

假设1：系统参数和干扰有界，即：

式中ai,min，ai,max，bmin，bmax和ςd已知。

假设2：系统参考轨迹xd连续，且其一阶导数和二阶导数有界并可得。

控制的目标是式（2），在满足假设1和假设2时，设计控制器，使系统输出误差e1=y-xd收敛为0，并且保证系统中所有信号有界。

2 控制器设计

对于式（2），设计如下非奇异快速终端滑模面[5]：

对σ2求导，可得[5]：

设计如下控制律：

式中ua为自适应项；us为鲁棒项；k1>0；k2>0；，0

将式（6）代入式（5），可得：

对式（2），定义回归表达式如下：

由式（5）、式（8）可得：

设计自适应律为

若忽略Δ，则有：

因此，式（10）的自适应律中包含参数估计误差信息，与一般复合自适应律类似，但未使用系统状态的导数。式（10）中若不使用veq，而使用文献[8]中定义的预测误差ef，则可获得一般复合自适应律。

3 稳定性分析

定理1：对于对象（2），采用式（6）和式（10）组成的控制器时，有：

a）闭环系统稳定；

b）若满足持续激励条件：式中α>0，I为m×m的单位矩阵，则系统状态有限时间收敛。

证明之前，先给出如下引理：

引理1[11]：，Γ为正定对角阵，有：

引理2[12,13]：假设m1>0，m2>0，0

引理3[12]：若连续正函数V(t)在时，≥0，其中α1>0，α2>0，0<μ<1，则，∀t≥t1，有V(t)=0。

证明：

a）选取系统Lyapnov函数为V=V1+V2，V1=，，则，

根据引理1可知：

则：

则，

定义vd为

则vd≥0，并且有，由式（14）可知：

由式（20）和式（22）可知，当σ2≠0时，，满足Lyapnov稳定性条件。

b）当Ψ(x,u)满足式（15）的持续激励条件时，有：

其中，

下面分3种情况证明。

1）σ2≠0且。

当σ2≠0且时，由式（18）、式（19）知：

式（25）中，有：

以及：

由于0

由式（26）、式（27）可得：

根据定理3可知，V有限时间收敛，即，当t≥t1时，V(t)=0。而当V=0时，V1=0，则σ2=0。因此，当σ2≠0且+cσ1≠0时系统状态在有限时间内到达滑模面。

2）σ2≠0且+cσ1=0。

当σ2≠0且σ˙1+cσ1=0时，由式（4）知σ2=σ1，。令，将式（6）代入式（8），有：

当σ2>0时，由于，因此有-k3′sign(σ2)+Δ=-k3′+Δ<0，则，

由于0 0，可知。若σ2<0，经类似过程可推出>0。因此，系统状态不可能一直保持在σ2≠0且+cσ1=0，由文献0知，σ2≠0且+cσ1=0不是系统的吸引子，系统状态将在有限时间内到达滑模面σ2。

3）σ2=0。

当σ2=0时，系统状态在滑模面上。再由定理2知，当系统状态到达滑模面之后，系统状态有限时间收敛至平衡点。

从上述3种情况的分析可知，系统状态在有限时间内到达滑模面，而系统状态到达滑模面之后，系统状态在有限时间内收敛到平衡点。

4 仿真与分析

按照第2节中的步骤设计基于滑模观测信息的ANFTSMC。作为比较，还设计了一般复合自适应律的ANFTSMC[8]和一般自适应律的ANFTSMC。各控制器参数如下：

a）方案1：采用滑模观测信息的ANFTSMC。

控制律中：β=0.1，c=10，γ=r=13/15，k1=100，k2=100，k3=4，kv=20；自适应律中：Γ1=[1,1.5,1,1.5]T，Γ2=Γ3=[1,2.5,2,2]T。为了降低抖振，采用tanh(h·)代替sign(·)，h在控制器中为900，而在观测器中为50。

b）方案2：采用一般复合自适应律的ANFTSMC。

控制律中参数与方案1一致，自适应律中：Γ1=[2,1,2.5,1]T，Γ2=Γ3=[1,1,1.5,1]T，τ1=0.01。

c）方案3：采用一般自适应律的ANFTSMC。

在方案2中，令Γ2=Γ3=[0,0,0,0]T则可得采用一般自适应律的ANFTSMC，但需从新选择Γ1，这里Γ1=[50,600,750,2800]T。除Γ1、Γ2和Γ3，其余参数与方案2中相同。

图1至图4为系统参数的估计值，采用常规自适应律的ANFTSMC，虽然能够保证参数估计值保持在已知范围内，但很难逼近真值，而采用滑模观测信息的ANFTSMC和采用复合自适应律的ANFTSMC，参数估计值则能较快地收敛到真值。从图中可以看出，方案1和方案2在参数估计方面具有相似的性能。

图1 参数θ1的估计值Fig.1 Estimation ofθ1

图2 参数θ2的估计值Fig.2 Estimation ofθ2

图3 参数θ3的估计值Fig.3 Estimation ofθ3

图4 参数θ4的估计值Fig.4 Estimation ofθ4

图5为系统跟踪误差，方案1和方案2中参数能够较快地收敛到真值，系统误差收敛速度加快，系统稳态误差也大大减小，既可以提高参数估计的精度，又可以加快系统的响应速度。

图5 系统跟踪误差Fig.5 System Tracking Error

5 结束语

本文通过构造滑模观测器，使观测状态到达观测器的滑模面，通过低通滤波器提取出观测器的等效输入信号，该等效信号包含系统参数估计的误差信息，然后将该等效信号应用于自适应律中，该自适应律具有与一般复合自适应律相似的参数估计特性，但不需要系统状态的导数。采用该自适应律，设计了电动舵机的自适应终端滑模控制器，实现了系统稳定控制与误差有限时间收敛。