遥测振动信号单通道盲源分离自适应滤波幅度校正方法

肖 瑛，马艺伟，刘 学

(1.大连民族大学 信息与通信工程学院，辽宁 大连 116600；2.中国人民解放军91550部队94分队，辽宁 大连 116023)

随着盲源分离理论和算法的发展，盲分离技术在语音信号处理、医学信号处理、机械故障检测等领域得到了广泛应用[1]。单通道盲源分离作为欠定盲源分离的一个特例，除利用信号的稀疏特性或将信号通过一定变换转化为具有稀疏特性的稀疏化盲源分离方法[2]，利用信号分解扩维将单通道盲源分离转化为正定分离问题的方法也得到了较好的效果，典型的如结合经验模态分解的单通道盲源分离(empirical mode decomposition and independent component analysis，EMD-ICA)[3]、结合变分模态分解的单通道盲源分离[4]和结合小波变换的单通道盲源分离[5]。在盲源分离算法的研究过程中，幅度不确定性和顺序不确定性目前仍然是难以解决的技术瓶颈问题[6]。尽管在很多工程上，幅度不确定性并不影响盲源分离技术的应用，但是，在故障检测中，信号的幅度有时是不可忽略的一个重要因素。如在飞行器试验遥测振动信号处理中，在准确获得信号所包含分量的时间频率信息之外，各分量的能量也是检测和诊断时的一个重要依据。此时，利用盲源分离技术来处理遥测振动信号，对各分离分量信号进行幅度校正就成为一个关键问题。

盲源分离幅度不确定性的校正目前主要有两种方法，最小失真法和分离矩阵归一化方法[7]。最小失真法是以分离信号与观测信号的能量方差最小为准则，隐含的约束条件是混合矩阵具有单位方差，即在混合过程中不改变源信号的能量。分离矩阵归一化方法以每个频率段能量为依据，强制每个频率段上的分离信号以单位阵为标准进行伸缩，完成幅度校正，但是对于非平稳信号，以傅里叶变换为基础的频率能量估计是不准确的，这一方法的适用范围受限。文中基于EMD-ICA的单通道盲源分离过程，在最小失真准则基础上提出了一种基于自适应滤波的单通道盲源分离幅度不确定性校正方法。利用经验模态分解(empirical mode decomposition,EMD)得到一系列本征模态函数(intrinsic mode function,IMF)分量，在对数坐标下依据边际谱分布确定单通道信号所包含的独立分量数目，并以对应的IMF组合作为独立分量分析(independent component analysis,ICA)的观测信号分量实现盲源分离。根据分离信号数目确定横向滤波器阶数，并将分离信号作为滤波器的输入信号分量，以滤波器输出和原始单通道信号设计自适应滤波算法的目标函数，通过自适应训练使算法达到收敛，并将算法收敛后的滤波器权系数作为对应分离信号分量的幅度校正系数。仿真信号和某次飞行器试验中某传感器采集得到的遥测振动信号处理结果证明了文中提出方法的有效性。

1 EMD-ICA单通道盲源分离

1.1 EMD基本原理

希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang transform,HHT)是非平稳信号的一种有效处理方法，EMD是HHT的核心内容[8]，利用EMD可以将多分量非平稳信号分解为具有内蕴物理意义的一系列IMF。与小波变换相比，EMD不需要基函数，分解过程具有自适应性，并且已证明，EMD分解满足局部正交性。EMD分解过程是首先找到待分解信号的所有极值点，利用插值方法拟合最大极值点和最小极值点的包络线，计算得到上下包络线的均值m(t)，从原始信号x(t)中减去m(t)，得到h1(t)[9]。

h1(t)=x(t)-m(t)

(1)

对h1(t)重复上述过程，直到h1(t)满足IMF的条件，即极值点的个数和过零点数目相同或最多相差一个，且上下包络线关于时间轴局部对称。这样，得到信号x(t)的第一个IMF分量h1(t)，记作c1(t)。在原信号中减去c1(t)得到一个新的信号x1(t)。

x1(t)=x(t)-c1(t)

(2)

将x1(t)作为新的待分解信号重复上述过程继续得到第二个IMF分量c2(t)，直到x(t)中所有的满足IMF条件分量被分解出来达到分解结束条件时，原始信号x(t)可以表示为

(3)

式中:m为分解得到的IMF的个数;r(t)为分解残余分量，通常r(t)为信号中的长周期趋势成分，不具有实际的物理意义。

由于EMD结果仅满足局部正交性，因此分解得到的IMF由于能量泄露、模态混叠、端点效应等因素，会产生个别虚假分量，虚假分量也可以看作是数学计算插值过程中的产物。在实际进行信号处理和分析中，对虚假分量需要进行识别并剔除，常用的虚假分量识别方法为相关法[10]，即设定一个较小阈值，当某一IMF分量与原信号相关系数小于该阈值时，认为该IMF分量为虚假分量。

1.2 EMD-ICA实现流程

EMD-ICA单通道盲源分离的实现过程，如图1所示。其中x(t)作为待分解的单通道多分量非平稳信号，经EMD后得到一系列IMF分量，采用适当的方法进行虚假分量剔除得到剔除虚假分量后的IMF组合，文中利用相关法进行IMF虚假分量的检测和剔除。IMF分量组合作为ICA的观测信号进行盲源分离，从而得到分离信号sj(t),j=1,2,…,n，实现单通道盲分离。

图1 EMD-ICA实现流程Fig.1 EMD-ICA implementation flow

ICA的目的是在源信号和混合矩阵未知的条件下，仅仅依靠观测信号实现对源信号的估计。设源信号为S(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T，混合矩阵为Am×n，观测信号为X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T，那么混合模型[11]可以表示为

X(t)=AS(t)

(4)

如果混合矩阵的维数满足m=n，由式(4)给出的盲源分离模型称为正定分离问题。此时约束混合矩阵A满足非奇异且时不变，即混合矩阵A满秩可逆，那么必然存在一个可逆矩阵W使式(5)成立。

(5)

在采用EMD-ICA进行单通道遥测振动信号处理中，首先要确定信号中所包含独立分量的数目。由于遥测振动信号具有非平稳特征，因此根据频谱峰值判别的方法不严谨。相对于频谱，边际谱能反映信号某一频率成分在信号周期中是否出现，因此边际谱更适用于非平稳信号的分析[13]。由于EMD分解在对数频率坐标下具有带通特性，因此可以在对数频率坐标下依据边际谱峰值来确定构成原信号的独立分量数目，并基于独立分量数目检测结果来组合IMF构成ICA的观测信号分量。

对EMD分解得到IMF分量作希尔伯特变换可以得到

(6)

从而得到对应的解析信号

(7)

其中幅值函数为

(8)

相位函数为

(9)

对相位函数求导可以得到瞬时频率为

(10)

这样原信号就可以表示成为时间t和瞬时频率ωi(t)的函数，称为Hilbert谱

(11)

如果将Hilbert谱沿时间t进行积分，就得到了边际谱

(12)

因此可知，边际谱表示的是每个频率成分在全局上的幅度贡献，代表了在统计意义上的全部幅度数据的累加，或者说边际谱表示的是某一频率成分在信号的整个时间历程中出现过。Wu等[14]利用高斯白噪声的EMD分解证明了EMD在对数频率上具有带通特性，因此，可以根据对数频率坐标下边际谱的分布来确定单通道信号中所包含的独立分量数目。

2 自适应滤波幅度不确定性校正

根据信号的混合过程式(4)可知，由于源信号和混合矩阵均是未知的，如果对源信号乘以任意一个不为0的标量ai，同时在混合矩阵对应的列上乘以1/ai，那么观测信号X(t)的幅值不会发生变化，即无法确定源信号为si(t)还是aisi(t)，从而导致盲源分离幅度不确定性问题的产生。目前，最小失真法和分离矩阵归一化方法是解决盲源分离幅度不确定性问题的两种有效方法，最小失真法以分离后信号与观测信号方差最小为依据，通过矩阵变换来确定最优分离矩阵，隐含的约束条件是混合矩阵具有单位方差，即混合矩阵不改变源信号的幅度，但是这一约束条件具有很大的局限性。分离矩阵归一化方法以分离信号和观测信号在不同频率段上的能量为依据，强制每个频率段上的分离信号以单位阵为标准进行伸缩，完成幅度校正。设某一频段上分离矩阵为W(f)，则最优分离矩阵为

(13)

对于非平稳信号而言，以傅里叶变换为基础的频谱分析本身就是不完善的，典型的是如果某一频率成分间歇性出现在信号的时间历程中，如果该频率成分持续时间很短，则该频率成分在频谱中体现的能量与信号本身实际的能量相比将被衰减，极端条件下会出现检测失效的情况。因此在对非平稳信号处理中，分离矩阵归一化方法并不可靠。

根据单通道EMD-ICA的过程可知，观测信号由EMD产生的IMF组合构成，而EMD过程中的能量泄露有限，即EMD不会对单通道信号中的各独立分量幅度产生影响。那么为了消除盲源分离过程中的幅度不确定性，使分离信号的和逼近原单通道信号即可。这里给出一种自适应滤波幅度不确定性校正方法，如图2所示。

图2 自适应滤波幅度校正原理框图Fig.2 Block diagram of adaptive filter amplitude correction

(14)

根据最小失真准则，利用滤波器输出与单通道信号x(i)设计目标函数为

J(i)=[y(i)-x(i)]2

(15)

利用随机梯度下降算法对滤波器系数进行更新[15]。

(16)

式中,μ为学习步长，控制算法的收敛速度和精度。

(17)

e(i)=2[y(i)-x(i)]

(18)

则滤波器的更新公式可以写为

(19)

当算法收敛后，可以得到最优的滤波器系数fopt，利用fopt对分离信号进行幅度校正可以消除盲源分离的幅度不确定性问题。

(20)

算法流程可归纳如表1所示。

表1 自适应滤波幅度校正算法流程Tab.1 Algorithm flow of adaptive filter amplitude correction

3 仿真分析与试验数据处理

3.1 仿真分析

仿真中利用3个中心频率不同的正弦信号叠加构成单通道信号，采样频率fs=2 048 Hz，3个正弦信号的中心频率分别为f1=5 Hz、f2=20 Hz、f3=100 Hz。

(21)

式中,幅值幅度系数bi分别设置为b1=1、b2=2、b3=4。仿真信号的时域波形及其EMD分解结果，如图3所示，其中图3(a)为仿真信号的时域波形，图3(b)～图3(g)依次为EMD分解得到的从高到低各阶次的IMF分量。

(a)

(a)

(a)

(a)

(a)

(a)

仿真信号对应的边际谱,如图4所示。在对数频率坐标下可以清晰的分辨出信号x(t)包含3个独立分量。对x(t)分解所得到的IMF利用相关法进行虚假分量判别和剔除，在相关法虚假分量判别中设置相关系数阈值为0.01，检测结果显示第5阶和第6阶IMF与原信号的相关系数分别为0.008 2，0.003 4，因此将第5阶和第6阶IMF进行剔除。

图4 仿真信号的边际谱Fig.4 The marginal spectrum of simulation signal

根据边际谱检测结果，将第3阶和第4阶IMF组合构成一路观测信号，并与第1阶和第2阶IMF共同构成ICA的三路观测信号，采用FastICA算法进行盲源分离，分离结果，如图5所示，从图5可以看出，得到的分离信号与源信号在幅度上具有较大差异。如果不对幅度进行校正，则会对时域中统计参数的求取和时频分析中能量的分析产生严重影响。

采用文中提出的自适应滤波算法对分离信号进行幅度校正，滤波器阶数为3，学习步长μ=0.001。幅度校正后的分离信号，如图6所示。自适应滤波均方误差收敛曲线，如图7所示。从图6中可以看出，经过自适应滤波幅度校正，各分离信号的幅度基本与仿真信号的幅度一致。

图7 自适应滤波均方误差收敛曲线Fig.7 MSE convergence curve of adaptive filtering

为量化说明自适应滤波幅度校正有效性，利用幅度校正后的分离信号与仿真信号的方差残差来评价幅度校正精度。

(22)

(23)

从图8可以看出:在信噪比较低的条件下(SNR<20 dB)，分离矩阵归一化方法幅度校正精度很差;当信噪比较高时(SNR>20 dB)，分离矩阵归一化方法幅度校正精度要优于最小失真法。而在不同信噪比条件下，本文提出的自适应滤波幅度校正方法精度均优于分离矩阵归一化法和最小失真法。

图8 不同信噪比(SNR)条件下的幅度校正结果Fig.8 Amplitude correction results under different signal-noise ratio(SNR)conditions

3.2 试验数据处理

利用某次飞行器试验中某一传感器采集的高频振动信号处理为例来说明文中算法的有效性，采样频率fs=5 kHz，经过降噪和趋势项剔除的信号时域波形，如图9所示。信号的边际谱，如图10所示，从图10中可以看出，该信号包含3个独立分量成分。对信号进行EMD分解并利用相关法(相关系数阈值设置为0.05)剔除虚假分量，得到的IMF结果，如图11所示。对IMF分别根据各自边际谱与原信号边际谱的临近关系进行组合，获得三路观测信号，利用FastICA进行盲分离，得到的结果，如图12所示。从图12可以看出，由于盲源分离的幅度不确定性，分离后信号的幅值与原信号差距很大。

图9 某次试验某传感器采集的高频振动信号Fig.9 High-frequency vibration signal collected by a sensor in a test

图10 实测高频振动信号的边际谱Fig.10 The marginal spectrum of measured high frequency vibration signal

在自适应滤波算法中，滤波器阶数为3，设置学习步长μ=0.001，经过幅度校正后的分离信号，如图13所示。幅度校正后分离信号与源信号方差的残差平均值为0.26，证明了自适应滤波幅度校正方法具有较高精度。

在对试验数据处理结果中可知，利用对数频率坐标下的边际谱能够更加清晰的分辨出信号中包含的独立分量数目，自适应滤波幅度校正方法能够有效消除盲源分离的幅度不确定性。虽然在大多数据处理分析中，更为关心的是信号的时间频率关系，但是信号能量也是数据分析中不可忽略的一个重要因素，图9给出的高频振动信号中，包含低频弱冲击成分，低频弱冲击成分常是结构损失触发的原因，是飞行器试验中振动信号处理必须给予高度重视的分析检测内容之一，而准确获取该成分的能量量级具有实际意义。

4 结 论

单通道盲源分离在非平稳信号处理和分析中具有广泛应用前景，消除盲源分离幅度不确定性在很多工程应用上具有实际意义。文中在EMD-ICA的基础上，提出了利用对数频率坐标下边际谱来确定单通道信号包含独立分量数目的方法，进一步提高了独立分量数目判别的准确性。依据最小失真准则提出了一种自适应滤波幅度校正方法，该方法在单通道盲源分离中不需约束条件，仿真结果证明与最小失真法和分离矩阵归一化方法相比，自适应滤波幅度校正方法具有更高精度，实测振动信号处理结果进一步证明了方法的有效性。