面向轨道炮热管理设计的轨道温度场分布特性分析

张洪海，张涛，范薇，刘勇

(西北机电工程研究所，陕西 咸阳 712099)

轨道炮发射过程中，会在轨道上积累相当的热量，这些热量对轨道炮身管寿命、炮口初速、身管动力学响应具有重要的影响。为避免持续的热量累积加剧对身管的不利影响，通常需要配备相应的热管理系统，较早期的工作参见文献[1-2]。时至今日，基于有限元方法的轨道炮身管热分析问题仍然没有得到完美的解决。主要原因在于当前缺乏可直接用于轨道炮多场耦合分析的商业软件，并且自研相关有限元(功能与EMAP3D[3-4]类似)仿真代码的开发工作存在相当的技术难度。EMAP3D本身可用于电磁-结构-热耦合分析，其流固耦合分析功能及基于EMAP3D的热管理系统设计未见报道。

由于缺乏可以直接分析身管传热问题的有限元工具，导致当前轨道炮轨道瞬态温升及求解问题被分为两个步骤：首先对轨道进行分段，在每段的截面上应用解析法或有限元工具求解毫秒级发射过程为轨道带来的温升，从而避免滑动电接触和枢轨接触状态的有限元建模问题[5-8]；以上一步获得的结果作为初始值，将每段的结果分别(或经过数值拟合)导入到传热分析软件，用有限元法解热扩散问题。通过应用上述求解步骤，研究人员已经取得了一系列的研究成果，并且可以将分析结果用于轨道炮身管热管理系统的论证与设计工作，其主要缺点是分段仿真和温度载荷加载需要大量的软件操作,这也是在全身管长度上轨道热分析工作报道较少的原因之一。

为简化热管理系统作用下轨道的热分析过程，笔者分析了轨道上的热量分布及特点，通过分析铜轨道在身管径向和轴向上的热扩散规律，提出了几个可以简化轨道热分析过程的物理假设并进行了讨论。

1 轨道上的热量组成

采用轨道分段的思路计算轨道炮内弹道过程中轨道上的热量，方法如下：

1)给定电枢位移、运动曲线x(t)、v(t)及轨道电流曲线i(t)；

2)将轨道沿轴向分为n段，记为{Xj|0

3)在考虑轨道体焦耳热、接触界面摩擦热和接触电阻焦耳热的情况下，计算每段的温升。

(1)

Xj段内的温升为

(2)

式中：mj为轨道段质量；γ为材料比热容。

1.1 轨道体焦耳热模型

由于轨道炮的发射过程是一个毫秒级的快速过程，所以在Xj段的截面上，电流密度的分布是不均匀的，靠近轨道表面的位置上电流密度较高，接近轨道中心的位置电流密度相对较低，这种电流密度的不均匀分布可以用趋肤深度δ表示：

(3)

式中：ρ为轨道电阻率；μ0为真空磁导率。

(4)

式中：lj为Xj段的长度；sj为t时刻轨道的有效载流面积，如图1所示。

轨道电流密度在轨道表面的不同位置上也是不同的，所以图1所示的有效载流面积计算方法还可进一步改进。

1.2 摩擦热模型

发射过程中电磁推力为

(5)

式中：L′为发射装置电感梯度；f为电磁推力，与枢轨接触压力N存在以下关系：

N=αf+Nm，

(6)

式中：α为与电枢结构有关的比例系数；Nm为初始机械接触压力。

枢轨间的摩擦力fr：

fr=βN，

(7)

式中,β为摩擦系数。

(8)

1.3 接触电阻热传导模型

通过接触面的热通量Fc可表达为[9-10]

(9)

式中：ρa为接触对平均电阻率；P为接触压强；sc为接触面积；Hsoft为接触对中较软材料的硬度;c,m为经验系数，对于铜铝接触对，c=9.45×10-4，m=0.63。

由此，可以获得接触电阻Rc的表达式：

(10)

接触电阻所产生的热量为

(11)

1.4 算例

计算中所采用的通用计算参数如表1所示。

表1 通用计算参数

某轨道的设计及计算参数如表2所示。

表2 某轨道设计及计算参数

计算使用的电流及电枢的速度、位移曲线如图2～4所示。

应用1.3节所述方法，计算可得轨道上的热量分布如图5所示。

从图5可以看出，轨道上产生的热量大部分积累在炮尾附近，而且体焦耳热是其主要组成部分。在距离炮尾0.4 m的距离内，体焦耳热占总热量的70%左右，所以，笔者以体焦耳热温升作为轨道的初始温度分布。

2 轨道热扩散过程模型

体焦耳热在轨道横截面上呈现不均匀的分布，其原因是趋肤效应。对于交变电流来说其电流密度的振幅沿着导体表面法向按照指数规律衰减：

Jx=J0e-wx，

(12)

式中：Jx是深度为x处的电流密度；w为与材料和频率有关的系数,在材料为铜，频率为500 Hz的情况下，w≈340。

以下分别考虑图6中单根矩形轨道y，z两个方向上的轨道热传导问题。

2.1 轨道截面径向传热

在y方向上：

1)设置初始温度函数φ(y)=100e-2wy，以此模拟轨道炮发射后，轨道径向上的温度与电流分布存在近似平方的关系，且轨道表面温升为100 K。

2)设置问题区域，即热扩散深度为y=10 mm以模拟典型的轨道截面尺寸。

求解两端绝热条件下的热传导问题：

(13)

该问题的稳态解为u|∞=u(y,t)|t=∞=14.64，应用分离变量法，该问题的解为

(14)

式中，Cn、βn为分离变量法中待确定的系数。

通过计算可得，端点绝热条件下不同时刻的径向温度分布与稳态解的相对偏差|u-u∞|/|u∞|如表3所示。

表3 端点绝热条件下的径向温升分布相对偏差

在0.1 s时可以观察到热量在轨道径向上的快速扩散；0.2 s时，轨道径向上的温度分布已经趋于均匀，各点温度与稳态解的相对偏差接近10%；到0.3 s时，这个相对偏差已经小于5%。对于轨道炮热管理系统来说，可以认为当发射完毕到冷却工质到达轨道时，轨道横截面上的温度已经充分扩散，呈均匀分布状态。

以上计算中，所采用的初始温度函数φ(y)=100e-2wy主要考虑了体焦耳热温升的分布特性。增大系数w，可以使温度分布更加陡峭，热量分布更加趋向与集中在轨道表面，可以模拟接触面上的焦耳热和摩擦热所带来的影响。将w设为原值的2倍，可获得与表3一致的结果。表3计算结果说明，不施加水冷条件下，在轨道径向方向上温度分布将在0.3 s内达到近似均匀分布的状态，温度梯度可忽略。

当轨道径向上温度分布均匀时，考虑以常温水冷却轨道的情形。此时，轨道径向温升u满足：

(15)

式中，初始条件为u|t=0=φ(y)，换热温差由冷却工质的温升uw以及式(14)的稳态解计算得出。

分析表4可知，在0.3 s的时间范围内轨道径向温度迅速趋于均匀分布，然后由于端点换热效应，在轨道径向内维持一个稳定的端点温差，在0.5～5 s，该温差稳定在0.6 K左右。

当采用以下不同的初边值条件时，仍然可以获得与表4类似的结果。

表4 轨道内部散热条件下的径向温升分布 K

1)当其他条件不变将初始温度分别换为φ(y)=100e-2wy和φ(y)=10时；

2)在1)基础上将换热边界条件中的稳态温度换为轨道换热表面温度时；

3)将换热条件分别布置于高低温端点时。

表4计算结果说明在初始阶段，轨道径向温度趋于均匀的扩散过程占有优势，然后由于换热效应，在0.3 s左右形成稳定的径向温度梯度，并可维持较长的时间。这一温度梯度有助于估计平均温度与实际表面换热温度的关系，如果直接采用温度均值计算所得的换热精度不能满足工程计算需要，还可以将Δu引入换热计算。

在轨道截面上的热分布问题实际上是一个二维问题，且实际的热量并非沿着轨道外周均匀分布，但散热管道通常被布置在靠近轨道温升较高的位置上，因此以轨道截面上的温度均值计算换热，会使初始阶段的理论热流量偏小，所设计的热管理系统趋于保守。

2.2 轨道轴向传热问题

本节考虑图6中没有配备水冷系统时的轨道轴向传热问题。此时问题区域为0≤z≤1.4 m，初始温升分布由图5中的计算结果，并应用式(2)计算获得。轨道发射完毕6 s内的温度变化情况如图7所示。

2.3 讨论

从时间与空间两个角度看轨道炮瞬态温升问题，可以发现：多数轨道炮的轨道长度为米级，而轨道截面上的宽、高尺寸为厘米级别，二者的尺寸比多在100倍以上；轨道热分布的有源升温过程(也即内弹道过程)为毫秒级；径向温度扩散时间为0.1 s 的时间级别；在10 s级别的时间尺度内，轨道炮的轴向温度无源扩散过程是可以忽略的。

由此，对于笔者讨论的热管理系统(常温工质，换热系数5 000 W·m-2·K-1，工作时间在10 s左右)可以做以下物理假设：

1) 忽略毫秒级内弹道过程中的轨道轴向和径向温度扩散过程。

2) 忽略轨道温度径向扩散过程，将其考虑为轴向热分布问题的源项，用于计算水冷换热效果。这样，轨道热分布问题可简化为轴向上的一维问题：

(16)

式中,源项f(z,t)与换热表面积、温差及换热系数相关。

3)源项f(z,t)内的温差可采用轨道径向温度均值计算，也可采用表面温度计算。由表4计算结果可知，表面温度与平均温度之间的差值将在较短的时间内稳定，这简化了二者间的转换。

4)由2.2节计算结果可知，在10 s级的工作时间内，工程计算中还可忽略式(16)的传导项，将导轨上的温度分布表示为

(17)

上述假设使得轨道的一维冷却问题被进一步简化为轨道轴向多个段上的常微分方程。

3 结束语

针对轨道炮热管理系统分析及设计问题，笔者分析了轨道上热产生的原因及组成，通过算例说明体焦耳热是造成轨道温升的主要原因。应用分离变量法对轨道径向和轴向上的一维热传导方程分别进行了分析与计算，获得了在两个方向上的瞬态热分布特性。将所获得的轨道瞬态热分布特性与轨道结构特点及发射过程相结合，得出了可以用于轨道炮热管理系统分析与计算的物理假设。所提出的物理假设可将轨道炮高维多物理场瞬态耦合分析问题简化为轨道轴向多个段上的常微分方程，有助于大幅简化轨道炮热管理系统设计中的工程计算。