抗屈曲的柔性机构拓扑优化设计

甘为 吴超 宋英杰 李政威 卢志宏

摘 要：针对柔性机构拓扑优化中的稳定性问题与特有的铰链问题，本文提出了一种考虑线性屈曲约束且不含铰链的拓扑优化求解方法。首先，基于Pian单元，引入柔顺度变化率约束，以解决柔性机构的铰链问题;其次，结合KS（Kreisselmeier-Steinhauser）凝聚函数与线性屈曲方程给出线性屈曲约束的推导;最后，结合线性屈曲约束、柔顺度变化率约束，建立一种考虑线性屈曲约束且不含铰链的拓扑优化模型，并结合移动渐近线方法（Method of Moving Asymptotes，MMA）有效求解。给出的算例结果表明，该方法能够对结构临界屈曲载荷进行有效约束。

关键词：柔性机构;拓扑优化;KS凝聚函数

中图分类号：TB21 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2021）18-0042-03

Abstract： Aiming at the stability problem and the unique hinge problem in the topology optimization of flexible mechanisms， this paper proposes a topology optimization solution method that considers linear buckling constraints and does not contain hinges. First， based on the PIAN unit， the compliance change rate constraint is introduced to solve the hinge problem of the flexible mechanism; then， combining the KS aggregate function and the linear buckling equation， the derivation of the linear buckling constraint is given; dinally， combining linear buckling constraints and compliance change rate constraints， a topology optimization model considering linear buckling constraints without hinges is established， and combined with MMA （Method of Moving Asymptotes） algorithm for effective solution. The results of the given examples show that the method can effectively restrain the critical buckling load of the structure.

Keywords： compliant mechanisms;topology optimization;KS aggregation functions

柔性机构是一类通过结构的弯曲或弹性变形来传递或转换运动、力与能量的机构，在尖端特种设备、医疗设备与纳米级功能部件中应用广泛。近年来，随着拓扑优化理论的拓展与计算效率的提高，屈曲约束逐渐成为热门研究课题之一[1]。Rodrigues等给出了屈曲特征值的灵敏度推导方法，但将其实际运用至连续体结构的优化设计时还需要解决诸多问题[2]。常规位移单元无法克服单元的应力刚化问题，因此很难得到准确的单元应力。而Pian单元即使在粗略的划分下计算得到的应力也十分精确，解得的屈曲特征值更加可靠[3-4]。根据这一结论，Ferrari等给出了凝聚函数形式下的屈曲约束，但此研究还未应用至柔性机构的拓扑优化设计。陈成等基于固体各向同性材料惩罚模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）插值，并结合Heaviside映射与变体积约束限措施得到了清晰的拓扑构型。彭罗等采用柔顺度变化率约束，对柔性机构的铰链进行了有效抑制。基于上述研究，本文采用Pian单元，提出了一种考虑线性屈曲约束且不含铰链构型的拓扑优化求解方法。

1 插值模型与屈曲约束

为获得清晰的结构拓扑，采用设计变量[x]、密度变量[x]和物理变量[x]的三场分布方案。以[i]号单元为例，它的密度变量[xi]定义为在设计域内以单元[i]为圆心、过滤半径[r]为半径划定的圆形区域[Ni]内的各设计变量的加权平均，表达式為：

为获得清晰的拓扑构型，要对密度变量进行Heaviside映射，表达式为：

传统的SIMP插值模型中，物理变量在单元体积[vi]、单元刚度矩阵[ki]与单元几何刚度矩阵[kiσ]中的插值形式分别如下：

式（3）至式（5）中：[v0]、[k0]与[k0σ]分别为满体积状态下的单元体积、单元刚度矩阵与单元几何刚度矩阵;[p]为惩罚因子;[E0]为材料的弹性模量;[Emin]为设置的经验参数，取[Emin=10-6E0]。

线性屈曲分析的表达式为：

式（6）中：[K]为结构的总体刚度矩阵;[Kσx，u]为结构的总体几何刚度矩阵;[λi]为第[i]阶屈曲载荷的放大因子;[φi]为对应的屈曲模态。

考虑到优化过程中迭代求解的有效性，结合间隔因子[α]，可构建如下屈曲约束：

式（7）至式（9）中：[Pc]为设定的最小正特征值的下限;集合[B]由8个最小正特征值组成;[μi]为特征值的倒数;通过引入间隔因子，计算得到[μi]。

考虑到优化过程中的特征值聚集分布和迭代求解的有效性，结合间隔因子与KS（Kreisselmeier-Steinhauser）凝聚函数，可将屈曲约束改写为如下形式：

2 优化模型与灵敏度分析

采用基于KS凝聚函数形式的线性屈曲约束，则考虑线性屈曲约束的无铰链柔性机构拓扑优化模型表达式如下：

本文采用梯度算法求解，因此需要求得式（12）中各性能函数的灵敏度。

根据求导的链式法则，任意函数[fx]对设计变量[xe]的导数可表示为：

基于式（13）至式（15），仅需推导各性能函数对物理变量的导数即可。

根据式（4），可得到单元刚度矩阵[ki]对物理变量[xi]的导数，其表达式为：

柔顺度变化率约束函数关于[xi]的导数表达式分别为：

式（17）中：[Uin]與[Uout]分别为机构的实载荷与虚载荷对应的位移向量;[K]为结构总体刚度矩阵。

体积上、下限约束函数关于物理变量[xi]的导数表达式为：

结合式（6）至式（11），可得到式（12）中屈曲约束[fκ（x）]关于物理变量[xi]的导数表达式：

本文所有算例均采用MMA算法进行优化求解。

3 优化算例

采用式（7）至式（9）所给的优化模型对柔性夹钳模型进行优化求解。边长[L=300  μm]、厚度为1 μm的方形夹钳机构设计域中，右端为不可设计区域，尺寸如图1所示。取左端上下各一个单元作为约束点位，左端中点为位移输入点，沿水平方向向右施加有[Fin=1  N]的实载荷;右端不可设计区域的上下节点[Uout]为位移输出点，沿设计域水平对称轴方向输出为正方向。设计域内材料的弹性模量[E0]=200 GPa，泊松比取[μ]=0.3，输入点的弹簧刚度为[kin]=2×105 N/m，输出点的弹簧刚度为[kout]=2×102 N/m。

针对图1柔性机构的拓扑优化问题，采用120×120网格对设计域进行均匀的单元划分。设定密度过滤半径为[r0=1.5Δ]，其中[Δ]为最大单元边长。柔顺度变化率约束经验参数[ψ*]前200步设定为0.02，后续固定为0.003。不考虑屈曲约束时，所得构型如图2所示，此时机构的屈曲载荷为4.48 N。

为提高机构的稳定性，设定屈曲下限[Pc=6]，所得机构最优拓扑构型如图3（a）所示。机构受载后的正常变形与屈曲变形分别如图3（b）和图3（c）所示。此时，机构的最低阶屈曲载荷为6.74 N。可见，本文提出的方法能够显著提高结构的屈曲载荷。

4 结语

基于柔顺度约束与屈曲约束，构建了一种考虑屈曲约束的无铰链清晰柔性机构拓扑优化方法。该方法不仅能够解决铰链问题，而且能够满足屈曲约束，并获得更大的输出位移，非常适用于三维柔性机构的拓扑优化设计。

参考文献：

[1]GAO X，MA H.Topology optimization of continuum structures under buckling constraints[J].Computers & Structures，2015，157：142-152.

[2]GAO X，LI Y，MA H，et al.Improving the overall performance of continuum structures：a topology optimization model considering stiffness，strength and stability[J/OL].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2020.（2020-02-01）[2021-04-28].https：//www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0045782519305456.

[3]PIAN T H H.Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distributions[J].AIAA Journal，1964（7）：1333-1336.

[4]PIAN T H H，SUMIHARA K.Rational approach for assumed stress finite elements[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1984（9）：1685-1695.

[5]陈成，赵圣佞.基于Heaviside过滤和可行域调整的SIMP方法拓扑优化设计[J].河南科技，2018（34）：26-28.

[6]荣见华，彭罗，易继军，等.一种新的多输入多输出柔顺机构拓扑优化方法[J].长沙理工大学学报（自然科学版），2021（1）：66-78.