从知识学习到素养发展：数学本原性问题的教育意蕴

李加树

“问题是数学的心脏。”《牛顿大词典》把“问题”定义为，一个不能马上解决或者困难的问题，一个需要探索、思考和讨论的问题。瑞士教育学家裴斯泰洛齐认为：“教育的主要任务不是积累知识，而是发展思维。”可见，“问题”在数学教学和思维训练中的重要性，数学教学应以培养学生的数学思维为核心。怎样的问题才能给学生的思维方向提供引领？怎样的问题才能让学生在碰撞与交流中建构新的理解？数学课堂中问题设计的路径又有哪些？需要我们一线教师在教学中进行思考和实践。

一、本原性问题的内涵特征

数学本原性问题是针对具体教学内容（数学概念、思想方法）提炼出的核心问题，它指向数学思维和数学本质。数学本原性问题包括内容性问题和思维性问题。找准了一节课的本原性问题，教学就有了抓手，学生思考就有了方向和动力，学生学习就有了“靶心”。数学本原性问题具有以下特点：一是开放性。本原性问题设置的情境中包含丰富的信息，可供学生从多方面、多角度思考，给学生创造了独立思考和主动探究的空间。二是指向性。本原性问题有明确的学科核心素养指向，对学生的思维有引领作用，实现对知识的深层理解和本质把握。三是挑战性。本原性问题能够引发学生的认知冲突，激励学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，既有一定的難度，又能通过探究获得结果。四是发展性。本原性问题不仅指向新知识的转化，新问题的产生，还延长了思维的“长度”，让思维“触角”不断拓展延伸。深化对数学知识的再认识、再理解和再建构，引领学生在不断向上生长。

二、本原性问题的教学意义

1.改变课堂教学组织方式

从教的角度看，便于教师围绕本原性问题构建大的空间。通过创设大问题、提炼大环节、构建大空间培养学生的自主学习意识，有利于学生以开放、多维的方式探索未知，改变教师过度牵引、学生被动接受的课堂教学现状。从学的角度看，本原性问题给学生的独立思考与主动探究留下了空间，为思维发展提供了更大的张力。因此，以本原性问题为导向的教学，既是教师从学科教学走向学科教育、从主题教学走向核心素养培育的关键，也是学生从浅层学习走向深度学习、从“被动认知”走向“主动建构”的重要路径。

2.促进数学学习走向深刻

深度学习是学习者主动探索、辨别、加工和建构知识的学习过程，其核心要义包含关联性（知识间的内在联系）、过程性（学生参与的时间和空间）和开放性（学生的真实表现），突出深度思辨的思维指向。数学学习不应停留于日常经验、直观感知的“浅层活动”，而应深入研究知识内涵，实现深度思考。在本原性问题引领下，学生沉浸于相应的数学学习活动，深入知识意义内核进行深度学习。学生拾阶而上，思考得更清晰、更全面、更合理、更深刻，从而真正让学生学会、学活、学深。

3.促进核心素养落地生根

从知识维度看，本原性问题重视学生对数学概念的理解，数学思想方法的把握，数学思维的感悟等，是学生知识学习和能力发展的助推器。从思维维度看，本原性问题构建了一个问题思维“场”，把学习的内容融入思维空间更广、强度更高的活动中，确保学生思维发展的“力度”。从情感维度看，本原性问题设置让学生直面问题的复杂、多元、真实性和挑战性，不仅满足了学生的探究欲望，而且增强了学生学习的信心和动力，还帮助学生产生了积极的数学情感和态度。从问题解决维度看，以本原性问题为引领的教学，立足于真实情境的问题解决，通过观察、比较、分析、推理、抽象、概括等方式去作深入的思考，直到问题解决，这一过程是发展学生核心素养的重要路径。本原性问题引领的教学，为核心素养的落地生根提供了最为通畅的路径，促使数学核心素养的培育从理念走向行动。

三、本原性问题的设计策略

本原性问题的设置、提炼既是一门科学，也是一门艺术，涉及教学内容、学生、教师自身的数学理解以及对教学实践的认识等诸多要素，是教师专业素养和实践智慧的集中反映。笔者认为，教师提炼本原性问题时，需要提升站位，基于学生，整体把握。

1.整体把握，在知识关联处生长本原性问题

数学学习内容本就是一个整体。虽然教材编写和教学的分课时推进让这个整体变得“断裂且隐蔽”，但稍有经验的教师都会关注教材的前后联系，注意按照知识内在的顺序展开教学。教学中，教师要用全方位、立体化的视角去研究教材，从整体上把握每一节课的完整思路和理念框架，了解它在板块中的地位、意义、作用，准确把握知识体系尤其是其内部逻辑联系。只有把教材的纵横联系摸清读透，才能从静态的教材中领悟出能让学生参与其中的动态的教学活动，设计出凸显知识前后联系的板块式教学过程，提炼出针对性强、引领全课的本原性问题。

如，教学“真分数和假分数”时，假分数的意义一直是学生认的知盲区。如果只从表面解读教材，就很难引发学生深层思考，也就无法引领学生理解“真分数和假分数”的本质。基于此，教师可以以分数单位为新知生长点，将“真分数和假分数之间的联系”作为这节课的本原性问题，围绕本原性问题设计“每个分数里各有几个？5个是几分之几？”“、、里各有几个？需要几个同样的圆才能表示？”“可以把这些分数分成几类？你的分类标准是什么？”等问题串，促使学生去思考真分数和假分数的内涵，进而很自然地抽象出“数”，生成合情合理的解释：其实是整数1，是1和合成的数，所以它们不是真分数。

笔者认为，设计出有利于学生整体认知、整体建构的本原性问题时，不仅能够还原数学本来的面目，学生从“知其然”走向“知其所以然”，更重要的是能够带给学生“全局”眼光和系统思维，这显然有利于发展学生的数学核心素养。

2.基于经验，在经验断层处设置本原性问题

美国教育家杜威认为：“教育是一个在经验中不断发展的过程。”小学生的学习过程是一个激活、利用、调整和促进经验提升的过程，是“自己对生活现象的解释”和“基于经验的积极建构过程”。本原性问题的设置，不但要理解教材，更要研究学生，更应基于学生经验的视角设计教学。教师只有对“学什么”“学生的真实起点在哪里”“认知困惑是什么”“怎么学”等问题有了清晰、准确、深刻把握的基础上，所设置的本原性问题才能具有挑战性（即形成认知冲突）、启发性（即引发数学思考）和可接受性（即处于学生认知的“最近发展区”），才能真正弥合认知目标与学生学习需要之间的差距，激发学生积极参与数学活动，推动学生从现有的认知水平向更高的认知水平迈进。

如教学“时、分的认识”时，学生从小就非常熟悉钟表，有较为丰富的认钟表、看时间的经验，对时、分的认识不是一片空白。但是，学生读出钟表上的时间，需要看出“分针所指的刻度对应的数据”，这有一定的困难。站在本原性问题设计的角度，可以这样处理：“今天我们学习钟面的有关知识，你对钟面有哪些了解？”当学生答出钟面上有12个数，我能认识几时，钟面上有两根长短不同的针，便可提出本原性问题：“如何认出钟面上的几时几分呢？”这一问题的设计既基于学生已有的认知经验，又很好地设置了认知冲突。学生在“如何认识几时几分”这一本原性问题的引领下，观察钟面就有了思维的方向。教学认识几时、几分以及时、分的关系时，围绕以下几个问题动态演示时针和分针走的过程展开：（1）时针从12走到1是几小时？从12走到2呢？从3走到8呢？你发现了什么？（2）分针从12走到1，经过了多少小格，是多少分？从12走到3呢？从12走到6呢？你发现了什么？（3）当分针从12走了一圈回到12，经过了多少小格，是多少分呢？分针走1圈，时针走了几小时？你有什么想说的？

通过几何画板动态演示时针和分针走的过程，能够让学生直观地看到钟面上经过几时、几分，以及时、分之间的关系，从而在整体上把握时、分之间的内在联系。美国教育心理学家奥苏伯尔认为，影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。“已经知道了什么”即儿童的已有经验和已有知识。可见，“经验”是学生数学学习的重要资源。本原性问题正是基于学生的已有“经验”，引导学生从经历和体验中学习，从而有效促进学生的深度理解性学习;帮助教师改变自己的教学方式，从而让教学更有方向、更有条理、更加顺畅、更具活力。

3.让学引思，在思维创生中整合本原性问题

《礼记·中庸》记载：“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。”可见，“学、问、思、辨、行”是学习的重要方式与路径。“问起于疑，疑起于思。”数学学习就是“从无疑到疑，再由疑到无疑”的矛盾运动过程，是一个不断明辨、慎思的过程。本原性问题设计以“是什么、怎么样、为什么、还有什么”为主线，整体把握学习路径，引领学生从整体的角度对事物进行分析、推理和判断，辨析事物的情境、范畴和原理，努力形成系统性思维。

如，教学“正比例的意义”时，“相关联的量”和“比值一定”是本课两个本原性问题，是学生思维的引爆点，是课堂推进的原动力。教学应始终围绕这两个本原问题展开。教学中，为引导学生发现行程问题中变量与不变量之间的关系，教师可以围绕以下问题展开教学：

一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表：

问题1：观察表中的数据，你有什么发现？路程和时间是相关联的量吗？它们的变化有什么共同点？表格中两个省略号可以表示什么？

问题2：你能写几组相对应的路程和时间的比，并求出比值吗？比值80表示什么？

问题3：像这样的式子写得完吗？如果用一个式子来概括这些算式，该怎样写？

本原问题是统整全课的大问题，它需要一系列的关键性问题来支撑。教师借助几个关键性的问题，让学生充分经历数据的变化过程，体会变化中的不变，为正比例的意义求解。首先是指向关联的问题，促使学生发现时间和路程之间的变化规律，即时间扩大几倍，路程也随之扩大几倍;其次是指向比值的问题，让学生发现变化中的不变，即速度始终是一定的，并归纳出数量关系式;再次是指向数形关系的问题，帮助学生建立成正比例的两种量的表象;最后是指向判断的问题，让学生自学课本，弄清路程和时间成正比例的两个必要条件。本原性问题教学就是循着“是什么、怎么样、为什么、还有什么”的思辨之路，引导学生在有序观察中探寻特征，在例证比较中洞察关系，在动态转化中把握本质，在发散联想中寻求创生，在解决问题中增长智慧。

4.探本溯源，在知识内核处提炼本原性问题

数学知识内核是指数学核心概念，表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，以及隐藏在数学知识背后的思想和方法。因此，数学教学应把握好数学逻辑、内容本质、認知方式三个基本要素，透过知识表层设计本原性问题，引导学生思维深度卷入，将“冰冷的美丽”变成“火热的思考”，实现学生数学思维的发展在顺其自然中由表及里，逐步向纵深发展。帮助学生理解数学概念，把握数学思想，感悟数学思维，鉴赏数学之美，追求数学精神。

如，教学“用数对确定位置”时，本质是一个数对与平面上的点一一对应，是学生学习平面直角坐标系的基础。教学时，教师可以将“如何用数对确定位置”确定为本原性问题，引导学生经历从“物体位置”到“点的位置”、从“确定位置”到“刻画特征”、从“数学表达”到“生活应用”的过程。

1.教学用数对表示平面图上的位置（例1）

（1）我们该怎样来描述小军的位置呢？

（2）你能用“列”和“行”描述一下小军的位置吗？

（3）如果用简洁的方式表示“第几列第几行”，小军的位置可以怎么描述？

（4）小军的位置用数对如何描述？

（5）（2，4）、（4，2）这两个数对一样吗？同样都用到了2和4，为什么却表示两个不同的位置？那么，数对中两个数字的顺序能随便调换吗？

2.教学用数对的方法在方格图上确定位置（例2）

（1）这是一张公园的平面图，你能用数对表示出各个景点的位置吗？

（2）（给它加上一个网格）现在你还能用数对确定各个景点的位置吗？

（3）儿童乐园的位置是由哪两条线决定的？假山呢？

（4）在方格图上，你还能根据数对找到对应的点吗？这儿有三个数对，请找到对应的点并标上数对。出示数对：（1，5）、（3，3）、（4，2）。

（5）把这三个点用线连起来，你发现了什么？

（6）观察这些数对，你有什么发现？（2，4）和（2，3）这两个数对表示的点，哪个点会在这条直线上？

……

不论是用数对表示平面图上的位置，还是在方格图上确定位置，“如何用数对确定位置”本原性问题像灯塔一样指引着学生思考的方向，引导学生通过思维的交流与碰撞，把握学科本质，体会思维之美、理性之趣。学生由“第几排第几个”到“第几列第几行”，再到用数对的方法确定“点子图上”点的位置，在图例不断抽象、方法不断简化的过程中初步感受坐标思想的本质。通过在方格图上用数对确定位置的辨析、比较，感受平面直角坐标系的本质思想。这正好与笛卡尔思考的“如何实现点与数的对应”这个问题一致。把建立坐标系替换成制定规则，从规则中分解出坐标系的要素让学生体会，在最重要、最本质的问题上做文章，让学生经历着类似笛卡尔那样的思考，这才是让学生自主发现并建构的数学知识。

教学中，教师应该把握问题的内核，提炼高质量的本原性问题，引导学生找到适切的学习路径，促进学生核心素养的提升。追求以本原性问题为导向的数学教学，就是期许数学课堂从关注教师的教转向关注学生的学，期许课堂提问从“小步子”走向“大问题”，期许课堂教学从“知识导向”走向“素养导向”。善于运用本原性问题引领教学，教学内容才会“精”，教学环节才会“简”，教学方式才会“活”，学习效果才会“实”！