在计算中学习基本的数学思想方法

刘梅

“基本的数学思想方法”作为小学生数学学习的目标之一，要求学生既要学习数学知识，又要学习数学方法。然而，在小学数学计算课教学中，经常会过于偏重于技能训练，从而忽视计算中蕴涵的基本数学思想方法。在计算中学习转化、类比、数形结合、归纳等方法，不仅有利于学生理解算理，掌握算法，形成良好的认知结构，而且还有利于发展学生的逻辑思维能力，为后续学好数学打下基础。

一、构建联系，实现转化

教学中，当不能或不易直接应用已有知识解决问题时，教师要根据数学知识之间的逻辑联系，引导学生将要解决的问题不断转化，最终实现对原问题的解决。在计算课中，学习用转化方法思考问题，有助于良好思维习惯的培养。

如，人教版小学数学有关整数笔算退位减法的例题，教材编排如下：

通过以上4个例题的学习，丰富学生将退位减转化为不退位减的学习经验。学习51-36时，产生一个认知冲突，个位上的1减6不够减，该怎么办？教师要抓住这个时机，帮助学生构建退位减与不退位减知识之间的联系，用转化方法解决退位减的问题。为促进学生逻辑思维的发展，提出怎样转化？为此，调动学生100以内两位数减一位数的学习经验，从十位分出1个十，转化为10个一，退给个位，个位上的数从1个一变为11个一，实现了个位从不够减到夠减的转化。学生经历转化——怎样转化的学习过程后，反思为什么要转化，让学生在表达中感受将新的知识转化为学生已经学过的知识，并利用已经学过的知识高效学习新知的思想方法。这种方法一直接延续到三年级上册退位减的三个例题中：

笔算550-380，十位上的5减8不够减，怎么办？用转化的方法解决，从百位上分出1个百，转化为10个十，退给十位，十位上的数从5个十变为15个十。

笔算435-86，当个位不够减转化为够减时，十位上的数为什么是2？当十位不够减转化为够减时，十位上的数为什么是12？

笔算403-158，在两次转化的过程中，十位上的数发生几次变化？怎样变化？

这样学习，不仅让学生深度理解、掌握退位减的方法，更重要的是凸显转化在计算中的价值。逐渐让学生学会在新、旧知识的转化中寻找到解决“新”知的方法。

二、比较相似，迁移类比

数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似。”通过观察、比较发现新、旧知识具有相似的性质时，就可以把已有知识类比到新知识的学习过程中，得到一个新的结论。

小数除法计算对小学生来讲是一个难点，如何解决这个问题呢？从整体的角度比较有余数的除法、除数是一位数的整数除法、除数是二位数的整数除法、除数是整数的小数除法、除数是小数的小数除法，发现它们笔算除法的方法是相似的，都是用除法竖式记录平均分的过程，每次分都是把余数的计数单位变小和更低一位上的数合并继续平均分。由此可见，教师可以引导学生用类比的方法学习整数、小数笔算除法。

如，五年级上册第三单元小数除法例1（22.4÷4），分以下三个环节开展学习活动：

先呈现224÷4的除法竖式，交流第二次平均分的方法、过程及结果。即：把2个十平均分成4份，不够分1个十，就把2个十转化为更小的计数单位也就是20个一，再和4个一合并为24个一。这样就把2个十平均分成4份转化为把24个一平均分成4份，商是6个一，商6写在个位上。

接下来让学生比较笔算224÷4与22.4÷4有什么相似之处？都是笔算除法，都用除法竖式记录每一次平均分的过程及结果，且平均分的方法不变，那么就可以把笔算224÷4的方法类比到22.4÷4中。

最后呈现学习单，让学生带着任务和要求自主学习。

显然，学习例1，不仅要掌握除数是整数的小数除法笔算方法，更重要的是学习用类比方法思考第二次是把2个一平均分成4份转化为把24个十分之一平均分成4份的过程，从而类推出商的小数点为什么要点在十分位6的左下角。

从以上学习过程可以看出，尽管不同单元的学习内容有难易之分，但贯穿于其中的转化及类比思想是不变的。有了类比的思想方法，学生就会感受到整个小学阶段笔算除法的知识不是孤立和零散的，而是一个相互有关联的统一整体，把握好变与不变，不仅有助于发展学生类比推理的能力，而且还有助于学生形成良好的认知结构。

三、直观感知，数形结合

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。在计算课中，有的学习内容需要借助计数器、小棒、图形建立形的直观，理解“数”的含义及算的原理，进而让学生体会以形助数的思想方法。

如，二年级下册有余数的除法例3：13根小棒，每4根分一组，结果怎样？

先操作分的过程和结果，理解图式的含义;再将操作的过程及结果写成除法横式，借助形的直观感知除法横式中13、4、3、1表示的含义;最后提出除法横式也可以写成竖式，构建除法横式与竖式的联系，并将以形助数的学习经验再一次类比到除法竖式中，理解12表示分掉的12根小棒，12下面的横线及1表示分了之后还余1根小棒。这样从直观操作到除法横式到除法竖式的转化，构建了知识之间的内在联系，实现了从直观到抽象的学习过程，为后续学习三年级除数是一位数的整数除法打下基础。

另外，还可以充分画图，引导学生从分数意义的角度直观理解分数加、减、乘、除运算的法则。比如，理解同分母分数加法法则，学生借助图形得出+=后，教师提出问题，分母为什么是8？分子为什么是4？解决这两个问题，就要运用形的直观感知3个和1个相加，结果是（3+1）个，即，再引导学生从分数的意义直观理解分母是8，分子是3+1的算理。把这样的方法类比到任意两个同分母分数相加，丰富学生以形理解“分母不变、分子相加”的活动经验，从而抽象出同分母加法的计算法则。

小学生的思维以直观形象思维为主，理解运算法则中每一个数或每一步的算理时，通常是化抽象为直观，突出数与形的对应，逐渐体会以形理解数或算理的学习方法。

四、分析共性，归纳概括

归纳是特殊到一般的推理形式。小学数学一般采用不完全归纳，依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般结论的推理方法。在计算中，归纳一般表现在以下两个方面：

一是让学生在经历数学知识形成的过程中学习归纳的方法。前面讲到列加法竖式，在操作感知的基础上，引导学生分析5和2都写在个位上，抽象出都写在相同的数位——个位上，且要对齐写;3和3都写在十位上，抽象出都写在相同的数位——十位上，同样要对齐写。此时，学生就会发现一个共同的本质属性，所写的数位是“相同”的，且要对齐写，自然归纳出相同数位要对齐这一个数学结论。二是学生既要从某类事物个别对象中发现其共同的因素，也要发现对象之间的联系，在广泛的联系中突出事物的本质特征。

如，“多位数乘一位数”不仅要从整体上分析每一个例题的重、难点，同时还要理解例题之间的内在联系，便于更好地归纳出多位数乘一位数的计算法则。

学习例1时，重点表达用第二个因数分别去乘第一个因数的个位、十位、百位，再把两次或三次乘的积相加，在表达中感悟出依次、每一位的含义。

学习例2、例3时，重点表达个位满几十向十位进几、十位满几十向百位进几，百位满几十向千位进几的方法，在表达中感悟哪一位、前一位的含义。

通过表达，突出每一个词的含义，突出计算的基本步骤和要点，学生就能归纳概括出多位数乘一位数的计算法则。

计算中融入基本的数学思想方法，不仅能够提高学生的运算能力，更重要的是丰富了学生用转化、类比、数形结合、归纳等方法学习数学的经验，促进学生逻辑思维的发展，真正体现计算育人的价值。