基于十二平均律的古筝转调方法研究

王宪 孙智卓

摘要：随着国家的发展，传统文化进一步得到重视，民族乐器古筝也开始得到广泛应用。但是，古筝目前的转调方法繁琐且可转的调式过于单一，难以达到演奏某些乐曲的要求，这就使得古筝在民族管弦乐队中不能充分发挥自身音域广、表现力强的优势。为解决以上问题，本文基于十二平均律与波动学规律，将转换后的调式看作琴码纵向移动距离的函数，定量探究并得出了每种调性下琴码与后岳山的距离，并将数据仿照古筝俯视投影视角绘制出了每种调性下的面板俯视图，以达到数据可视化。该理论研究可以为日后古筝的生产制造与发展改进提供指导帮助。

关键词：古筝  十二平均律  转调  琴码

前言

古筝是我国最古老的弹拨乐器之一，其弦以五声音阶（1、2、3、5、6）排列，充分展现了我国民族乐曲简洁而不失色彩的特点。但由于古筝自身缺少半音，所以并不能像钢琴那样转调自如。为解决转调问题，林怡从五线谱和简谱两种唱名切入，讨论了古筝的移码转调;金世斌从古筝名家论著中谈到的关于D调的定音及音程顺序入手，研究出徽光固定音位法。这两位虽然从不同角度提出了两种古筝转调方案，但都不能科学严谨地解决所有转调问题。

转变调式就是整体改变一段旋律的音高。在此探究过程中通过改变古筝琴弦的有效震动长度来实现，其物理学本质则是改变机械波传导介质的特性进而改变机械波发出的频率，详细推导见下文。

目前应用最广泛的古筝——S型21弦尼龙钢丝缠弦筝的结构以及大致数据如图1所示。

演奏者通过拨动前岳山到琴码之间的琴弦（有效震动长度）使其震动发声（下文称前岳山到琴码之间的区域为发声区）。若要改变同一根弦上的音高，则需要在后岳山到琴码之间的琴弦施加张力，这也是古筝中常见的演奏手法之一。

十二平均律将一个八度（C、D、E、F、G、A、B、C）划分为十二个等音程区间，每个相邻的音的频率比值完全相等，为2的12次方根，即：

推导以及数据计算

（一）琴弦各项参数与发出频率的关系

古筝发声区琴弦（即琴弦的有效振动长度）可看作一根长度为L，质量很小，质地均匀且在一定范围内满足胡克定律的弹性弦线。因而由波动学原理，知沿弦线传播的横波其运动方程为

式中：T为弦上的张力，μ为琴弦的线密度，其波动方程为

式中：v为波的传播速度。将式（1）与式（2）相比可得：

考虑到音波波长

当存在第n级泛音时，n=1时是基音，又因为

那么联立式（3）（4）（5）可得，弦振动时产生的频率

由于泛音在古筝中应用较少，因此我们在实验中不考虑泛音的存在，只对基音频率进行研究，故取n=1，则最终为：

在实际演奏中，张力T和线密度μ较为密切，而改变线密度μ又太不实际，所以讨论长度L的改变——即移动琴码来改变频率（即调性）。

（二）通过改变弦振动的长度改变频率

古筝琴弦有效振动部分简图如图2所示，图中AC的距离是琴码高度h码，BD、CE的距离是前岳山到琴碼的距离l码-岳，DE、BC是前岳山的高度h岳，由几何关系，可知琴弦振动长度：

以目前市面上最常见的D大调古筝琴码位置图和实验用古筝为例，得到弦号、前岳山到琴码的距离l码-岳、各弦琴码高度h码以及最终算出的琴弦振动长度（即初始振动长度）L前的部分信息如表1所示：

由于在调节琴弦振动长度时只是改变琴码的位置，而弦上张力和线密度在琴码调节前后发生的改变可以忽略不计，由式（7）可知

故记琴码位置移动前后的琴弦振动长度分别为L前、L后，琴码位置移动前后琴弦振动发出频率分别记为f前、f后，则上述变量满足

根据十二平均律以及大调中的“全全半全全全半”的音程关系，该式可简化为

对于式（10）中n的取值，则与调性的选取有关。而对于不同调性下21根琴弦中的任意一根琴弦，式（10）中n的取值如表2所示：

根据表1、表2中的数据和式（10），计算不同调性下（即调节后琴弦应当达到的振动长度）每根琴弦应该达到的振动长度L后以及对应的前岳山到琴码的距离l码-岳（1弦到11弦的部分）列出表格（如表3），结合弦号以及图3中的数据绘制出一系列的发声区l码-岳-d图像汇总后得到的综合调性图如图3所示。

结论

综上，可知古筝的转调可以通过精准的移动琴码实现。本文定量研究并给出了每种调性下琴码移动距离的具体数据，相较于原先古筝转调只能凭使用者的听觉来完成更加精准严谨。相对于目前其他学者所提出方法，可以转调的种类也更丰富多样，也充分兼顾了可行性与广适性。尤其是式             揭示了古筝移码转调的一般情况，该结果可以应用在给古筝面板的标记上，给古筝的初学者提供重要参考，也可应用于古筝的生产。笔者也希望本文对古筝的发扬与传承能够有所帮助。

参考文献：

[1]林怡.试论筝的移码转调[J].音乐探索，2010（04）：72-75.

[2]金士斌.S型21弦古筝转调后的音位标志法及应用[J].乐器，2011（12）：16-17.

[3]程思琼. 新中国古筝改良研究（1949-2009）[D].扬州大学，2020.

[4]邓小伟，余征跃，姚卫平，陈民杰.传统古筝的振动声学特性仿真分析[J].上海交通大学学报，2016，50（02）：300-305.

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