形形色色的分式方程的解

杨文金

一、解为正数、负数、非负数

例1（2021·黑龙江·龙东）已知关于[x]的分式方程[m+32x-1=1]的解为非负数，则[m]的取值范围是（ ）.

A. [m≥-4] B. [m≥-4]且[m≠-3] C. [m>-4] D. [m>-4]且[m≠-3]

解析：去分母，得m + 3 = 2x - 1，移项，解得x = [m+42].

∵分式方程的解为非负数，∴[m+42] ≥ 0，且[m+42] ≠ [12]，解得[m≥-4]且m ≠ -3.

故应选B.

反思：解此类题应先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解.

例2（2021·湖北·荆州）若关于[x]的方程[2x+mx-2+x-12-x=3]的解是正数，则[m]的取值范围为 .

解析：先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可.

由[2x+mx-2+x-12-x=3]，得[x=m+72]，且x ≠ 2.

∵关于[x]的方程[2x+mx-2+x-12-x=3]的解是正数，

∴[m+72>0]，且[m+72≠2]，解得m>-7且m ≠ -3.

故应填m>-7且m ≠ -3.

反思：本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式組，求出方程的解是解题的关键.

二、整数解

例3（2021·四川·达州）若分式方程[2x-ax-1-4=-2x+ax+1]的解为整数，则整数[a=] .

解析：由[2x-ax-1-4=-2x+ax+1]变形为 [（2x-a）（x+1）-（a-2x）（x-1）（x-1）（x+1）=4]，解得[x=2a].

[∵]分式方程[2x-ax-1-4=-2x+ax+1]的解为整数，[a]为整数，

∴当[a=±1]时，解得[x=±2]. 经检验：此时[x-1≠0]，[x+1≠0]，分式方程成立;

当[a=±2]时，解得[x=±1]. 经检验：当[x=±1]时，分母为0，分式方程没有意义，故舍去.

综上所述，[a=±1].

故应填±1.

反思：本题应注意“整数”这个限定条件，同时不能忽略对根的检验.

三、增根

例4（2021·广西·贺州）若关于[x]的分式方程[m+4x-3=3xx-3+2]有增根，则[m]的值为（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解析：去分母，得[m+4=3x+2x-3]，

∵分式方程[m+4x-3=3xx-3+2]有增根，∴[x=3].

将[x=3]代入[m+4=3x+2x-3]，得[m+4=9]，解得[m=5].

故应选D.

反思：利用增根求字母取值问题的步骤：①化分式方程为整式方程;②让最简公分母等于零，求出增根的值;③把增根代入整式方程中即可求得相关字母的值.

四、无解

例5（2021·山东·枣庄·五校联考）若关于x的方程[x-2x-5] = [mx-5] + 2无实数根，则m的值为 .

解析：去分母，得x - 2 = m + 2x - 10，则x = -m + 8，

∵原分式方程无解，∴x = -m + 8为原分式方程的增根.

∵原分式方程的增根为x = 5，

∴-m + 8 = 5，∴m = 3.

故应填3.

反思：分式方程无解分为以下两种情况：①原分式方程无解，也就是化简后得到的整式方程无解;②化简后得到的整式方程有解，但其解使原分式方程的分母为零，也就是增根. 因此，求解分式方程无解问题时，切记一定要讨论.

（2021·重庆改编）若整数[a]满足一元一次不等式[3a-21<0]，且关于y的分式方程[y+2ay-1+3y-81-y=2]的解是正整数，则所有满足条件的整数[a]的值之和是（ ）.

A. 5 B. 8 C. 12 D. 15

（答案见第31页）