平行线巧解锯齿形

蔡忠平

平行线是平面图形与空间图形的基本构成要素之一，是研究图形的重要基础.

例 如图1，已知AB[⫽]CD，有一点E在直线AB与CD之间，形成锯齿形，试探究∠B，∠D与∠BED的数量关系.

方法1：利用定理“平行于同一条直线的两直线平行”.

解析：如图2，过点E作EF[⫽]AB，

∵AB[⫽]CD，∴EF[⫽]CD，∴∠B = ∠1，∠D = ∠2，∴∠B + ∠D = ∠BED.

方法2：利用定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和” .

解析：如图3，延长BE交CD于点F，

∵AB[⫽]CD，∴∠B = ∠BFD.

∵∠BED = ∠BFD + ∠D，∴∠B + ∠D = ∠BED.

（同理，延长DE交AB于点F，同样可得结论.）

方法3：利用定理“三角形的内角和等于180°”“直角三角形的两个锐角互余”.

解析：如图4，过点E 作EF⊥AB于点F， 延长FE交CD于点G，

∵AB[⫽]CD，∴∠BFE + ∠FGD = 180°.

∵∠BFE = 90°，∴∠FGD = 90°.

∵∠B = 90° - ∠FEB，∠D = 90° - ∠GED，

∴∠B + ∠D = 180° - ∠FEB - ∠GED.

∵∠BED = 180° - ∠FEB - ∠GED，∴∠B + ∠D = ∠BED.

方法4：利用定理“三角形的内角和等于180°”“两直线平行，同旁内角互补”.

解析：如图5，连接BD，

∵AB[⫽]CD，∴∠ABD + ∠CDB = 180°，

∴∠ABE + ∠CDE = 180° - ∠EBD - ∠EDB，

∵∠BED = 180° - ∠EBD - ∠EDB，∴∠ABE + ∠CDE = ∠BED.

变式1：如图6，已知AB[⫽]CD，有三点E，F，G在直线AB与CD之间，形成锯齿形，试探究∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间的数量关系.

解析：如图7，过点E作EH[⫽]AB，过点F作FI[⫽]AB，过点G作GJ[?]AB，

∵AB[⫽]CD，∴AB[⫽]EH[⫽]FI[⫽]GJ[⫽]CD，

∴∠B = ∠BEH，∠EFI = ∠HEF，∠IFG = ∠JGF，∠D = ∠DGJ，

∴∠B + ∠EFI + ∠IFG + ∠D = ∠BEH + ∠HEF + ∠DGJ + ∠JGF，

即∠B + ∠EFG + ∠D = ∠BEF + ∠FGD.

规律：如图1、图6所示的锯齿形中，顶点向右的所有角度数之和等于顶点向左的所有角度数之和.

变式2：如图8、图9，已知AB[⫽]CD，有一点E在直线AB与CD的外部，求∠B，∠D与∠E的数量关系.

解析：如图8，∵AB[⫽]CD，∴∠D = ∠α，

∵∠α = ∠B + ∠E，∴∠D = ∠B + ∠E. 同理，如图9，可得∠B = ∠D + ∠E.

1.如图10，直线a[⫽]b，将一个三角板如图放置在平行线间，已知∠1 = 20°，求∠2的度数.

2.如图11，直线a，b和直线c，d分别交于A，B，C，D四点，若点P在A，B两点之间运动，试探究：∠1，∠2与∠3之间满足什么数量关系时，a[⫽]b？

（答案见第31页）