变参数非线性马斯京根分段演算模型研究与应用

罗宇轩　陈华　林康聆　王俊　王金星

摘要：为了更好地模拟天然河道中洪水演进的时空非线性特征，通过构建连续型可变参数的槽蓄方程，在前人研究基础上进一步改进了非线性马斯京根模型结构，并与河道分段演算方法相耦合，提出了一种变参数非线性马斯京根分段演算模型（CVPCS-NMM），并应用于实际案例中。结果表明：CVPCS-NMM取得了比分段马斯京根模型和变指数非线性马斯京根模型（CVEP-NMM）更好的效果，反映出了天然河道洪水过程在时空上的非线性变化特点，表明该模型是一种行之有效的河道演算方法，也为进一步探讨如何将河道分段演算方法与非线性马斯京根模型相结合提供了一种研究思路。

关键词：洪水预报; 洪水演进; 非线性马斯京根模型; 连续型可变参数; 河道分段演算

中图法分类号： P338

文献标志码： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2021.10.015

0引 言

马斯京根模型是应用非常广泛的河道演算方法，当符合其线性假定时模拟精度较好[1]。模型假定如下：① 流量与槽蓄量为单一线性关系，② 各时段流量沿程呈线性变化。然而，天然河道的洪水演进一般具有明显的非线性特征，往往不能满足上述线性假定。因此，为了提高马斯京根模型的适用性，需要对其进行一定的非线性改进。

为了描述槽蓄量与流量间的非线性关系，Gill[2]提出了带指数参数β的非线性槽蓄方程，在此基础上，Easa[3]创造性地引入了无量纲入流变量u来反映参数的时变特性，提出了连续型函数的变指数非线性马斯京根模型。连续型函数建立了参数与入流量间的关系，使参数β具有较好的自适应时变特性。不过，对槽蓄方程的非线性改進，本质上是在解决马斯京根模型时间变化线性假定引起的误差[4]，而自然界中的河道洪水演进还具有空间上非线性变化的特点。

为了改进流量在沿程变化上的线性假定，中国水文专家赵人俊教授于1962年提出了马斯京根模型的分段演算方法[5]。但该方法假定各子河段演算参数是相同的，然而实际中河段特性和水力学特性并不能保证沿程不变，不同子河段对洪水的调蓄作用必然会发生变化。此外，该方法也未考虑槽蓄量与流量间的非线性关系。对该方法的进一步研究也主要针对这两方面，如王煜[6]将子河段参数考虑进演算模型，提出了多河段流量演算方法，不过实际中子河段参数往往未知;孙美云[7]、祝许珂[8]等根据洪峰流量分级建立了分段马斯京根模型的参数率定方案，一定程度上反映了流量与蓄量的非线性关系，但该方法本质上仍是线性马斯京根模型的演算。

基于优势互补思想，若将变参数非线性槽蓄方程与分段演算方法结合，则不仅能描述槽蓄量与流量间的非线性关系，也能使子河段参数具有自适应变化特性，从而更好地体现洪水的时空非线性演进特征。基于此，本文以连续型函数的变参数非线性马斯京根模型为基础，结合分段演算方法，构建了一种变参数非线性马斯京根分段演算模型（Nonlinear Muskingum Model with Continous Variable Parameters and Channel Segmented method，CVPCS-NMM）。最后，通过两个常用洪水数据集以及汉江下游皇庄-沙洋河段的实际洪水案例对模型性能进行了验证。

1.3模型参数优化方法

参数优化算法的性能将很大程度上影响模型的实际应用效果，而本文提出的CVPCS-NMM所形成的参数求解空间维度较高，如何更高效地获得最佳参数是需要考虑的问题。SCE-UA作为一种不依赖导数理论的参数优化算法[10]，在诸多水文模型的高维参数优化问题中都得到了应用[11-13]，也取得了较好效果。本文将以SCE-UA作为洪水演算模型的参数优化算法。

参数优化过程主要包括：确定寻优空间、确定算法参数值、建立目标函数和确定停止迭代准则。其中，参数寻优空间根据几种模型参数特点和经验来分别确定;算法参数和停止迭代准则取迭代次数为5 000，复合型个数为10，迭代收敛判断阈值为0.01%，循环次数为1 000;目标函数取算例1中为SSQ，算例2中为NSE。

2实际案例应用

2.1算例1：Wilson河段和Wye河段洪水数据集

本节所选用洪水数据集是国内外学者[3，14-15]研究非线性河道演进模型的常用案例，被认为体现出了洪水演进的非线性特征[3]。其中，Wilson河段[16]洪水特征表现为光滑的单峰型洪水;Wye河段[17]无支流汇入且旁侧入流量较小，洪水特征表现为不光滑的单峰型洪水。

通过SCE-UA算法，得到CVPCS-NMM在Wilson河段洪水模拟中对应最优参数方案为：Kmin=0.001 3，x=0.321，a=0.103，b=0.451，c=982.04，d=4.360，N=7。在Wye河段洪水模拟中对应最优参数方案为：Kmin=0.000 8，x=-0.391，a=1.573，b=0.742，c=2.16，d=2.799，N=3。同样得到分段马斯京根模型在两河段中最优参数方案，其中Wilson河段为k=25.64，x=0.316，N=10;Wye河段为k=20.53，x=0.410，N=3。CVEP-NMM最优参数方案与文献[3]一致。

CVPCS-NMM、CVEP-NMM和分段马斯京根模型的模拟结果如表1所列。从统计指标总体上来看，CVPCS-NMM的误差平方和SSQ、洪峰误差EQ和峰现时差ET均比其他两种模型更优。同时，与CVEP-NMM的结果相比，CVPCS-NMM在两个数据集中的SSQ分别减小了67.4%和30.1%;EQ分别减小了14.4%和49.0%;ET在Wye河段更小，而在Wilson河段保持一致。相比分段马斯京根模型，CVPCS-NMM在两个数据集中的SSQ分别减小了96.3%和54.0%;EQ分别减小了86.8%和82.5%;ET在Wye河段更小，在Wilson河段则保持一致。

CVPCS-NMM模拟的Wilson河段和Wye河段洪水过程如图1和图2所示。可以看出，对于两种特征不同的洪水案例，CVPCS-NMM模拟的流量过程均能较好地贴合实测出流过程，具有较高的模拟精度。

以Wilson河段为例，给出CVPCS-NMM模拟的各断面流量过程如图3所示。由图3可以看出，流量过程线既表现出了洪水演进的坦化、推移现象，也反映出了流量的沿程非线性分布特点，较好地体现了洪水在时空上的非线性演进特征。

2.2算例2：汉江下游皇庄-沙洋河段场次洪水

汉江下游皇庄至沙洋河段河道长约76 km，区间无较大支流汇入。河道弯曲，洲滩较多，河床宽窄相间，宽段主泓摆动较大，在大洪水作用下，弯道附近有撇弯切滩现象发生[18]。为了进一步验证模型的实际应用效果，选取皇庄-沙洋河段1998～2011年共11场洪水数据，其中1998～2008年作为率定期，2009～2011年作为检验期。

通过SCE-UA算法得到各模型的最优参数方案，其中CVPCS-NMM的最优参数方案为Kmin=4.71，x=-0.213，a=1.140，b=-0.024，c=0.033，d=0.827，N=2;CVEP-NMM的最优参数方案为Kmin=42.02，x=-0.226，a=1.130，b=-0.056，c=95.038;分段马斯京根模型的最优参数方案为k=13.59，x=-0.206，N=2。场次洪水模拟结果的各指标统计值如表2所列，由表2可以看出：

（1） 从流量过程拟合效果看，CVPCS-NMM、CVEP-NMM和分段马斯京根模型的率定期平均NSE分别为0.953，0.944和0.905，检验期平均NSE分别为0.975，0.968和0.951。整体而言，CVPCS-NMM对流量过程的拟合效果要好于其余两种模型，且绝大多数场次洪水的对比结果也反映出CVPCS-NMM为三者中最优。

（2） 从洪峰误差来看，3种模型的率定期平均EPQ分别为3.48%，3.39%和6.97%，检验期平均EPQ分别为2.52%，3.37%和3.25%。除率定期CVPCS-NMM比CVEP-NMM的洪峰误差更大外，整体上看CVPCS-NMM仍为三者中最优。

（3） 从峰现时差来看，在所选用场次洪水中，CVPCS-NMM有7场洪水模拟结果的ET小于分段马斯京根模型，有2场洪水模拟结果的ET小于CVEP-NMM，其余场次洪水3种模型模拟结果的ET基本一致。

以20080721号和20090528号洪水为例，分别由图4和图5展示了3种模型的模拟流量过程线。由图可见，相比其余两种模型，CVPCS-NMM的模拟流量过程线对实测流量的贴合程度更高，洪峰模拟的准确性也更好。

以20080721号洪水的CVPCS-NMM模拟结果为例，各断面流量过程如图6所示。由图6可以看出，各断面流量过程线的变化反映出了洪水波演进过程中的坦化变形与推移现象。也可以看出，相比稳定流时流量沿程趋于线性分布，在涨、落洪阶段河道流量的沿程分布表现出了非线性特点，这与实际情况是较为符合的。

2.3分析与讨论

从图1和图6所展示的洪水流量过程线可以看出，本文所提出的CVPCS-NMM既能使模拟出流更接近实际情况，也能较好地体现洪水波的推移、坦化现象，同时也反映出了流量的沿程非线性分布特点。这是由于通过无量纲入流ut构造了各子河段的变参数非线性槽蓄方程，使各子河段参数能自适应变化，从而将分段马斯京根模型和CVEP-NMM的优势进行了互补，进而更好地反映出洪水演进过程的时空非线性特征。

由表1～2中的模拟结果评价指标可以看出，相比分段马斯京根模型和CVEP-NMM，本文提出的CVPCS-NMM对各案例洪水的模拟效果更好，進一步证明将河道分段演算方法与变参数非线性槽蓄方程相结合的思路是可行的。

3结 论

（1） 本文通过构建连续型可变参数的槽蓄方程，在前人研究基础上进一步改进了非线性马斯京根模型结构，并将其与分段马斯京根模型相耦合，提出了一种变参数非线性马斯京根分段演算模型CVPCS-NMM。结果表明：CVPCS-NMM发挥了CVEP-NMM和分段马斯京根模型的优点，具有比两者更好的模拟性能，也能较好地反映出天然河道中洪水在时空上的非线性演进特征。

（2） 本文所提出的河道演算模型为进一步探讨如何将河道分段演算方法与非线性马斯京根模型相结合提供了一种研究思路。例如，还可以进一步的改进模型结构，以考虑较大区间入流情况下的河道演算;同时，河道流量与演算参数间的函数表达形式也有值得继续探讨的空间。

参考文献：

[1]芮孝芳，张超.Muskingum法的发展及启示[J].水利水电科技进展，2014，34（3）：1-6.

[2]GILL M A.Flood routing by the Muskingum method[J].Journal of Hydraulic Engineering，1978，36（3-4）：353-363.

[3]EASA S M.Evaluation of nonlinear Muskingum model with continuous and discontinuous exponent parameters[J].Journal of Civil Engineering，2015，19（7）：2281-2290.

[4]翟家瑞.马斯京根法几种不同应用形式浅析[J].人民黄河，1994（4）：5-7.

[5]赵人俊.流域汇流的計算方法[J].水利学报，1962（2）：1-9.

[6]王煜.马斯京根多河段流量演算线性方法[J].水文，1995（6）：31-34.

[7]孙美云，刘俊，左君，等.分段马斯京根法在黄河龙潼河段洪水预报中应用[J].水电能源科学，2012，30（8）：44-46.

[8]祝许珂，梁国华，何斌，等.基于马斯京根法的嫩江江桥-大赉段洪水演算[J].人民长江，2018，49（3）：27-31.

[9]TUNG Y K.River flood routing by Nonlinear Muskingum method[J].Journal of Hydraulic Engineering，1985，111（12）：1147-1460.

[10]DUAN Q Y，SOROOSHIAN S，GUPTA V.Effective and efficient global optimization for conceptual rainfall-runoff models[J].Water Resources Research，1992，28（4）：1015-1031.

[11]阚光远，洪阳，梁珂，等.基于GPU加速的水文模型参数率定[J].人民长江，2019，50（5）：69-73，79.

[12]周洋洋，李致家，姚成，等.基于SCE-UA算法的API模型应用研究[J].水力发电，2014，40（4）：13-16.

[13]邢宝龙，薛联青，陈奕，等.基于SCE-UA算法的河网水系水闸调度模拟[J].水资源保护，2013（6）：26-30.

[14]XU D M，QIU L，CHEN S Y.Estimation of nonlinear Muskingum model parameter using differential evolution[J].Journal of Hydrologic Engineering，2012，17（2）：348-353.

[15]KARAHAN H，GURARSLAN G，GEEM Z W.Parameter estimation of the nonlinear Muskingum flood routing model using a hybrid harmony search algorithm[J].Journal of Hydrologic Engineering，2013，18（3）：352-360.

[16]WILSON E M.Engineering Hydrology[M].Basingstoke：MacMillan Education，1990.

[17]NERC.Flood studies report [M].Wallingford：Natural Environment Research Council，1975.

[18]劉超，匡威.汉江中下游2007年洪水水量平衡分析[J].水利水电快报，2008，29（S1）：85，96.

（编辑：谢玲娴）

Abstract：In order to better simulate the nonlinear spatial-temporal features of flood routing in natural rivers，we construct a storage function with continuous variable parameters，and further improve the structure of the nonlinear Muskingum model based on previous researches.Coupled with the channel segmentation calculation method，a Nonlinear Muskingum Model with Continuous Variable Parameters and Channel Segmented method（CVPCS-NMM）is proposed and applied to actual cases.The results show that the simulation effect of CVPCS-NMM is better than the Segmented Muskingum model and CVEP-NMM，which reflects the nonlinear spatial-temporal features of flood routing in natural rivers.It indicates that the CVPCS-NMM is an effective flood routing calculation method and provides a research idea for further discussion of combining the channel segmented method with the nonlinear Muskingum model.

Key words：flood forecasting;flood routing;nonlinear Muskingum model;continuous variable parameter;channel segmented method