一种提高舵机系统动态特性的插值方法

张少应, 陈明哲

(1. 西安航空学院计算机学院， 陕西 西安 710077； 2. 西安电子工程研究所， 陕西 西安 710100)

0 引言

在对舵机系统施加正弦激励信号，进行频率特性测试过程中，舵机指令的密度往往对测试结果起到了至关重要的作用。指令越密集，舵机位置反馈测试曲线越平滑，跟随指令的实时性越好。反之，指令越稀疏，低频时舵机系统的相位延迟越大，高频时舵机位置反馈测试曲线的失真度越高。

为了适应不同密度的舵机指令，保持舵机系统频率特性测试数据的一致性，可以利用插值的方法对指令进行插值计算[1]。插值法种类较多，包括拉格朗日多项式插值、分段线性插值及三次样条插值[2]。在实际应用中，往往要综合考虑插值的精度、效率、运算量等因素来选择合适的插值方法。

本文采用拉格朗日(Lagrange)外插法估算舵机的位置指令，替代接收到的位置指令，通过增加指令点数，注入更加平滑的位置参考输入，从而改善系统的动态响应性能[3]。

1 插值原理

根据给定的函数表构造一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数p(x)来近似f(x)，并使得p(xi)=f(xi)，(i= 0,1,2,…,n)，这就是插值法[4]。

Lagrange插值是n次多项式插值方法，可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。

对某个多项式函数，已知有给定的n+1个取值点为式(1)。

(x0,y0), (x1,y1),…, (xi,yi),…,(xn,yn)

(1)

其中，xi对应着自变量的位置，而yi对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的xi都互不相同，那么应用Lagrange插值公式所得到的Lagrange插值多项式为式(2)。

(2)

其中，每个li(x)(i=0,1,2,…,n)为Lagrange基本多项式(或称插值基函数)，其表达式为式(3)。

(3)

1.1 线性插值

当n=1时，Lagrange多项式插值为线性插值，表示为式(4)。

L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)

(4)

用通过两点(x0,y0)、(x1,y1)的直线y=L1(x)来近似代替曲线y=f(x)，其中插值基函数为式(5)、式(6)。

(5)

(6)

1.2 抛物线插值

当n=2时，Lagrange项式插值为抛物线插值，表示为式(7)。

L2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)

(7)

用通过三点(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)的抛物线y=L2(x)来近似代替曲线y=f(x)，其中插值基函数为式(8)—式(10)。

(8)

(9)

(10)

1.3 外推算法

插值包括内插(Interpolate)和外推(Extrapolate)两种算法。内插算法：通过已知点的数据推求同一曲线上未知点数据。外推算法：通过已知曲线上的数据，推求曲线之外区域的数据[5]。Lagrange插值公式内插算法和外推算法都适用。

频率特性测试时，舵机系统指令的幅度为1°的离散正弦指令，即式(11)。

y=f(t)=1°sin(ωt)

(11)

其中，ω为角频率，单位rad/s；指令间隔时间ΔT为5 ms。为提高指令密度，在每2个5 ms指令之间插入4个指令，将指令间隔时间ΔT缩小到1 ms。

为提高舵机指令的实时性，可采用外推算法对指令进行预测，预测算法可以有效减小延迟影响[6]。根据已知的前几个时刻的指令及当前时刻的指令，分别用线性外推法和抛物线外推法来预测下一个5 ms内的正弦指令变化趋势。

1.4 外推公式推导

(1) 线性外推

线性外推法是最简单的预测法，根据已知两点确定的直线来推断事物未来的变化。设(x0,y0)、(x1,y1)分别为-5 ms、0 ms时刻的指令坐标，根据式(5)、式(6)计算直线的插值基函数，为式(12)、式(13)。

(12)

(13)

根据式(4)得线性外推的指令计算式为式(14)。

(14)

(2) 抛物线外推

抛物线外推法根据已知3点确定的抛物线来推断事物未来的变化。设(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)分别为-10 ms、-5 ms、0 ms时刻的指令坐标，根据式(8)—式(10)计算抛物线的插值基函数，为式(15)—式(17)。

(15)

(16)

(17)

根据式(7)得抛物线外推的指令计算式为式(18)。

(18)

在式(14)、式(18)中，x为时间变量，单位ms，取值为0，1，2，3，4。

1.5 外推算法实现

软件中设置1 ms中断定时器，用于插值计算。实现方法如下。

(1) 当接收到新的舵机位置指令时，将插值计数值清零，即x=0；并将当前的新指令(0m时刻)作为扫频指令；同时进行指令迭代，更新并保存最近2次(线性外推法)或3次(抛物线外推法)的指令；

(2) 当定时器中断发生时，插值计数值x加1，即当x等于1，2，3或4时，根据式(14)或式(18)计算插值后的指令，并将该指令作为本次的扫频指令；

(3) 当插值计数值x等于5时，将计数值x清零，即x=0；

(4) 重复前面的步骤1—3，可实现指令插值。

2 仿真验证

在MATLAB/Simulink下，编写用户自定义的线性外推和抛物线外推函数，对5 ms正弦扫频指令进行1 ms插值。1°，3 Hz离散正弦指令的插值仿真图如图1所示。1°，10 Hz离散正弦指令的插值仿真图如图2所示。

(a) 3 Hz线性插值

从图1、图2中可以看出，指令经过插值曲线更加平滑；指令插值后正弦曲线的相位整体前移；指令频率较低(3 Hz)时，线性插值和抛物线插值效果一致，当指令频率较高(10 Hz)时，抛物线插值的效果明显优于线性插值，因此高频时优选抛物线插值。

在Simulink下，保持某舵机系统所有控制参数不变的条件下，将抛物线插值后的指令作为正弦激励信号，对舵机系统的频率特性进行仿真。1°，3 Hz正弦指令插值前后舵机系统的动态响应情况，如图3所示。

从图3中可以看出，指令插值后，舵反馈信号跟随指令信号的实时性更好；当指令过零点时，舵反馈信号过零点的时间在插值前是0.352 s，而在插值后是0.344 s，滞后时间减小了8 ms。

(a) 10 Hz线性插值

(a) 插值前频率特性

3 测试验证

针对某舵机系统频率特性测试时，低频相位超差问题，在不改变系统物理特性的条件下，仅更改了控制软件，对5 ms测试指令采取了1 ms抛物线插值处理。经测试，舵机系统相位延迟明显改善，测试结果如表1所示。

表1 频率特性测试比对表

控制软件增加插值后，对软件进行回归测试，分别施加正弦、方波及三角波指令对舵机系统的功能及性能进行测试。测试发现：当正弦指令的频率大于10 Hz时，指令插值对系统相移指标没有影响。因此，增加了指令插值的限定条件，仅当指令变化不大于0.3°时进行插值，这样有效降低了高频正弦指令在波峰和波谷处的失真度。

4 总结

对舵机系统位置指令进行外推插值细分，获得在时间上更加密集的指令数据，是减小舵机系统低频相位延迟行之有效的方法。它不需要更改舵机系统的硬件，只需对软件进行局部更改，就能显著提高系统的频率特性。该方法具有计算简单、易于工程实现的特点，既可以有效消除系统的延迟，又不会因为算法本身的复杂性而产生新的系统延时。