含有积分测量和时滞的T-S模糊系统的H∞故障诊断

孔 旭，封学欣，王友清

(山东科技大学 电气与自动化工程学院，山东 青岛 266590)

在现代工业系统中，控制系统的可靠和安全具有十分重要的意义。设备和组件的复杂性不断增加，且对各种意外故障越来越敏感，这些都会导致系统性能降低，故障检测与诊断受到了越来越多的关注。故障检测与诊断方法一般可分为两大类，即基于系统模型的方法和不依赖系统模型的方法[1]。其中，不依赖系统模型的方法如主元分析(principal component analysis，PCA)方法已被广泛应用于工业过程故障检测[2-3]。基于系统模型的方法中，故障诊断主要研究如何对系统中出现的故障进行检测、分离和辨识,即判断故障是否发生,定位故障发生的部位和种类,确定故障大小和发生时间等[4]。故障检测的主要思想是构造残差，与设定的阈值进行比较，以判断故障是否发生[5-6]。文献[7]根据空间几何理论推导出车间距的残差发生器，设计了自适应阈值的残差决策模块来分隔故障，从而达到车队故障检测与隔离的效果。对于具有多执行器的系统，故障发生后，对故障执行器进行定位，可为后续容错控制提供必要的故障信息[8]。文献[9]在复杂网络模型中引入系统非线性以及耦合发生概率的不确定性，并考虑常见的传感器故障类型，应用增广状态方法对得到的增广系统设计基于观测器的分布式估计器，实现在线故障估计。故障估计可以提供故障大小和方向等信息[10]，现有的故障估计方法主要包括自适应观测器方法[11-13]、高增益观测器方法[14]、干扰观测器技术和滑模观测器[15-17]等。

在大多数故障诊断研究中，通常假定测量输出取决于当前时间步长的系统状态。实际上，由于数据收集和实时信号处理可能会受到延迟的影响，因此在给定时间段内，系统测量值可能与系统状态的积分成比例关系，这种现象称为积分测量，积分测量现象通常发生在化学过程和核反应过程等工程应用中。在对化学过程中的质量和变量(例如浓度)进行测量时，因为采样较少，并且所涉及的分析时间较长，因此会存在延迟。此外，由于化学样品某些质量和变量的测量是一段时间内组合物状态的函数，依赖于过去某个时刻的状态，延迟测量还可以是过去一定时间段内状态积分的函数，这就是积分测量在化学过程中的体现。

在网络通信中，时滞问题主要存在于信息从传感器到控制器和从控制器到执行器的过程中，受时滞问题的影响，系统的性能会变差甚至不稳定。文献[18]将时滞建模为马尔科夫链，研究了带有时滞影响的网络化控制系统的H∞滤波问题，再通过求解线性矩阵不等式得出滤波器的充分条件。文献[19]讨论了一类具有混合随机时滞和数据丢包的新型网络化非线性系统，并研究了此类系统的H∞滤波问题，提出了滤波器存在的充分条件，确保系统是渐近稳定的并且满足H∞性能。文献[20]讨论了含有分布式时变时滞的随机系统的鲁棒L-/L∞滤波问题，目的是设计一个全阶滤波器，使得所产生的滤波误差系统在满足L-/L∞性能的情况下是渐近稳定的，最后通过求解线性矩阵不等式，获得滤波器的增益矩阵。文献[21]主要研究了具有随机时滞的线性离散时变系统的故障检测问题，通过将数据信息结合到滤波器中，作为残差生成器进行故障检测。文献[22]研究了含有不确定时变时滞的网络控制系统的故障检测，将不确定时变时滞转换为随时间变化的多变量不确定性，极大地方便了残差产生器的设计，再通过残差与设定阈值的比较，判断系统是否发生故障。文献[23]研究了含有时变时滞和执行器故障的非线性离散系统的故障估计和容错控制问题，将此非线性系统用T-S模糊模型表示，并在子模型中添加非线性函数，用更少的模糊规则和计算量来设计观测器和控制器。随着网络通信技术的快速发展和广泛应用，时滞问题也变得越来越复杂，在复杂网络化环境下，在T-S模糊模型的基础上考虑时滞问题进行故障诊断的研究成果相对较少，仍需继续研究。

文献[24]研究了时滞和积分测量相结合的状态估计问题，针对如何处理测量中包含的积分特性这一难点问题，通过将含有延迟和积分测量的实际过程重新构造为等效的变维系统来解决，在新模型基础上，提出一种变维无迹卡尔曼滤波器(variable dimension unscented Kalman filter，VD-UKF)来估计状态；由于传统无迹卡尔曼滤波器(UKF)方法中雅可比矩阵可逆性的假设对于 VD-UKF不再有效，作者提出了VD-UKF稳定性的重要判别条件。文献[25]研究了具有部分解耦干扰和积分测量的离散系统的状态估计和故障重构问题，所考虑的积分测量值(在一段时间内作为系统状态的函数)反映了样本采集与实时信号处理之间的时间间隔。

实际的工业系统中更多的是非线性系统，而T-S模糊模型可以近似甚至代替一般非线性系统，基于此，可将一般的非线性系统故障诊断问题转化为T-S模糊系统的故障诊断问题[26]。T-S模糊模型通过隶属度函数将复杂的非线性系统转化为线性系统的组合，再利用传统的线性系统理论对系统进行分析处理，该模型结构简单，数学描述方便，有利于系统分析和控制器设计。T-S模糊模型系统的H∞跟踪控制、非脆弱滤波控制、鲁棒耗散控制、故障检测[27]等各种问题得到广泛研究。T-S模糊模型作为将非线性系统转化为线性系统组合的强有力工具，对T-S模糊系统进行故障诊断具有重要的理论和实际意义。

本研究针对含有积分测量、时滞、执行器故障和传感器故障的T-S模糊模型，建立H∞观测器进行故障估计。将传感器故障与状态合并为扩维状态向量，来实现对传感器故障的估计。利用H∞观测器对执行器故障进行估计，在估计状态的同时估计执行器故障和传感器故障。对含有时滞的系统，选取李雅普诺夫函数，并对线性矩阵不等式求解可得观测器的增益矩阵，使得系统满足H∞性能。

1 问题描述

考虑带有积分测量、时滞、执行器和传感器故障的离散T-S模糊模型。模糊模型的第i条规则具有以下形式：

(1)

假设1v(k)∈l2，

(2)

假设2假设执行器故障信号是平滑且有界的，并且采样周期T足够短，对于所有k∈N，执行器故障满足0≈fa(k+1)-fa(k)，即执行器故障是恒定和变化缓慢的。

(3)

通过对积分测量一项的处理，将T-S模糊系统(1)转化为常见的系统形式，从而方便对该系统进行进一步分析。

2 H∞观测器的建立和稳定性分析

为了对状态和传感器故障进行估计，针对T-S模糊系统(3)，建立观测器

(4)

引理1[25]存在矩阵H∈R(s+1)n+e)×m，G∈R((s+1)n+e)×n，使得

(5)

状态估计误差e(k)可以被定义为：

(6)

考虑式(4)和式(6)，可以获得k+1时刻的状态误差公式为：

(7)

GAi-NiGE-L1iC=0。

(8)

通过式(8)，可以对观测器的参数矩阵Ni和L1i进行设计，得到

Ni=GAi-KiC，Ki=NiH+L1i，

(9)

其中Ki为未知矩阵，在引理1中通过求解线性矩阵不等式(17)可以求得。

因此，状态估计误差(7)可以重新被写为：

(10)

根据式(3)和式(4)，可以获得：

(11)

那么执行器的故障误差只与执行器故障误差、状态误差和噪声有关。

(12)

(13)

为了后续计算方便，将式(13)简化为：

(14)

这里，化简后的参数矩阵为：

(15)

等价于

(16)

定理1如果存在对称正定矩阵P1∈R(s+1)n+l，P2∈Rq，Q1∈R(s+1)n+l>0和Q2∈Rq>0，适维矩阵S1i和S2，使得下列矩阵不等式同时成立：

(17)

证明：系统满足性能：

(18)

(19)

即当干扰为0，k趋向于无穷时，误差为0；干扰不为0时误差的范数可以被干扰的范数所包含。

针对含有时滞的T-S模糊系统，选取以下李雅普诺夫函数：

V(k)=V1(k)+V2(k)，

(20)

(21)

需要使李雅普诺夫函数满足：

(22)

这里，ΔV(k)=V(k+1)-V(k)，λ>0。

如果v(k)≡0,k=0,…,∞，则式(22)被重写为：

(23)

如果v(k) ≢0,k=0,…,∞，则式(22)被重写为：

(24)

式(24)可写为：

(25)

因为e(0)=0，可以得到V(0)=0，进一步可得

(26)

并且

(27)

根据式(26)和式(27)，最终可以得到：

(28)

(29)

这里，

显而易见，Ui必须为负定矩阵，并且矩阵Ui可以被重写为下式：

(30)

利用引理2，可以将上式变换得到：

(31)

这里，由于P，Xi和Yi均为未知项，所以不等式(31)存在非线性项，不能对其进行求解。为此，需要进一步化解得到：

(32)

(33)

(34)

根据参数矩阵可进一步化简得：

(35)

令S1i=P1Ki，S2=P2L2，可以进一步得到：

(36)

3 仿真验证

为了验证对含有时滞和积分测量的T-S模糊系统建立H∞观测器方法的有效性，下面利用MATLAB进行数值仿真验证。考虑由两个局部模型T-S模糊模型(r=2)表示的非线性系统

其T-S模糊系统的参数矩阵设定如下：

在MATLAB中利用求解线性矩阵不等式的工具箱，求得线性矩阵不等式有可行解，得到：

根据线性矩阵不等式的求解，可以进一步获得观测器的增益矩阵为：

L2=[-2.198 4 -2.496 0]。

这里设置控制输入为u(k)=[0.5 0.7]T，选取=0.375。

使用本研究提出的方法对含有时滞和积分测量的T-S模糊进行仿真。系统的状态向量的3个子状态及观测器对其的估计值如图1、图2和图3所示。执行器故障向量fa的轨迹及观测器对执行器故障的估计如图4所示。传感器故障向量fs的轨迹及其估计如图5所示。通过观测器对系统状态x(t)、执行器故障fa和传感器故障fs的估计效果，来证明所提方法的有效性。

图1 状态向量 x1(t)及其估计值 Fig. 1 State vector x1(t) and its estimated value

图2 状态向量x2(t)及其估计值Fig. 2 State vector x2(t) and its estimated value

图3 状态向量x3(t)及其估计值Fig. 3 State vector x3(t) and its estimated value

图4 状态向量 fa(t)及其估计值

由图4可见，根据仿真设定，在60到100 s时刻，系统发生执行器故障，通过H∞观测器对执行器故障进行估计。在0到60 s时间段，H∞观测器能够快速实现并保持对执行器故障的精确估计。当系统在60到100 s发生执行器故障时，H∞观测器对执行器故障仍有着很好跟踪能力；在100 s及以后，执行器故障归零，H∞观测器对执行器故障的估计值也快速更新为0，证明所设计H∞观测器对执行器故障有着很好的估计能力。根据仿真设定，系统在140到160 s时，系统发生传感器故障，因为将传感器故障与状态扩维到一起，所以利用H∞观测器对状态进行估计也可以得到传感器故障的估计值。从图5中可以看出，在0到140 s时间段，观测器能够快速实现并保持对传感器故障的精确估计。当系统在140到160 s发生传感器故障时，H∞观测器对传感器故障仍然有着很好跟踪能力，在160 s及以后，传感器故障归零，H∞观测器对传感器故障的估计值也快速更新为0，观测器的估计值对传感器故障有着很好的跟踪能力，证明了所提方法的有效性。

图5 状态向量fs(t)及其估计值Fig. 5 State vector fs(t) and its estimated value

4 结论

T-S模糊模型是处理非线性系统的有力工具，所考虑的积分测量在过程工程中具有明显的实际意义，且时滞在通信网络中普遍存在，为了对执行器故障和传感器故障进行估计，首先将传感器故障与状态合并为扩维状态向量，在构建H∞观测器估计扩维状态的同时估计执行器故障，其中传感器故障通过对状态的估计得到。然后，通过设置李雅普诺夫函数并求解线性矩阵不等式，求得观测器的相关参数矩阵，使系统满足稳定。最后通过数值仿真，对状态和故障的实际曲线和估计曲线进行分析，H∞观测器在系统未发生故障、发生执行器故障、发生传感器故障及故障消失等情况下，对系统状态以及执行器故障或传感器故障具有很好的估计能力，验证了该方法的有效性和准确性。由于网络资源和带宽的限制，事件触发机制被引入到控制系统中，是最近国内外研究的一个热点问题。并且通讯协议作为缓解网络数据传输压力的另一种有效手段，二者的有效结合具有很好的研究价值。对含有事件触发机制和网络通讯协议的T-S模糊系统进行故障诊断这一难题，值得后续进行深入研究。