微分工具与积分工具之比较

2021-12-06邢秀侠

科技视界 2021年32期

关键词：三大法宝积分法乘积

邢秀侠

（北京工业大学理学部，北京100124）

0 引言

众所周知，高等数学的核心内容是一元函数的微分（求导）和积分，透彻理解这两个概念，尤其是熟练掌握它们的计算是非常重要的。求微分（求导）和求不定积分有着各自的工具，因为这两个运算是互为逆运算的关系，所以它们的计算工具之间也存在着密切的联系。

接下来，本文将详细梳理求微分（求导）和求不定积分的主要工具的建立过程，并分析这些工具各自的特点以及它们之间的密切联系和区别。因为求导和求微分的主要工具本质上是一样的，所以下面我们仅以求导为例来说明求微分（求导）的工具。

1 求导的主要工具

在高等数学教材中，建立常用的求导工具需要以下五步。

1.1 引出导数的定义

教材中通常先由两个典型例子（切线和瞬时速度）引出导数的定义。这个抽象的定义是通过极限给出的，直接用来求导通常是比较困难的。

1.2 导出部分基本初等函数的求导公式

直接利用导数的定义，可求出常函数、指数函数、对数函数和三角函数中的正（余）弦函数的导数，其余基本初等函数的求导则依赖于后面的求导法则。

1.3 建立求导法则

从导数定义出发，利用极限的抽象理论，建立若干求导法则，可使求导问题系统化。它们分别是四则运算、复合运算和反函数的求导法则。其中复合运算的求导法则是后续建立其它求导法的基础，因此相对更重要一些。

1.4 导出其它基本初等函数的求导公式

由上面的导数公式和求导法则，剩余几类基本初等函数的求导公式都可以推导出来，具体过程如图1所示。

图1 公式推导过程

1.5 建立其它特殊的求导法

利用复合运算的求导法则，还可以针对隐函数、幂指型函数和参数方程所确定的函数发展特殊的求导法。

在上面这些求导工具中，最重要的工具是基本初等函数的求导公式、四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，它们被称为求导的三大法宝。

2 求不定积分的主要工具

建立求初等函数不定积分的工具通常需要下面四步。

2.1 导出一些较简单函数的不定积分公式

由不定积分的定义，在每个基本初等函数求导公式的右端添加上积分号，左端去掉求导符号并加上任意常数、就直接写出了一些函数的不定积分的公式，包括常、幂、指数函数，部分三角函数[正（余）弦、正（余）割的平方、正（余）割与正（余）切函数的乘积]、还有分式和无理式。于是基本积分公式表1就产生了。

2.2 建立不定积分的线性性质

与求导运算类似，不定积分也有线性性质。如果求两个函数和（差）的不定积分，可以分别求这两个函数的积分，然后再相加（减）。另外，积分符号里的常数因子可以与积分符号交换次序。

利用前两步得到的工具，仍然只能求解有限的较简单函数的不定积分，因此还要利用求导的法则继续发展一些高等的积分法。

2.3 导出第一、二类换元积分法

与复合函数的求导法则相对应，不定积分有第一、二类换元积分法，利用它们可以推导出一些三角函数[包括正（余）切、正（余）割函数]、分式无理式（其中a为常数）的积分公式，它们组成了不定积分的基本公式表2。

两类积分法之间也有特殊的联系。从换元积分法公式的形式上看，把第一类换元积分法的公式从右往左倒过来用，就得到了第二类换元积分法，反之亦然。

第一类换元法适合处理两个函数的复合与内层函数的导数乘积的不定积分，最关键的是把内层函数的导数与自变量微分的乘积凑成内层函数的微分，因此第一类换元法也被称为凑微分法。

第二类换元法中最典型的变换分别是三角、根式和倒代换，它们可以处理被积函数含有根号、分式（无理式）的分母上次幂较高的情形。第二类换元法的代换有很多种，在求不定积分时，具体的变换依赖于被积函数的形式。

2.4 导出分部积分法

由乘积的求导法则，可以推出分部积分法，用它可以求两个不同函数乘积的不定积分，特别适用于求反三角、对数、幂、三角和指数函数中的其中两类函数相乘时的不定积分。

至此，得到了所有的求不定积分的工具，其中不定积分基本公式、两类换元法和分部积分法被称为积分的三大法宝。

3 求导的工具与积分的工具之间的联系

求导的工具与求不定积分的工具之间存在着密切的联系，可以说正是由求导的三大法宝分别推导出了积分的三大法宝，具体对应关系如图2所示。

图2 求导公式对应的积分法

4 求导工具与积分工具的对比

求导有三大法宝，积分也有相应的三大法宝。虽然两者的工具个数相同，但从适用范围上来看，求导的工具比积分的工具强大很多。求导对于函数的复合和四则运算都有相应的法则。但不定积分仅对函数的加和减的运算有对应的积分法，对于函数的乘积，仅有第一换元法和分部积分法，且只能处理一些特殊的函数乘积的情形；对于两个函数的商和复合的运算，都没有专门的积分法。