谈一谈有关应用题题型与数学建模的高三复习备考

陈祺

2021年是全新高考模式的第一年，高考数学也将随着进行全新的改革。主要有以下几个特点：一、《高考数学考试说明》中提出要着重体现数学核心素养，要突出数学试题的能力立意，坚持素质教育导向。所谓数学六大核心素养，是在数学课程标准中提出的，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。二、高考数学不分文理科。我们一般认为，新高考数学试卷的难度会比以往文科数学难度加大，比以往理科数学难度相应减小。具体体现为试卷的阅读量将进一步增大，重点考查学生理解题设、分析问题、运用知识等方面的能力。三、把高考内容与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际紧密结合，通过设置真实问题情境，来考查学生灵活运用所学知识分析解决实际问题的能力，引导学生从“解题”走向“解决问题”。

综合以上高考数学改革的几个主要方向，我认为，新高考数学将进一步增大创新试题的呈现方式和设问方式，让学生从不同角度认识问题，鼓励学生主动思考、发散思维，激发学生的想象力和思想张力。全新高考数学将突出考查学生利用數学建模，运用数学工具解决实际问题的能力。

从以往全国卷数学命题的模式来看，对于学生应用题能力的考查，解答题主要集中在概率统计这道题目这里。但是按照新高考改革趋势来看，我们还需要加大对学生数学建模能力的进一步培养，应该做好对各个主干知识应用题的全面准备。下面，我将举几个例子，说明在高考备考过程中，对于数学建模和应用问题能力的全面训练，是十分有必要引起高度重视的。

1.解三角形模型的应用题：这种类型的问题在教材中出现最为广泛，运用好解三角形的工具，可以解决大量有关长度，高度，角度，面积的实际问题。

例：右图为某公园整改计划的平面图，经过丈量，图中半径为R的圆是该公园的整体占地区域，此圆的内接四边形ABCD是绿化用地，经丈量得绿化用地边界AB=1千米，BC=CD=2千米，AD=3千米.

（1）求绿化用地ABCD的面积和公园整体的占地面积;

（2）为提高绿化覆盖率，在保留边界AB，BC不动的基础上，对边界CD，AD进行调整，在圆弧ADC上新设一点D′，使改造后新的绿地ABCD′的面积最大，求最大面积.

答：绿化用地ABCD的面积为2平方公里，公园整体的占地面积为73π平方公里.

答：改造后，当△ACD′为正三角形时，新的绿地ABCD′的面积最大，为平方公里.

2.数列模型的应用题：有关增长率、存款复利、分期付款等与年（月）份的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题主要看自变量是否与正整数有关.

例：某区2021年新增财政收入为500万元，其中包括新增税收收入200万元.计划以后每年新增财政收入比上一年增长10%，且税收收入比上一年增加50万元.

（1）该区到哪一年新增税收收入累计首次不低于3000万元？

（2）是否存在连续两年，当年新增税收收入占新增财政收入的比例保持不变？并说明理由.

解：（1）设2021年为n=1，依题意，每年新增税收收入是以200为首项，50为公差的等差数列，从而n年内新增税收收入之和为，

答：到2028年新增税收收入累计首次不低于3000万元.

（2）依题意，每年新增财政收入是以500为首项，1.1为公比的等比数列，设第n年新增税收收入占新增财政收入的比为，

答：2027年和2028年，新增税收收入占新增财政收入的比例保持不变.

3.圆锥曲线模型的应用题：以圆锥曲线为载体的应用题常见与圆、椭圆、双曲线、抛物线等相关的图形。解决此类问题的关键，在通过于建立适当的直角坐标系，将几何问题转化为代数问题。如果题目还涉及到最值问题，又常常运用基本不等式等工具进行求解。

例：某个文物古迹的俯视图恰好为半圆AOB，直径AB长200米.文物保护部门计划在直线l上选定一点C，修建参观线路C-D-E-F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形.设，修建每1米参观线路的费用为500元

（1）用t表示线段的长;

（2）求修建该参观线路的最低费用.

解：设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，DQ=QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.

所以，建该参观线路的费用的最小值为万元.

4.函数模型的应用题：主要涉及的函数有分段函数、三次函数等，问题的难点是利用所给条件，适当引进变量，建立函数解析式。如果题目还涉及到最值问题，又常常运用导数进行求解。

例：某销售部门决定对本部门员工实行年度销售额奖励计划，拟制定个人年度销售额在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的奖励方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①个人年度奖励总金额y（万元）随个人年度销售额x（万元）增加而增加;②个人年度奖励总金额不低于个人年度销售额的5%;③个人年度奖励总金额不超过0.8万元.

当x=10时，y有最大值0.74万元，小于0.8万元，满足条件③.

故该函数模型不符合该单位奖励方案.

数学应用性问题是新高考命题的主要趋势之一。解答应用题关键是要深刻理解题意，会把文字语言转化为数学的符号语言，这就需要我们建立恰当的数学模型。解应用题的一般步骤是：

1.读题：阅读和深刻理解题目的所有条件，找出主要关系。注意区分清楚题目中的研究对象，设置正确的自变量x和函数值y。

2.建模：把主要关系数量化、符号化，抽象成数学问题，即转化为一个数学表达式，注意要根据实际意义写出函数的定义域。

3.求解：化归为纯数学问题，选择合适的数学方法求解，往往是转化为求函数的最值等等。

4.作答：根据解答结果，回答问题的解决情况。

四个步骤用框图可简单表示为：

就目前高中教育改革和高考变化趋势来看，通过增强试题的灵活性和开放性，采取多样形式，降低题海战术、机械刷题的效果，真实地考查考生的数学能力，是一个很重大的必然方向。我们在高考复习备考的过程中，不要只是一味训练解题技巧，而要真正引导基础教育向素质教育扎实推进。

有关数学应用性问题，除了概率统计以外，函数、数列、不等式是较为常见的模型，而三角、立体几何、解析几何等模型也不容忽视。从高考的改革方向来看，将来很可能不止是选择题与填空题会出现应用题，甚至会有多道解答题都是以应用题的形式作为考点。我们必须在平时的高考复习过程中，做好全面的准备。在教学中注重培养学生思维的灵活性与创新性，注重训练学生阅读理解能力和试题分析求解的全过程，充分挖掘典型题目的内在价值与迁移功能。通过适当设计一些新背景题、创新题来培养学生的思维能力与创造意识。加强对学生数学核心素养的培养，用数学眼光观察世界、分析世界、解决问题。