在数学建模中提升学生的学习力

段景红

（东海县驼峰中心小学，江苏 连云港 222313）

东北师范大学史宁中教授认为，学生的数学核心素养有三：抽象、推理和建模。所谓数学建模，是指学生对现实问题进行数学抽象，并用数学语言表达问题，用数学思想方法解决问题的过程。数学知识，从根本上说，是一个个数学模型。在小学数学教学中，教师要培养学生的数学建模意识，提升学生的数学建模能力和建模应用水平。在数学建模过程中，教师要引导学生经历数学知识的“再创造”，把握学生的数学建模起点，激发学生的数学建模需求，组织学生的数学建模过程，促进学生的数学模型应用与创新。

一、激发学生的数学建模兴趣

数学模型离不开赖以建构的现实原型。一般来说，数学模型的现实原型有学生的生活原型、经验原型等，如哥尼斯堡的七桥问题就是一笔画的生活原型。教师可以通过创设情境，唤醒、激活学生的生活经验，从而激发学生的数学建模兴趣，调动学生的数学建模的积极性，让学生产生数学建模的内在需要。蕴含数学模型的原型情境能深化学生的感知。教师还可以引导学生对生活原型进行简化、提炼、抽象，进而形成能反映生活原型的数学模型雏形。这样的数学教学更能有效激发学生的数学建模意识。

现实原型能让学生产生对数学建模的兴趣、需求。如教学“一一间隔排列”这部分内容时，笔者就为学生提供了丰富的现实原型，包括夹子手帕、木桩篱笆、兔子蘑菇等。通过感知，学生能直观观察到物体的间隔排列现象，并将其简化、提炼、概括成这样的规律，即“两端物体相同，两端物体的数量比中间物体的数量多一个”“两端物体不同，两种物体的数量相等”。在深入感知、观察的基础上，笔者引导学生用数学学具，如小棒圆片、三角形圆片等，表征生活原型，操作生活原型，引导学生动手操作。通过“做中学”引导学生将外显的动作、映象，内化为自我的认知表象，建立稳固的表象支撑。在此基础上，引导学生用数学符号来抽象、概括，进而建构“一一间隔排列”的数学模型。在这个过程中，学生经历了数学知识的符号化历程，完成了数学学习的第一次转化，即将生活原型转化成数学模型。这个过程，也就是荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔所说的“横向数学化”。从生活原型到数学模型，笔者充分拓展了学生的数学思维，提升了学生对数学认知、符号的概括水平。

在小学数学中，我们随处可以看到生活原型的影子。从某种意义上说，小学数学就是学生生活原型的投射。引导学生经历从生活原型到数学模型的抽象概括，有助于学生感受、体验数学模型的价值，这能让学生认识到数学在生活中无处不在。只有不断丰富生活原型，才能让学生感受、体验数学模型。

二、引导学生经历建模过程

小学数学建模教学，需要教师采用适当的策略，尤其是“纵向数学化”策略（在数学世界中的模塑），引导学生思考、探究问题的本质。在这个过程中，教师要丰富学生的数学建模内容，指导学生数学建模方法，展示学生的数学建模过程。瑞士教育心理学家皮亚杰认为，一切真知都应由学生自己获得，或者由学生自己重新发明。在数学教学中，教师可以引导学生积极猜想，经历“猜测、验证”的探究过程。

比如，在教学“图形的放大与缩小”时，笔者首先运用多媒体课件向学生展示了班级某个学生的全家福，然后相继出示了四张放大版的全家福照片，其中有三张放大版的全家福分别只放大了长和宽，以及长宽放大的倍数不同。这样的感知活动，激发了学生的数学建模兴趣，调动了学生进行数学猜想的积极性。有的学生认为，图形的放大或者缩小会改变图形的形状；有的学生则说，图形的放大或缩小不需要用鼠标拖住长边或者短边，而应当拖住长方形的四个顶点；还有的学生说，图形放大或缩小的倍数应当是每一个部位放大缩小的倍数。在学生猜想的基础上，笔者引导学生画图、测量，让学生真正认识到，在图形放大或缩小的过程中，每条边放大或缩小的倍数是相同的。在这个过程中，学生在大脑中逐步建构起图形放大或缩小的数学模型。这样的教学，为学生后续学习数字比例尺等知识，奠定了坚实的基础。

建构数学模型，教师要引导学生多思考、多分析、多探究。数学模型的建构往往要经历数学的抽象化、思想化的提炼。数学建模的过程就是将生活实践中的原型转化成数学模型的过程。但是，数学模型不等于生活原型，它常常需要经历一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的过程。在这个过程中，人们往往舍弃了次要、非本质的因素，而抓住了本质、关键的要素。

三、引导学生应用数学模型

建构了数学模型之后，教师要引导学生将数学模型应用于生活实践中。教学时，教师要引导学生对数学模型赋予意义，引导学生对数学模型进行积极应用。意义赋予的过程，是学生在数学建构过程中的二次转化，即对数学模型进行解释和应用，从而彰显数学模型的效能。一般来说，学生数学认知的过程是一个从感性到理性，然后回归生活的循环往复、螺旋上升的过程。通过这样的一个过程，学生能真切感受、体验到数学模型的意义和价值。

在数学教学中，用数学模型来解释、指导实际问题的解决，是让学生感受、体验数学与外部世界关联的重要路径。数学模型的意义赋予，有助于培养学生丰富的想象力、敏锐的洞察力。比如，在教学“认识方程”时，笔者通过学生生活中的原型——秋千、天平等，引导学生建构等式模型、方程模型之后，提出了一系列的实际问题。在引导学生运用方程模型解决实际问题的过程中，笔者重点让学生从实际问题中提炼关键句，从关键句中提炼数量之间的相等关系，然后引导学生列方程。应该说，数学模型的应用是讲究技巧的，如“怎样有效地设定未知数”“怎样有效地找出问题中的等量关系”。方程模型的应用能逐步引导学生将未知量和已知量看成具有同等地位、同等作用的量，将未知量和已知量一起思考。教师通过方程模型的应用，逐步引导学生从传统的算术思维向代数思维过渡。应用方程模型既丰富了方程的数学内涵、关系内涵，又凸显了数学模型的抽象性和普适性。方程模型的应用为学生以后的代数学习奠定了坚实的基础。

数学模型的解释、应用，是引导学生体会、感悟数学模型思想的重要环节。数学模型来自于学生的经验生活，又服务于学生的经验生活。数学模型的价值集中体现在数学模型不是解决“某一个”数学问题，而是解决“某一类”数学问题。适度拓展、延伸数学模型的应用，不仅能让学生认识到数学模型的意义和价值，彰显数学模型的魅力，还有助于激发学生的数学学习兴趣，增强学生的数学应用意识，提升学生解决数学问题的能力，从而培养学生的数学核心素养。