一组几何不等式的解析函数形式

马 磊， 宾 芮， 董 旭

（1.广东茂名幼儿师范专科学校理学院，广东茂名525200；2.重庆师范大学数学科学学院，重庆400047）

1 引言

等周不等式源于等周问题，是几何中著名的不等式之一，对数学诸多分支的发展起到了重要的促进作用.平面上的等周不等式等价于分析中著名的Wirtinger不等式和一维的Poincare不等式[1-3]；高维空间中的等周不等式与分析中的Sobolev不等式等价[4]；仿射不变性的Sobolev型不等式等价于著名的Petty投影不等式[5，6].目前，研究具有几何背景的分析不等式已经成为凸几何分析中的热点问题[7，8]，另外部分分析不等式也与算子类不等式密切相关[9].

设为平面上的简单闭曲线所围成的闭凸区域，则其边界周长，面积，最大内接圆半径，最小外接圆半径，满足如下形式的几何不等式[10-12]

设p（θ）为平面上包含原点的具有光滑边界的闭凸区域K的支撑函数（即p（θ）是以2π为周期的C2（二阶连续可微）函数），则p＞0，曲率半径ρ=p+p″＞0，周长面积参见[1]，[3]）.特别地，当K关于原点对称时，p（θ）=p（θ+π）.故当K关于原点对称时，p（θ）为以π为周期的函数.设K的最大内接圆半径与最小外接圆半径分别是r=min{p∶0≤θ≤π}，R=max{p∶0≤θ≤π}.因此，当K关于原点对称时，不等式（1）等价于下面一组分析形式的不等式.

设p（θ）是以π为周期的C2（二阶连续可微）函数，且p（θ）＞0，p（θ）+p″（θ）＞0，若m=min{p∶0≤θ≤π}，M=max{p∶0≤θ≤π}.本文的主要目的是证明几何不等式（1）的分析形式：

2 主要引理

下面的引理由Green-Osher在文献[13]中利用傅里叶（Fourier）级数的方法得到，这里我们应用Scheeffer在文献[14]中的方法给出一种不同形式的证明.

引理1设a＞0，u（x），u′（x）∈L2[0，a]，且u（0）=u（a）=0，则

证明由于

而u（0）=u（a）=0，且

所以

引理2设v（x），v′（x）∈L2[a，b]，其中b＞a＞0，v（a）=v（b）=0，则

证明令u（x）=v（x+a），因为v（a）=v（b）=0，则v（0）=v（b-a）=0.由引理1可知

作变量替换y=x+a，则故dy=dx.故

即

引理3设w（x）是以T＞0为周期的连续函数，则对于任意的a都有

证明设x=t+T，有dx=dt，则

因而

3 主要结论

定理1设p（θ）是以π为周期的C2（二阶连续可微）函数，则

证明令v（θ）=p（θ）-p（θ0），因为p（θ）是以π为周期的函数，则

由引理2可知

即

由p（θ）是以π为周期的函数，结合引理3可知

因此

又因为

故

推论1设p（θ）是以π为周期的C2函数，则

定理2设p（θ）是以π为周期的C2函数，且p（θ）＞0，p（θ）+p″（θ）＞0，若m=min{p∶0≤θ≤π}，M=max{p∶0≤θ≤π}，则

证明因为m=min{p∶0≤θ≤π}，M=max{p∶0≤θ≤π}，则存在θm，θM∈[0，π]使得，m=p（θm）≤p（θ）≤p（θM）=M.又因为p（θ）＞0，p（θ）+p″（θ）＞0，则

所以

由推论1可知

由于m=min{p∶0≤θ≤π}，则存在θM∈[0，π]使得，p（θm）=m.在定理1中取θ0=θm可得

又由于M=max{p∶0≤θ≤π}，则存在θM∈[0，π]使得，p（θM）=M.在定理1中取θ0=θm，可得

综上，可知不等式（7）成立.