怎样运用倒数法解题

缪吴伟

倒数法是解答初中数学代数问题的一种重要方法.在遇到代数式求值或方程求解的问题，直接求解比较困难时，可仔细观察式子的结构特征，根据题设中的已知条件，把相关的式子取其倒数或倒式，再来分析求解，将会很快找到解题的思路.本文结合实例，就倒数法在解题中的应用进行分析说明.

一、运用倒数法比较大小

利用倒数法比较大小，是指先将题设或结论的式子“倒过来”，取其倒数比较它们的大小，再由倒数大小判断原数的大小关系.一般地，如果a =b≠0，则;如果a>b>0或，则：

例1

分析：仔细观察M，N，P三個分数式，不难看出每个分数式的数值较大，且分母均比分子大1，若利用倒数法，将M、N、P三个分数式分别取倒数，则可以快速解题.

解：

例2

解：

评注：用倒数法比较大小是将分数取倒数、分式取倒式，然后比较出它们倒数的大小，根据倒数越大，原分数越小;倒数越小，原分数越大来判断原分数的大小.

二、运用倒数法巧妙求值

倒数法就是通过对数或式取倒数或倒式来解题的方法.它主要应用于分式型的求值问题中.当问题中分式的分子是单项式，而分母是多项式时，可以借助倒数法将已知式或目标式取倒数，然后逆用分式加减法的运算法则，快速找到解题的突破口.

例3已知

分析：直接利用三个已知条件求解计算繁琐，且难度较大，若能以退为进，分别取以及所求目标式的倒数，则可以避繁就简.

解

例4

解

评注：上述两道题若直接求出未知数的值，显然比较困难，且计算量较大.通过观察， 把已知式和所求式子都“倒过来”，找到已知条件与所求问题间的关联，这样问题自然而然就得到了解答.

三、运用倒数法解方程组

对于有些方程组，尤其是方式分程组，若正面直接求解，难以入手，我们可以先逐项取倒数，然后拆成某两项和的形式，将分式方程组转化为熟悉的整式方程组（二元一次方程组或三元一次方程组），顺利求解.

例5

分析：观察每个方程的左边，发现三个未知数x、y、z在对应的位置上依次轮换，因此，对每个方程分别取倒数，便可以简捷地求出方程组的解。

解

例6

解：

点评：在解答某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一.通常把式子变成其倒数形式，运用约分化简，以达到求解的目的.

总之，运用倒数法解题十分巧妙简便，是破解代数题的有效方法之一.同学们要熟练掌握倒数法，并注意加强解题训练，做到能够学以致用、触类旁通，从而拓宽数学思维，提升数学解题能力.