基于“思辨”与“明理”的小学数学复习课教学——“圆柱与圆锥的整理与复习”教学片段思考

林丽琴

（古田县大桥中心小学，福建 古田 352259）

小学数学整理复习课在学习中起着承前启后的重要作用，其目的除了巩固知识以及时查缺补漏，更重要的是引导学生对学过的知识进行系统梳理，提炼渗透数学思想，提高学习能力。然而，面对相同的学生、熟悉的内容，教师往往只是“炒冷饭式”的简单重复，或者以练代讲，导致学习效率低下，影响了复习效果。复习课并不是对已学知识简单的重复与练习，而是要“通情”——对本单元知识进行梳理与回顾的基础上，准确把握学生对本单元所学知识掌握程度的学情，形成对知识的结构化理解；更要“达理”——通过变式、逆向和综合训练于实践应用中增进对知识的理解，让学生在课堂中通过“思辨”而达到“明理”，培养高阶思维，获得数学思想方法，提高解决综合问题的能力。［1］

笔者以六年级下册单元复习课“圆柱与圆锥的整理与复习”的教学为例进行了一次探索和尝试，力求打破传统复习课的固有模式，利用任务驱动激发学生的探究欲望，主动寻求知识，探究问题，恰当加入思辨与讲理，促其“明理”，深化思维。

一、分类梳理，有理有据

学习立体图形的基础是准确理解和掌握图形的概念和本质属性，如果在复习中只是把概念和图形特征进行简单回顾，学生对此必然兴致全无。我们在复习中不妨换一种形式，用开放的问题，引导学生自主梳理单元知识并阐述分类依据，在“讲理”中进一步完善对图形特征本质属性的认识，沟通图形之间的联系，达到以“理”促“联”的境界，培养学生求同存异的思维和多角度思考问题的能力。

片段写真：

师：你们觉得图1 中哪个图形可以与圆柱归为一类？为什么？

图1

生1：长方体、正方体和圆柱体可以归为一类。因为它们的体积计算方法一样：体积＝底面积×高。

生2：它们的表面积公式也相同：表面积＝侧面积+底面积×2。

生3：这三个图形上下一样大，都是直柱体。

师播放三个图形的表面积展开图，提示学生：你们还能找出它们的共同点吗？

生4：它们的侧面沿高展开都是长方形。长方形的长相当于立体图形的底面周长，长方形的宽相当于立体图形的高。

生5：也就是侧面积都等于底面周长×高。

师：你们都对直柱体进行了全面的梳理，还可以怎么分类？

生6：可以把圆柱和圆锥归为一类。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。

师：还有别的理由吗？

生7：它们的横截面都是一个圆。都是通过平面图形旋转得到的。

思考：简短的梳理过程，以“为什么这么分？”这一开放性问题，驱动学生的数学思考，学生通过关系联想，本单元的知识点被“激活”和“唤醒”，学生自主回顾了立体图形的特征、计算公式、平面图形的平移与旋转等知识，找出了知识间的共性。而分类后的说理，让学生从不同的角度阐述了分类的理由，结合立体图形的特征，回溯求积公式的数学本源，培养学生的空间观念。学生在通“情”之后，实现了“达理”。接着教师播放展开图，启发学生发现侧面的共同点，加强了二维图形和三维图形之间的探究，进一步打通了这几个立体图形的内部关联。在分类的过程中“思”之融会贯通，“言”之有理有据，完成了单元知识纵向横向的结构化。

二、有效变式，分条析理

数学学习不仅要学习知识间内在关联，更要关注数学与外部之间的联系。教师要立足学生知识基础和已有的生活经验，创造性地把数学问题与生活情境巧妙融合，提出能激发学生从本质上思考的问题，创设有效探索空间，从而产生把理论转为实践的需求，在解决问题的过程中，激活学生联系生活实际从多方位、多侧面、多角度去思考问题，立足生活经验讲理，促使学生积极分析评价他人，主动与他人分享观点，在思考、讲理、辨析中促进学生学以致用，深化认识。

片段写真：

师：看到这个圆柱体（如图2），联系生活实际，可以怎么对这个圆柱体进行加工？

图2

学生经过思考讨论，罗列出了许多“加工”方法，如切、拼、滚、挖、削、熔……

在充分引导学生对圆柱进行“加工”之后，让学生独立编题并列式，同桌相互批改。

接着出示一个同学的做法。（如图3）：

图3

生1：这个同学的做法是错误的。把圆柱体熔成一个最大的圆锥，形状改变了，体积是不变的，不用乘以三分之一。

师：你能够用“变和不变”眼光来看问题，真棒。如果还这样列式，可以提什么问题呢？

生2：把一个底面积30 平方分米，高是8 分米的圆柱体熔成三个同样大的圆锥，每个圆锥的体积是多少？

生3：把一个底面积30 平方分米，高是8 分米的圆柱体削成一个最大的圆锥，圆锥体积是多少？

师：这个同学改变了“加工”方法，削出一个圆锥，体积就发生变化了。你们还能根据圆柱圆锥的关系改编这道题目吗？

生4：把一个底面积30 平方分米，高是8 分米圆柱体熔成一个等底的圆锥，求圆锥的高是多少？

生5：把一个底面积30 平方分米，高是8 分米圆柱体熔成一个高是6 分米的圆锥，求圆锥的底面积是多少？

生6：用4 个这样的圆柱，熔铸成等底等高的圆锥，能熔几个？

……

思考：这一环节以加工圆柱为基点，让学生带着逆向发散思维，带着数学的眼光回归生活，学生根据所学的内容自己出题，并选择对应的知识点去解决问题，这样解决问题不再是单纯地模仿，机械地套用公式，而是对本单元的重难点进行的一次全方位聚焦，必须明其“理”，才能编题、解题，可谓“窥一柱而思全局”。在编题的过程中，审题能力得到提高，并学会了用创编题目的“套路”去反推解题的思路，在自主编题、分析评价、反思总结的过程中不断地把认识和思考引向深入，使得课堂上的活动不仅有情、有趣，更有理、有效。

三、运用内化，言之有理

复习课中，把知识内化为学生核心素养的路径之一就是学以致用，以练习育思维，深化知识的运用和内化。在复习课中，要努力做到“讲练结合”，即让学生在动脑、动手的同时动口，把课堂还给学生讲理，从语言到思维，从知识到能力，从而促成分析、评价、创造等高阶思维能力的提升，促进学生养成溯源追根的数学精神。

片段写真：

如下图，把一个底面积是20 平方分米，高是6 分米的圆柱形木料，削成两个完全一样的圆锥体，并且每个圆锥的底面积与圆柱的底面积相等。削去部分木料的体积是多少立方分米?［2］

投影学生的作业，让学生说说解题思路。

生1：我是用大圆柱的体积减去两个小圆锥的体积。（如图4）

图4

接着教师呈现生2 的做法。（如图5）

图5

问：这个同学的做法你们有什么想说的吗？

生3：为什么20 乘以6，接着120 又除以6 等于20？

师：（问做题的学生）你能解释一下吗？

生2：把圆柱横切成两个一样的小圆柱，每个小圆柱的体积是这个圆锥的三倍，也就是说一个大圆柱里有6 个这样的小圆锥。20×6 表示圆柱体积，120÷6 表示每个圆锥的体积。所以用20×（6-2）表示削去部分是4 个圆锥的体积。

师：你们听懂了吗？此20 非彼20，一个20 是圆柱体底面积，一个20 表示圆锥的体积。

在完成此题的基础上教师继续提出问题引发学生的深度思考。

师：如果我们还用这个圆柱削成两个圆锥，圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，但是高不同，削去部分体积是多少立方分米？请大家思考一下，可以同桌讨论，把你们的思路写下来。

（同桌交流后反馈）

图6

生7：他用的是举例法，我觉得还不够全面。这只是一种情况。我是这样想的（如图7）

图7

师：看这个同学的想法，他和前一个同学的说理方法有什么不一样的地方吗？

生：这里h1 和h2 可以代表任何数，也说明了不管怎么分，只要底面积一样，两个圆锥的高的和就是圆柱的高，那么体积之和肯定是圆柱体积的三分之一，那削去的部分就是三分之二。

师：真棒，你已经有了数学家的思想。我们明白了其中的道理，就可以举一反三，解决很多问题。

……

思考：这道习题融合了圆柱和圆锥体积之间的内在联系，通过解题促进学生对体积计算公式意义的深入理解。在课堂中，教师把握最佳时机，抓住问题本质合理追问，当学生理解了20×6×的意义时，教师趁势追问“如果两个圆锥的高不同，削去部分体积是多少”。学生在追问下思考，在思考后讲理，在辨析中明理，在变化的“高”当中，找到了不变的“理”，在“想明白”之余还要“说清楚”，实现了有理有据地表达推理的过程，提升了对问题本质的认识。

复习课中，让学生温故“情”而知新“理”，在讲理中提升对数学本质的认识，在“思辨”中“明理”，把学生带入“柳暗花明又一村”的畅快境界，让思考走向深处，促进学生高阶思维发展。这不仅是复习课的使命所在，更是它的魅力。