四、七年级学生分数数量表征与数学学业成就的关系：分数概念理解的中介作用*

邱 晨 牛美心 周新林 杨 涛

(1 北京师范大学中国基础教育质量监测协同创新中心，北京 100875) (2 国家税务总局北京市税务局，北京 100176)(3 北京师范大学认知神经科学与学习国家重点实验室，北京 100875)

1 引言

分数是人类处理现实情境中两个量关系的有效工具（Sidney, Thalluri, Buerke, & Thompson,2019），但是儿童学习分数知识存在困难，主要在于无法理解分数数量表征（Kalra, Binzak, Matthews, &Hubbard, 2020），而分数数量表征与数学学业成就呈显著相关关系（Gunderson, Hamdan, Hildebrand, &Bartek, 2019; Hamdan & Gunderson, 2017）。以往研究已对上述关系进行了探究，但其深层次的作用机理有待揭示（Gunderson et al., 2019; Liu, 2018）。

1.1 分数数量表征的发展及其与数学学业成就的关系

数量表征指个体对数量的心理解析（Siegler,2016）。分数数量表征是在数量表征的基础上进一步聚焦，即个体能够将分数按照从小到大的顺序，从左到右依次将其映射到心理数字线上（Hansen, Jordan, & Rodrigues, 2017）。分数数量表征水平是对分数数量的估算水平，涉及到理解数字大小、分数系统以及修正调整数字等能力（Gunderson et al., 2019），这一水平与直觉、猜测等非智力因素紧密相关（方翘楚, 2015）。学生数量表征水平的发展因年龄和数量范围呈现出不同的趋势。在数量范围相同情况下，学生年龄越大，数量表征水平往往越高；在学生年龄相同情况下，数量范围越大，学生的数量表征水平往往越低（徐华, 陈英和, 2012）。

已有研究发现，不同年级学生的分数数量表征水平均对数学学业成就具有显著预测作用。Gunderson等（2019）指出二、三年级学生的分数估计水平与后期代数学习以及数学成绩具有很强的相关性。Hansen，Jordan等（2017）认为四年级学生的分数数字线任务表现显著预测数学成绩。Liu（2018）对两组四年级学生进行对照追踪实验，指出接受分数教学的学生的分数数量表征成绩显著预测数学学业成就。另外，Siegler，Thompson和Schneider（2011）发现美国六、八年级学生的分数数量表征显著正向预测其数学学业成就。Torbeyns，Schneider，Xin 和 Siegler（2015）进一步指出比利时和中国的六、八年级学生的分数数量表征与数学学业成就也具有显著相关性。综上，虽然学生的分数数量表征与数学学业成就之间的关系得到了证实，但以往研究并未揭示分数数量表征对数学学业成就的作用机制，两者之间的关系还有待于深入探究。

1.2 分数概念理解的发展及其与数学学业成就的关系

在数学中，分数是两个整数之商。相比于整数，分数更为复杂，不仅是一个有数值大小的“量”，也是代表两个量之间关系的“相对量”（DeWolf, Bassok, & Holyoak, 2015）。许多研究者将分数概念的含义具体化（Behr, Harel, Post, &Lesh, 1992），其中，分数概念五分化理论将分数概念划分为部分−整体、测量、比、商和算子五部分。分数概念理解实质上是理解两个量之间的关系，是获得相关数学知识（如分数运算等）的必要条件（刘春晖, 辛自强, 2010）。然而，学生对不同分数概念的理解和掌握并不是同时实现的，例如，基于整数概念知识，学生更容易理解“部分−整体”，但理解“测量”比较困难（刘春晖, 辛自强, 2010）。Stafylidou 和 Vosniadou（2004）将分数概念发展划分为：（1）两个自然数的表征；（2）部分与整体关系的理解；（3）两个相关的数的表征。刘春晖和辛自强证实了上述研究所提出的分数概念发展的三个层次，并指出分数概念理解的能力随着年级的升高而提升。

已有研究表明，儿童分数概念语义理解可以整体预测乘法应用题表征水平，且“部分−整体”概念和“测量”概念的理解水平可以预测分数乘法应用题表征（张睆, 辛自强, 陈英和, 胡卫平,2017）。分数概念理解能够提升分数运算成绩，分数运算成绩的提升为数学学业成就的提升提供了可能（王欢, 2013）。Rodrigues，Jordan和Hansen（2019）进一步指出，学生对分数概念理解得越好，数学成绩往往越高。另外，分数概念知识有助于学生理解程序，估计解决方案，并注意到自己作业中的程序错误（Hecht, 1998）。综上，虽然分数概念理解与数学学业成就的研究已经得到了研究者的关注，但是目前还缺少两者之间的关系在不同年级上的差异研究，即是否随着学生年龄的增长，分数概念理解与数学学业成就之间的关系更为紧密。

1.3 分数数量表征、分数概念理解与数学学业成就的关系

既然分数数量表征、分数概念理解都分别对数学学业成就有直接影响，那它们是如何共同起作用的，有着怎样的作用机制？

根据Siegler等（2011）提出的数量表征理论，个体通过数量表征来理解数概念代表的数量意义。数量表征的相关知识是学习数概念的基础，有助于学生对于数概念的掌握。已有研究表明，分数数量表征能够为理解分数概念提供一种潜在结构和程序（Siegler et al., 2011），是提升分数概念理解的一项重要能力（Resnick et al., 2016;Torbeyns et al., 2015）。相比注意行为、语言等对学生分数概念理解的影响，分数数量表征能力对学生分数概念理解的影响最大（Jordan et al.,2013）。基于上述研究，分数数量表征为学生理解分数概念奠定基础，而分数数量表征、分数概念理解分别对学生的数学学业成就具有重要作用。因而，本研究假设分数概念理解可能在分数数量表征和数学学业成就中起到中介作用。

另外，在儿童数量表征、数概念发展过程中，年龄或年级是重要影响因素之一（陈英和,2015）。已有研究表明，分数数量表征准确性随年龄的增长而提高（辛自强, 李丹, 2013; Siegler et al.,2011; Torbeyns et al., 2015）。Siegler等的研究表明，八年级学生分数估计准确性高于六年级学生。分数概念理解也表现出相似的发展趋势（辛自强, 李丹, 2013; Boyer, Levine, & Huttenlocher,2008）。

综上，本研究提出假设1：分数数量表征直接影响数学学业成就；假设2：分数数量表征能够通过分数概念理解影响数学学业成就；假设3：在不同年级，以上作用关系存在，但是作用大小可能有差异。研究假设模型如图1所示。

图1 研究假设模型

2 研究方法

2.1 被试

在征得学校负责人、学生及其家长的知情同意后，本研究采用整群抽样的方法，选取北京市的小学和初中各两所，小学和初中各抽取一个年级为代表，并以班级为单位取样。小学抽取四年级，初中抽取七年级，最终有效回收数据379份，问卷的有效回收率为92.55%。其中，四年级157人，男生73人，女生84人；七年级222人，男生109人，女生113人。

2.2 研究工具

2.2.1 分数数字线任务

采用单维分数数字线估计任务，要求学生判断某一分数（如1/3）在0～3数字线段中的对应位置，并标注分数位置。该测试包含20道题目，分为判断分数单位和非分数单位两部分。该测验的Cronbach’s α系数为0.76。该任务采用绝对误差百分比（PAE）（PAE=|估计值−实际值|÷被估计的数值范围×100%）进行计分（Siegler & Booth, 2004）。PAE值越大，学生所估计的误差越大。

2.2.2 学生分数概念理解测查量表

采用Charalambous（2007）编制的学生分数概念理解测查量表（SMSUF量表）。该量表包含部分−整体、测量、比、商和算子5个子维度，并基于我国的教学情况对其修订，最终量表共计36道题目（例如，“判断正误：2/3表示的意义是把一个由多个物体组成的集合等分为三份，取其中的两份”）。该量表采用0，1计分，答对得1分，答错得0分，学生得分越高，表示对分数概念理解得越好（为方便分析，学生得分转化为均值18，标准差3的标准分数）。该量表的Cronbach’s α系数为0.93。

2.2.3 数学学业成就测验

采用“中国学生青少年心理发育特征调查”项目中标准化的数学学业成就测验（董奇, 林崇德,2011），包括数与代数、空间与图形、统计与概率三方面，共计32道题目。其中，四年级采用第二学段测验，七年级采用第三学段测验。第二学段和第三学段测验的Cronbach’s α系数分别为0.80，0.85。

2.2.4 空间工作记忆任务

依据Corsi block任务改编（Corsi, 1972）。由电脑屏幕呈现九宫格，并依次呈现一些圆点，每个圆点呈现时间为1000 ms，要求被试尽量记住圆点的顺序和位置。测验包含10个模块，每个模块包含若干题目，被试正确作答的题目得3分，作答错误或漏答不得分。

2.2.5 简单数字计算任务

该任务来源于Wei等人（2012）的研究。由电脑屏幕上方呈现一个减法算式（所有数字均在20以内），屏幕下方左右两边同时呈现两个答案作为备选，要求被试选出正确答案。该测验共包含30个模块，每个模块包含若干题目，答对一题得3分，答错不得分。

2.2.6 瑞文推理测验

该测验采用非言语图形关系推理任务，要求被试寻求规律并找出图像的缺失部分。测验包含36个模块，每个模块包含若干题目，被试正确作答一题得3分，作答错误或漏答不得分。

2.3 研究程序与数据分析

本研究的测验分为计算机测验和纸笔测验两部分。两种测验均采用集体施测，由经过培训的教育学和心理学研究生担任主试，在课堂中统一施测，并当场回收数据。最终，采用SPSS26.0和Mplus8.3进行统计分析。

3 结果

3.1 共同方法偏差检验

根据Harman单因素检验法进行主成分分析，结果发现，特征根大于1的因子共有18个，第一个因子的变异解释率为20.22%，小于40%的临界值标准，说明本研究存在共同方法偏差的可能性较小。

3.2 描述统计和相关分析

各变量的描述统计及相关分析见表1和表2。在四年级和七年级样本中，分数数量表征分别与分数概念理解和数学学业成就呈显著负相关，分数概念理解与数学学业成就呈显著正相关。对分数数量表征和分数概念理解进行四、七年级的差异性检验，结果表明，四年级的分数数量表征得分显著高于七年级（t=7.74,d=0.81,p＜0.001），而四年级的分数概念理解得分显著低于七年级（t=−22.85,d=−2.48,p＜0.001）。

表1 四年级学生描述统计结果及相关分析

表2 七年级学生描述统计结果及相关分析

3.3 中介模型检验

首先，控制性别、空间工作记忆、瑞文推理、简单数字计算等变量后，以分数数量表征为自变量，数学学业成就为因变量，建立直接效应模型。结果显示，在两个年级群体中，分数数量表征均能显著负向预测数学学业成就（四年级:β=−0.13,SE=0.08,p=0.045, 95%CI[−0.29, −0.03]; 七年级: β=−0.31,SE=0.06,p＜0.001, 95%CI[−0.44,−0.19]），说明四、七年级学生的分数数量表征均能负向预测数学学业成绩，但在七年级群体中，两者的关系更为密切。

在该模型的基础上加入分数概念理解建立中介效应模型，并采用偏差校正的非参数百分位Bootstrap方法进行检验（温忠麟, 叶宝娟,2014）。中介模型的拟合结果较好，四年级：χ2=24.76，df=13，RMSEA=0.079，CFI=0.905，TLI=0.900，SRMR=0.054；七年级：χ2=39.04，df=13，RMSEA=0.078，CFI=0.909，TLI=0.901，SRMR=0.051（见图2和图3）。结果发现，在四年级群体中，分数数量表征显著负向预测分数概念理解（β=−0.23,SE=0.10,p=0.017, 95%CI[−0.43,−0.04]），分数概念理解显著正向预测数学学业成就（β=0.61,SE=0.14,p＜0.001, 95%CI[0.33, 0.88]）；在七年级群体中，分数数量表征显著负向预测分数概念理解（β=−0.34,SE=0.09,p＜0.001,95%CI[−0.52, −0.15]），分数概念理解显著正向预测数学学业成就（β=0.47,SE=0.09,p＜0.001,95%CI[0.30, 0.64]）。中介效应的显著性结果表明，分数数量表征能够通过分数概念理解对数学学业成就起显著预测作用，四年级：β=−0.14，SE=0.07，p=0.049，95%CI[−0.29, −0.01]；七年级：β=−0.16，SE=0.06，p=0.008，95%CI[−0.27, −0.04]。另外，在四年级群体中，分数数量表征对数学学业成就的预测作用不显著（β=0.01,SE=0.09,p=0.906, 95%CI[−0.17, 0.19]），而在七年级群体中，分数数量表征的预测作用是显著的（β=−0.15,SE=0.08,p=0.047, 95%CI[−0.30, −0.00]），说明在四年级群体中，分数概念理解在分数数量表征与数学学业成就之间发挥完全中介效应，而在七年级群体中发挥部分中介效应。

图2 四年级中介模型结果

图3 七年级中介模型结果

4 讨论

4.1 分数数量表征、分数概念理解的发展特点

本研究发现七年级分数数量表征、分数概念理解的准确性显著高于四年级，这与已有研究结论一致（Siegler et al., 2011; Siegler & Pyke, 2013）。其可能原因是随着年龄的增长和阅历的丰富，学生的估算、精确理解能力等进一步发展。这与信息加工理论模型相一致，即学生认知水平越高，获取关键信息更为精准，编码也更为有效（Dean &Woodcock, 2003）。也可能是随着年龄增加，学生受整数表征的影响减弱，对分数表征和理解更准确。低年级学生往往将整数问题与分数问题等同，但高年级学生往往能将两者更好地区分开，对整数和分数的理解更为精确（Siegler & Pyke, 2013）。

4.2 分数数量表征对数学学业成就具有积极影响

本研究的结果表明，学生分数数量表征的准确性越高，学生的数学成绩越高。这一结果与以往研究结果相一致（王欢, 2013; Gunderson et al.,2019; Hamdan & Gunderson, 2017; Jordan et al., 2013;Resnick et al., 2016; Torbeyns et al., 2015）。可能是，分数数量表征中的单维分数数字线符合实数量级的概念特征（Siegler & Lortie-Forgues,2014）。这一数字线的物理表征与对数学成绩具有促进作用的心理表征相匹配（Ramani & Siegler,2008）。数字线任务的训练可以提高学生的分数数量表征能力，这种能力又与代数能力紧密相关（Gunderson et al., 2019; Kalra et al., 2020），进而会影响到学生的数学成绩。另外，年级越高，学生的分数数量表征水平与数学成绩的关联性越大。这与Siegler等（2011），以及Siegler和Pyke（2013）的研究结果相一致。这可能因为七年级学生涉及到初等代数以及代数的问题相对更多，而分数表征对于解决上述问题至关重要（Siegler et al.,2011）。

4.3 分数概念理解在分数数量表征与数学学业成就之间的中介作用

本研究发现，四、七年级学生的分数数量表征的准确性可以通过提升对分数概念的理解，而间接提升数学成绩。其原因可能是数量表征是儿童最先发展的重要数能力（Jordan, Glutting, &Ramineni, 2010），是人类高级数能力的基础，并为分数概念理解的发展奠定基础（Jordan et al.,2013; Resnick et al., 2016; Torbeyns et al., 2015）。另外，根据分数概念语义结构理论（Kieren, 1993），分数概念理解的本质是理解两个量之间的关系（DeWolf et al., 2015），并用分数处理分配、测量等问题情景中的变量关系（Charalambous, 2007）。而成功解决数学问题的关键是正确表征问题中所包含的事实关系（张睆等, 2017）。因此，学生对分数数量表征的准确性越高，其分数概念理解能力的越高，也能更好地理解并成功表征不同情境中不同量之间的关系，促使问题解决与数学成绩提升。

该研究结果说明了学生的认知能力越高，能更快更准确地注意关键信息，进行高效编码，输出更多有效信息，从而提升学业成就（Vock,Preckel, & Holling, 2011）。数量表征（无论是整数还是分数）是一项重要的数学能力，是学生数学学习过程中所必须的能力。分数数量表征能力促进分数概念理解能力的提升，解决更复杂的数学问题，进而提升数学学业成就。

另外，本研究发现，对四年级学生，分数概念理解在分数数量表征和数学学业成就之间起完全中介作用，对七年级学生，分数概念理解在其中起部分中介作用。可能的原因是，儿童分数数量表征（尤其符号表征）的发展相对更晚（Siegler et al., 2011），其准确性随着个体年龄的增加而提高，逐渐趋于相对稳定（辛自强, 李丹, 2013;Bailey, Siegler, & Geary, 2014; Siegler et al., 2011;Torbeyns et al., 2015）。四年级学生的分数数量表征在逐步形成发展阶段，分数数量表征对学业成就的影响，可以完全通过分数概念理解的作用来解释。而对七年级学生，分数数量表征准确性已显著提升，其分数数量表征的形成发展过程也受到与数学认知能力和认知加工的其他因素的影响（徐华, 陈英和, 2012; Jordan et al., 2013）。

4.4 研究意义与展望

分数概念的多重含义是影响学生理解和应用分数的主要障碍（刘春晖, 辛自强, 2010）。在教学中，虽然设计具体的情境能够促进学生对概念的理解，但是教师在教学过程中过于强调方法、技巧、规则等的训练，可能忽视学生对分数意义理解的培养，使得学生很难实现由整数概念到分数概念的转化。本研究的结果表明，分数数量表征不仅显著正向预测学生对数系统（含整数、分数、有理数等）的整体认识，还可以显著正向预测学生对分数概念理解以及数学学业成就。这意味着教师可以在教学中把表征类型融入到其教学设计中，从而更明确地设置其多元培养目标。这些培养目标既包括教师分数概念理解的教学任务，也包括学生直觉、猜测和估算能力的培养。例如，由数字线呈现的精确数字实现了由抽象到具体的转化，促进了学生对“度量”概念的理解。事实上，单维数轴分数数量表征水平代表了学生直觉、猜测和估算能力以及高级思维的发展。这些高级思维的发展有利于学生对于精确概念（如“整体−部分”“测量”等）的理解，从而有助于学生数学学业成就的提升，为核心素养的落实提供实证依据（章建跃, 2016; 章建跃, 程海奎,2017）。

本研究还存在一些不足，如没有对分数数量表征和分数概念理解进一步细分，并讨论内在关系以及不同条件下，各自对数学学业成就的影响；也没有分析其他因素（如空间能力、抑制控制等）对数学成绩的作用机制。本研究采用的是横断研究，后续研究可以通过追踪研究进一步探究分数数量表征和分数概念理解对数学成绩的历时性影响及其作用机制。本研究对性别等变量进行了控制，后续研究可以对不同性别的差异进一步探究。

5 结论

（1）分数数量表征对学生数学学业成就具有积极影响。（2）随着年级的增加，分数数量表征对数学学业成就的直接影响增大。（3）分数概念理解在分数数量表征与数学学业成就之间起着中介作用。（4）这种中介作用机制存在年级差异，即对四年级学生，分数概念理解起完全中介作用，对七年级学生，分数概念理解起部分中介作用。