“聚”还是“散”，都由半径说了算

冉洁　陈克超

对于带电粒子在磁场中运动的问题，粒子的初始位置与速度是分析的源头，初始条件决定了粒子运动的轨道半径，从而确定粒子运动轨迹。以定圆为基础的动态圆，是粒子在磁场中运动的重要模型。如果大量粒子在磁场中运动，轨道半径又是如何决定粒子在磁场中的聚散情形呢？下面，笔者以粒子在圆形磁场中运动的汇聚与发散为例来展开讨论。

一、模型剖析

1.模型情景

如图1甲所示，带电粒子从圆周上一点P以任意角θ，沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中，所有带电粒子都以平行于入射点磁场区域圆的切线的方向成平行线射出磁场，这就是磁发散;若带电粒子以平行的速度射入磁场，所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如图1乙所示，这就是磁聚焦。

2.模型条件

设磁场圆、轨迹圆两个圆相交，带电粒子在P点取任意一个方向射入磁场区域，出射速度方向平行于x轴，如图2甲所示，由于QO1=PO1，PO2=O2Q，PO1=QO2，四边形PO2QO1为一个菱形，即可证明轨迹圆的半径r等于磁场圆的半径R。据此我们可得，若磁场区域为圆形匀强磁场（或其中一部分），r=R，则符合磁发散与汇聚模型的条件;反之，若出现磁发散与汇聚，则必有r=R，如图2甲、乙所示。

3.模型特点

粒子以速率v与x轴夹角为θ的方向射入圆形磁场发生偏轉，从磁场边界射出，偏转角设为β。根据几何关系得出：粒子在磁场中偏转的角度β与夹角θ相等。由图2甲、乙可以看出，磁发散与汇聚具有可逆性，并均具有几何对称性特征。

二、真题在线

【例1】（2021湖南卷）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为+q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。

（1）如图3甲，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小。

（2）如图3甲，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（0，-r2）。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无须写出面积最小的证明过程）。

（3）如图3乙，虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无须写出面积最小的证明过程）。

【解析】（1）带电粒子在圆形磁场中运动，进入磁场时速度与x轴方向平行，并且粒子在磁场中运动的轨道半径等于磁场圆的半径r1，所有粒子将汇聚于一点。根据模型条件与结论，由几何关系有r=r1，洛伦兹力提供向心力qvB1=，解得BⅠ=。

（2）磁聚焦模型与磁发散模型隐含的重要特征，是粒子运动的轨迹圆的半径等于圆形磁场的半径。题中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域，如图4所示。

磁场半径为r2，根据qvB=m可知磁感应强度为B2=，根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2=πr22。

（3）“圆形磁场具有对称性”是分析问题的关键节点，将磁场圆和轨迹圆关联在一起，利用比对、归纳等科学思维方法，可知从I射入的带电粒子在磁场中运动时，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动所在磁场的圆周（如图5所示），根据qvB=m可知I和III中的磁感应强度为BⅠ=，BⅢ=。

图5中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域为例如图6。通过计算可知，Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的最小面积SⅡ=-r32，SⅣ=-r42。

【例2】如图7所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，大量比荷为、速度大小范围为0～的粒子从PM和QK间平行于PM均匀射入圆形磁场区域，PM与圆心O在同一直线上，PM和QK间距离为0.5 R，已知从M点射入的速度为v0的粒子刚好从N点射出圆形磁场区域，N点在O点正下方，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。

求：（1）圆形区域磁场的磁感应强度B及带电粒子电性。

（2）圆形区域内有粒子经过的面积。

（3）①粒子到达N点时速度方向与ON之间夹角θ的最大值;②挡板CN、ND下方有磁感应强度为2B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，ND=R，直线CD与圆形区域相切于N点，到达N点的粒子均能从板上小孔进入下方磁场，则ND板下表面上有粒子打到的区域长度l;③若发射的粒子束寬度改变为d，在PO与CN之间，到达N点的粒子均能从板上小孔进入下方磁场，ND板下表面有粒子打到的区域长度l′ED=R-粒子占粒子数目的百分比。

【解析】（1）速度为v0的粒子从M点射入，从N点射出，轨道半径为r，由几何关系可知r=R，qv0B=m，B=，由左手定则判断可知粒子带正电。

（2）速度为的粒子从M射入，射出点为A，如图8所示，qv0B=m，MO1=r′=R，tanθ==，θ=30°，∠MOA=2（90°-θ）=120°。

MK间入射的速度为0～的粒子能到达的区域为图中阴影部分，面积S=（πR2-R×R）+[π（R）2-R× R]=πR2-R2。

（3）①如图9，由几何关系可知，能到达N点的带电粒子速度均为v0，半径均为r=R，△KOB中cos β=== ，即β=60°。从K点射入带电粒子速度偏转角β=60°，从

M点入射带电粒子速度偏转角为90°，从N点出射的粒子速度与ON的夹角最大值为90°-β=30°。

②挡板下方磁感应强度为2B，粒子均以速度v0进入（如图10），有qv02B=m，轨道半径r″=R。ND板下表面被粒子打到的长度为l=lND-lNF=R-2R cos 30°=（1-）R。

③ND板下表面被粒子打到的长度满足l=R-2R cos θ，而l′ED=R-R，则θ=45°。所以，由几何关系可知射入磁场区域的宽度d=R-R（1-cos θ）=R，ND板下表面上离D点有粒子打到的区域长度l′ED=R-R粒子占粒子数目的百分比η=× 100%=× 100%=70.7%。