不定方程x2+4096=4y17的整数解

戴妍百，高 丽，李改利，李秀秀

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

不定方程作为数论学习的一个分支，是指其解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，特点是未知数的个数多于方程的个数。古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。

设A,B,C∈N，A无平方因子，关于不定方程

Ax2+B=Cyn,(x,y,n∈N,n≥2)

(1)

整数解的问题是数论中的一个重难点问题，将求解该类问题的方法用代数数论来研究，会得到如下的结果：

当A=1，1，C=1，文献[1]证明了方程(1)无整数解；当A=2，B=1，C=1，n=5时，文献[2]证明了方程(1)仅有整数解(x,y)=(±11,3)；当A=1,B=16,C=1,n=7时，文献[3]证明了方程(1)无整数解；当A=1,B=64,C=1,n=11时，文献[4]证明了方程(1)无整数解；当A=1,B=4n,n=1,2,3,C=1时，文献[5]证明了方程(1)无整数解；当A=1,B=4n,n=1,2,3,C=1时，文献[6]证明了方程(1)无整数解；当A=1,B=256,C=1,n=17时，文献[7]证明了方程(1)无整数解；

对于A=1,B=4 096,C=4,n=17的不定方程解的情况，本文应用代数数论与同余理论进行研究，并证明了不定方程x2+4 096=4y17,x,y∈Z无整数解。

1 预备知识

定义1[8]设m≠0，如果m|b-a，那么就称b同余于a模m，a是b对模m的剩余，记做

b≡a(modm)，

否则，称b不同余于a模m，a不是b对模m的剩余，上式称为模m的同余式，或简称为同余式。

引理1[9]设M是唯一分解整数环，正整数k≥2，以及α，β∈Z,(α,β)=1，αβ=τk，τ∈M，

则有

α=ε1μk，β=ε2ϑk，μ,ϑ∈M，

其中ε1,ε2是M中的单位元素，并且ε1ε2=εk，ε为单位元素。

2 定理及证明

定理不定方程

x2+4 096=4y17,x,y∈Z

(2)

无整数解。

证明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)两个方面进行分析：

(1)当x≡1(mod 2)时，在Z[i]中(2)式可以等价为

(x+64i)(x-64i)=4y17,x,y∈Z,

设(x+64i)(x-64i)=ε，

由ε|(2x,128i)=2，

可知ε只能取1,1+i,2。

因为x≡1(mod 2)，则有

x+64i≡1(mod 2),

所以ε≠2。

假设ε=1+i，则有

N(1+i)|N(x+64i)，

即2|x2+4 096，

此情形与x≡1(mod 2)产生矛盾，所以ε≠1+i。

设ε=1，由此和引理1得

x+64i=4(a+bi)17,x,a,b∈Z。

根据上式可得

x=4(a17-136a15b2+2 380a13b4-12 376a11b6+

24 310a9b8-19 448a7b10+6 188a5b12-680a3b14+

17ab16)，

(3)

64=4b(17a16-680a14b2+6 188a12b4-19 448a10b6+

24 310a8b8-12 376a6b10+2 380a4b12-136a2b14+

b16)，

(4)

要使得(4)式成立，则b=±1,±2,±4,±8,±16。

1)当b=1时，由(4)式可知

15=17a16-680a14+6 188a12-19 448a10+

24 310a8-12 376a6+2 380a4-136a2。

(5)

要使(5)式成立，则必须满足17|15，显然不成立，所以b≠1。

2)当b=-1时，由(4)式可知

-17=17a16-680a14+6 188a12-19 448a10+

24 310a8-12 376a6+2 380a4-136a2。

(6)

要使(6)式成立，则a2=1，则有(6)式右边等于15，所以b≠-1。

3)当b=2时，由(4)式可知

1.2.2 专家访谈法 根据本课题研究内容，于2018年3月至6月访谈北京大学校选修课的授课教师与北京体育大学体育舞蹈教研室2位副教授（表1），获得上课的内容、学时分配、负荷量等相关信息。

8=17a16-680a14×22+6 188a12×24-19 448a10×

26+24 310a8×28-12 376a6×210+2 380a4×212-

136a2×214+216。

(7)

因为8-216=-65 528，要使(7)式成立，则必须满足17|-65 528，显然不成立，所以b≠2。

4)当b=-2时，由(4)式可知

-8-(-2)16=17a16-680a14×22+6 188a12×24-

19 448a10×26+24 310a8×28-12 376a6×210+

(8)

因为-8-(-2)16=-65 544，要使(8)式成立，则17|-65 544，显然不成立，所以b≠-2。

5)当b=4时，由(4)式可知

4-416=17a16-680a14×42+6 188a12×44-

19 448a10×46+24 310a8×48-12 376a6×410+

2 380a4×412-136a2×414。

(9)

因为4-416=-4 294 967 292，要使(9)式成立，则17|-4 294 967 292，显然不成立，所以b≠4。

6)当b=-4时，由(4)式可知

-4-(-4)16=17a16-680a14×42+6 188a12×44-

19 448a10×46+24 310a8×48-12 376a6×410+

2 380a4×412-136a2×414。

(10)

因为-4-(-4)16=-4 294 967 300，要使(10)式成立，则17|-4 294 967 300，显然不成立，所以b≠-4。

7)当b=8时，由(4)式可知

2-816=17a16-680a14×82+6 188a12×84-

19 448a10×86+24 310a8×88-12 376a6×810+

2 380a4×812-136a2×814。

(11)

因为2-816=-281 474 976 710 654，要使(11)式成立，则17|-281 474 976 710 654，显然不成立，所以b≠8。

8)当b=-8时，由(4)式可知

-2-(-8)16=17a16-680a14×82+6 188a12×84-

19 448a10×86+24 310a8×88-12 376a6×810+

2 380a4×812-136a2×814。

(12)

因为-2-(-8)16=-281 474 976 710 658，要使(12)式成立，则17|-281 474 976 710 658，显然不成立，所以b≠-8。

9)当b=16时，由(4)式可知

1-1616=17a16-680a14×162+6 188a12×164-

19 448a10×166+24 310a8×168-12 376a6×1610+

2 380a4×1612-136a2×1614。

(13)

因为1-1616=-18 446 744 073 709 551 615，要使(13)式成立，

则17|-18 446 744 073 709 551 615，显然不成立，则b≠16。

10)当b=-16时，由(4)式可知

-1-(-16)16=17a16-680a14×162+6 188a12×164-

19 448a10×166+24 310a8×168-12 376a6×1610+

2 380a4×1612-136a2×1614。

(14)

因为-1-(-16)16=-18 446 744 073 709 551 617，要使(14)式成立，

则17|-18 446 744 073 709 551 617，显然不成立，则b≠-16。

因此，当x≡1(mod 2)时，不定方程x2+4 096=4y17无整数解。

(2)当x≡0(mod 2)时，可知x为偶数，则y也为偶数。

令x=2x1,y=2y1,x1,y1∈Z,代入(2)式可得(2x1)2+4 096=4(2y1)17，即

x12+1 024=217y117。

(15)

由(15)式可知x1为偶数，令x1=2x2,x2∈Z,代入(15)式可得

x22+256=215y117。

(16)

由(16)式可知x2为偶数，令x2=2x3,x3∈Z,代入(16)式可得

x32+64=213y117。

(17)

由(17)式可知x3为偶数，令x3=2x4,x4∈Z,代入(17)式可得

x42+16=211y117。

(18)

由(18)式可知x4为偶数，令x4=2x5,x5∈Z,代入(18)式可得

x52+4=29y117。

(19)

由(19)式可知x5为偶数，令x5=2x6,x6∈Z,代入(19)式可得

x62+1=27y117。

(20)

由(20)式可知x6为奇数，令x6=2x7+1,x7∈Z,代入(20)式可得

2x72+2x7+1=26y117。

(21)

由(21)式可知等式左边为奇数，等式右边为偶数，产生矛盾。

因此，当x≡0(mod 2)时，不定方程x2+4 096=4y17无整数解。

综上所述，不定方程x2+4 096=4y17，x,y∈Z无整数解。