基于改进平方根变换的计数值FIMSE 控制图

陈培乐 王美涵 杨志清＊

（闽南师范大学 数学与统计学院，福建 漳州 363000）

1 概述

在实际生产中，许多质量特性无法方便地用数值方法测量，通常用有缺陷或无缺陷，合格或不合格的术语来区分质量特性，这种划分方法通常导致属性控制图不像变量控制图那样信息丰富。为了使正态分布达到更好的近似，同时提高属性控制图的监控性能，Tsai 等人[1]使用改进的平方根变换方法构造属性数据控制图。

在传统的统计过程控制（SPC）中，质量特征是用单一值的形式来描述的，随着测量技术的发展，越来越多的质量特征用区间值的形式来描述。例如，每天收集各种产品的不合格品数，最小不合格品数和最大不合格品数就构成了一个区间范围。然而，这些信息不能应用于传统的质量控制方法，因为利用区间值数据构造控制图比较困难，所以一般采用处理后的单一值数据来构造控制图。在对这些原始的区间值数据进行处理后，会丢失一些重要的信息，所构造的控制图可能会提供错误的信号。Cheng 和Yang[2]提出了一种基于模糊区间数据的标准化区间值控制图，该图的性能比传统的休哈特均值控制图要好。Yang[3]提出了基于相依区间值数据的模糊相对加权移动平均（FRWMA）控制图来监测过程的质量特征，比传统的移动平均控制图可以更快地检测到过程失控的变化。

2 计数值FIMSE 控制图的设计

Spring 和Cheng[4]提出了同时监测过程均值和方差的均方误差（MSE）控制图，可以快速地检测到过程参数的变异。为了解决计数值模糊区间数据难以构建控制图的问题，挖掘更多原始数据所蕴含的信息，本文考虑采用改进的平方根变换（ISRT）方法构造计数值模糊区间均方误差（FIMSE）控制图，ISRT 方法把离散型区间数据转换成连续型区间数据，使正态分布达到更好的近似，用转换的连续型区间数据构建模糊区间均方误差控制图，可以同时监测过程均值和方差的偏移，提高属性数据控制图的监控性能。

假设有一组来自二项分布的随机变量X=（x1，x2，…xn），试验次数为k 且每次试验的成功率为p，即X～B（k，p）。根据二项分布转换成正态分布的反正弦变换方法[1]，转换的式子表示为的计数值随机变量X={（x11，x21），（x12，x22），…，（x1n，x2n）}，用改进平方根变换的方法将计数值的模糊区间随机变量转换为计量值的模糊区间随机变量，然后对数据按照值的大小进行排序，排序后的新随机变量表示为Y= {（y11，y21），（y12，y22），…，（y1n，y2n）}，即

根据Wu 和Chang[5]提出的模糊区间变量假设检验的定义，对于计数值FIMSE 的假设检验，设原假设H0为FIMSE 落在1-α 置信区间之内，备择假设H1则为FIMSE 落在1-α 置信区间之外，假设检验定义为：

由于均方误差值越大代表偏离目标值的程度越大，值越小或趋于零时代表偏离目标值的程度越小，故令控制下限LCL1=0，则在显著水平α 的假设条件下，模糊区间均方误差变量FIMSE1失控现象的概率函数表示为：

FIMSE=[0.007，0.013]，说明该样本与目标值的差异程度在0.007 至0.013 之间波动。

3 模拟分析

步骤2：利用新的连续型随机变量分别计算统计量FIMSE，样本平均值Y。

步骤3：重复步骤1 和步骤2，计算落在控制界限之外的平均样本子组数量，即ARL0近似370 时的L 值和控制界限。

步骤4：计算失控状态下的监测统计量落在控制界限之外的ARL1。

表1 列出了n=5，p 取不同值时计数值FIMSE 图、样本均值Y 图和不良率P 图的ARL0近似370 时所对应的控制界限系数L 值。表2 列出了n=5，p 取0.10，δ1，δ2取不同值时计数值FIMSE 图、样本均值Y 图和不良率P 图的ARL1。可以看出，当

表1 计数值FIMSE 图、样本均值Y 图和不良率P 图的ARL0

表2 计数值FIMSE 图、样本均值Y 图和不良率P 图的ARL1

过程失控时，计数值FIMSE 图的ARL1都小于样本均值Y 图和不良率P 图的ARL1。例如：p 取0.10，δ1取0.1，δ2取1.5 时，FIMSE 图测得失控的ARL1为4.931，而Y 图测得失控的ARL1为21.17，P 图测得失控的ARL1为24.22。这意味着当过程均值和方差发生变化时，计数值FIMSE 图可以较快地测得失控现象，比样本均值Y 图和不良率P 图具有更好的监控效果。

4 实证分析

本节采用Montgomery[6]中浓缩果汁罐头包装每50 次检测（k=50）的不合格品数据进行分析，以每2 组构成一组模糊区间数据的最小不合格品率和最大不合格品率，并设样本容量n=5。设变量X 为缺陷罐数，Y 为X 的变换值，T 为缺陷罐数的目标值。首先，根据给定的初始参数，通过模拟计算出计数值FIMSE图、样本均值Y 图ARL0近似等于370 时所对应的控制界限系数L 值。然后把变量X 转换成变换Y，计算Y 的样本均值和标准偏差，计算出对应的控制界限。最后根据观测数据，分别计算计数值FIMSE 统计量和样本均值Y 统计量，根据计算的统计量和对应的控制界限分别绘制控制图。

不良率P 图中没有发现样本点出界，计数值Y 图中第3 组样本最先被监测到出界，而在计数值FIMSE 图中第2 组样本最先被监测到出界。结果表明，当数据是计数值区间数据时，使用计数值FIMSE 图比计数值Y 图和不良率P 图更快的监测到过程参数的变化。此外，计数值FIMSE 图可以提供更多有效信息，例如：计数值FIMSE 图中第1，第2，第3 和第9 组样本的区间长度比其他组样本的区间长度要大，表明这些样本与目标值的差异程度变化的幅度较大，对于变化幅度较大的样本组也要适当引起注意，避免产品不良率的攀升。

图1 计数值FIMSE 图

图2 计数值Y 图

图3 不良率P 图

5 结论

随着信息技术和测量技术的不断发展，越来越多的质量特征以区间值数据的形态来描述。在质量管理领域，模糊数据控制图也逐渐被广泛应用于监测过程的质量特征。本文提出了一种基于改进平方根变换的计数值模糊区间均方误差控制图，研究结果表明，计数值模糊区间均方误差控制图的监控效果优于传统的样本平均值控制图和不良率控制图，利用模糊区间统计方法来构建控制图，可以更好地指导生产，提供更具有价值的参考信息。