巧妙用“1”代换，顺利解答代数题

王晓强

常数“1”虽是一个普通的数字，但在解题中发挥着巨大的“威力”.在解题时，我们合理运用“1”进行代换、转化，能快速解答问题，尤其是在比较两式的大小、解答三角函数以及函数问题时，灵活运用常数“1”，可以使解题变得容易.下面结合实例来说明.

一、“1”在比较两式大小中的应用

在比较两个幂的大小或者对数式的大小时，我们一般用作商比较法，这就要用到常数“1”.首先将要比较的两式作商，再将商值与1进行比较.若要比较m和n的大小，需先对其作商，如果，那么m > n ;如果，那么m < n .倘若要比较的两个式子比较复杂，就需先变形，再将商与“1”进行比较.

例1.

解：

我们将两式作商，然后将商与1进行比较，从而快速比较出两式的大小.

二、“1”在解答函数问题中的应用

在解函数题时，常数“1”常常是解题的一个突破口.指数函数、对勾函数以及对数函数的底数 a 与1之间的关系决定着函数的单调性.如指数，当a ∈（1，+∞），函数在（0，+∞）上单调递增;当a ∈（0，1），函数在（0，+∞）上单调递减 .在解答有关指数函数、对勾函数以及对数函数问题时，我们可灵活运用常数“1”，将其作为分界点来讨论和分析函数的图象以及性质.

例 2.已知函数它在区间[0， +∞）上单调递增，求实数 a 的取值范围.

解：

该函数中含有指数函数，为了讨论指数函数的单调性，我们需对 a 进行分类讨论，分 a >1和 a <1两种情况进行讨论.

三、常数“1”在三角函数问题中的應用

在求三角函数的值、化简三角函数式时，我们常常需用“1”来进行代换，以便通过三角恒等变换达到化异为同、化繁为简的目的.常需用到公式有等。

例3：

解：

我们构造出分母“1”，然后运用重要关系式，将目标式转化为关于sin θ 、cos θ 的齐

二次式，通过化简、变形将其转化为只含有 tan θ 的式子，进而求得问题的答案.

通过上述分析我们可以发现，常数“1”在解数学题中发挥着重要的作用.在解题时，我们只有将“1”与相关的公式、定义、运算法则等关联起来，灵活地对其进行转化、变换，充分发挥其桥梁和纽带作用，才能达到事半功倍的效果.

（作者单位：江苏省东台市第一中学）