运用换元法解题的三种路径

刘莉 葛艳

在解答比较复杂的代数問题时，我们通常会采用换元法来解题.引入一个辅助元，通过等量代换将题目简化，以实现化难为易、化繁为简.换元的方法有很多种，本文重点介绍三角换元、整体换元、均值换元三种换元方法.

一、三角换元

通过三角换元可把二元代数式转化成为三角函数式，再利用三角函数的性质和图象来解题.一般地，可设 x =a +r cos α、y =b +r sin α，借助重要三角函数式可将代数式转化为三角函数式.

例 1.

我们根据已知关系式，令 x = cos θ，y =1 + sin θ，通过三角换元，将问题转化为三角函数最值问题，根据辅助公式和正弦函数的有界性求得的最大值，进而确定c 的取值范围.

二、整体换元

有些代数式较为复杂，此时我们不妨运用整体换元法来解题，将代数式中某一部分或全部用一个新的元替换，再根据题意求出新元的取值范围，通过合理运算、推理求得问题的答案.

例2.

一般地，对于的问题，我们一般通过整体换元，将ωx +φ用新的元替换，再根据正弦或余弦函数的性质来进行求解.

三、均值换元

对于 x +y =S 二元代数问题，我们一般运用均值换元来解题，令，将其代入目标式中进行求解.这样就可以达到减元的目的.在运用均值换元法解题时，要保证换元前后变量的取值范围是等价转化的.

例3.

解：

本题采用常规方法求解较为复杂，这里采用均值换元法求解，十分便捷.首先引入参数α，令 A =60°+ α，C =60°- α，并求出α 的取值范围，然后将其代入已知关系式中，根据二倍角公式、两角和差公式进行运算、推理，求得 cos α的和的值.

换元法是解答数学问题的常用方法之一.在解题的过程中，我们首先要仔细观察已知代数式的结构特点，合理选择换元的式子，通过三角换元、整体换元、均值换元，将代数式简化，从而求得问题的答案.运用换元法解题，能有效地提高解题效率，优化解题的方案.

（作者单位：江苏省扬州市邗江区公道中学）