求立体几何截面的面积的两种办法

侯君

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.立体几何截面问题主要考查截面的形状、面积以及所截得两个几何体的体积.解答立体几何截面的面积问题，可以從不同角度去寻找解题思路，如利用平面几何知识、利用面积射影法等.本文结合一道例题来谈一谈求解立体几何截面的面积问题的两种思路.

例题：

由题意可知四边形BFD1E为长方体ABCD -A1B1C1D1 的截面，要求得四边形 BFD1E 的面积，我们需先判定四边形 BFD1E 的形状和特征，然后运用平行四边形、三角形的面积公式进行求解.

一、利用平面几何知识求解

运用平面几何知识求解立体几何截面的面积问题，需要先根据已知条件和几何体的性质、特点将几何体的边角关系转化到平面上，然后利用平面几何知识，如相似三角形的性质、点到直线的距离公式、矩形的性质等来求解.对于本题，我们需先根据已知条件和长方体的性质、特点判断四边形的形状，将其分割成2 个三角形，求出三角形的最小面积即可求出四边形面积的最小值.

解：

二、采用射影面积法求解

若一个平面图形的面积为，该图形在另一个平面上的射影的面积为，则这个平面图形所在的平面与其阴影所在的平面构成的二面角的余弦值为，这个方法称为射影面积法.射影面积法常用于求平面图形的面积或者二面角的大小.对于本题，我们要首先找到所求截面以及它在底面上的射影，分别求出它们的面积，所得的面积比即为平面与底面ABCD所成角的平面角的余弦值，建立关系式，便可确定四边形的最小值.

解：

上述两种思路都是解答立体几何截面的面积问题的常用思路.相比较而言，第一种思路是同学们使用较多的，且是应用范围较广的;第二种思路适用的范围较窄，只有在方便找出平面图形的射影时，才能使用该思路来解题.

（作者单位：甘肃省康县第一中学）